Université L1 / enseignement supérieur

Fonctions d’une variable réelle : exercices corrigés L1

Ce chapitre consolide les raisonnements classiques d’analyse : existence d’une solution par continuité, stationnarité avec Rolle, et encadrements grâce au théorème des accroissements finis. Chaque hypothèse (intervalle, continuité, dérivabilité) doit être justifiée.

L'essentiel à retenir

  • Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) assure qu’une fonction continue sur [a,b][a,b] prend toutes les valeurs entre f(a)f(a) et f(b)f(b).
  • Si une fonction continue est strictement monotone sur [a,b][a,b], toute valeur intermédiaire est atteinte une seule fois.
  • Théorème de Rolle : si ff est continue sur [a,b][a,b], dérivable sur (a,b)(a,b) et f(a)=f(b)f(a)=f(b), alors il existe c∈(a,b)c\in(a,b) avec f′(c)=0f\prime(c)=0.
  • Théorème des accroissements finis (TAF) : il existe c∈(a,b)c\in(a,b) tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f\prime(c)(b-a).
  • Une dérivée positive sur un intervalle entraîne la croissance ; une borne sur la dérivée fournit un encadrement des variations.

Exercice 1 — TVI et unicité d’une racine

On considère f(x)=x3+x−1f(x)=x^3+x-1 sur [0,1][0,1].
  1. Prouver que ff s’annule au moins une fois sur ]0,1[]0,1[.
  2. Prouver que cette racine est unique.
  3. L’encadrer entre deux dixièmes consécutifs.
Corrigé détaillé
1. Existence. Un polynôme est continu. f(0)=−1<0f(0)=-1<0 et f(1)=1>0f(1)=1>0. Le TVI fournit α∈(0,1)\alpha\in(0,1) avec f(α)=0f(\alpha)=0. 2. Unicité. f′(x)=3x2+1>0f\prime(x)=3x^2+1>0 sur [0,1][0,1]. La fonction est strictement croissante : la racine est unique. 3. Encadrement. f(0,6)=0,216+0,6−1=−0,184<0f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0 et f(0,7)=0,343+0,7−1=0,043>0f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0. Par croissance : 0,6<α<0,7\boxed{0{,}6<\alpha<0{,}7}.

Exercice 2 — Application du théorème de Rolle

Soit g(x)=x2−4x+3g(x)=x^2-4x+3 sur [1,3][1,3].
  1. Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle.
  2. Trouver c∈(1,3)c\in(1,3) tel que g′(c)=0g\prime(c)=0.
  3. Interpréter géométriquement.
Corrigé détaillé
1. gg est polynomiale, donc continue sur [1,3][1,3] et dérivable sur (1,3)(1,3). g(1)=1−4+3=0g(1)=1-4+3=0 ; g(3)=9−12+3=0g(3)=9-12+3=0. Les conditions de Rolle sont réunies. 2. g′(x)=2x−4g\prime(x)=2x-4, donc g′(c)=0g\prime(c)=0 pour c=2\boxed{c=2}. 3. La tangente à la courbe au point d’abscisse 22 est horizontale. Cela correspond au minimum g(2)=−1g(2)=-1.

Exercice 3 — Encadrer un logarithme avec le TAF

Pour t>0t>0, appliquer le théorème des accroissements finis à h(x)=ln⁡(1+x)h(x)=\ln(1+x) sur [0,t][0,t] afin de démontrer t1+t<ln⁡(1+t)<t.\frac{t}{1+t}<\ln(1+t)<t.
Corrigé détaillé
1. Hypothèses. hh est continue sur [0,t][0,t] et dérivable sur (0,t)(0,t). 2. TAF. Il existe c∈(0,t)c\in(0,t) tel que h(t)−h(0)=th′(c)=t1+ch(t)-h(0)=th\prime(c)=\dfrac{t}{1+c}, donc ln⁡(1+t)=t1+c\ln(1+t)=\dfrac{t}{1+c}. 3. Encadrement. Comme 0<c<t0<c<t, on a 1<1+c<1+t1<1+c<1+t. Inverser les nombres positifs donne 11+t<11+c<1\dfrac1{1+t}<\dfrac1{1+c}<1. En multipliant par t>0t>0 : t1+t<ln⁡(1+t)<t\boxed{\dfrac{t}{1+t}<\ln(1+t)<t}.

Exercice 4 — Continuité et prolongement

Soit f(x)=sin⁡(2x)/xf(x)=\sin(2x)/x pour x≠0x\ne0 et f(0)=af(0)=a.
  1. Déterminer aa pour que ff soit continue.
  2. Calculer f′(0)f'(0).
  3. Donner f′(x)f'(x) pour x≠0x\ne0.
Corrigé détaillé
1. Comme sin⁡(2x)/(2x)→1\sin(2x)/(2x)\to1, sin⁡(2x)/x→2\sin(2x)/x\to2. La continuité impose a=2a=2. 2. (f(x)−2)/x=(sin⁡(2x)−2x)/x2(f(x)-2)/x=(\sin(2x)-2x)/x^2. Le développement sin⁡(2x)=2x−43x3+o(x3)\sin(2x)=2x-\frac43x^3+o(x^3) montre que la limite est 0=f′(0)0=f'(0). 3. La dérivation du quotient pour x≠0x\ne0 donne f′(x)=2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)x2f'(x)=\frac{2x\cos(2x)-\sin(2x)}{x^2}.

Exercice 5 — Rolle et racines d'un polynôme

Pour P(x)=x3−3x+1P(x)=x^3-3x+1, 1. Calculer P′(x)P'(x) et dresser les variations.
  1. Prouver que PP possède trois racines réelles distinctes.
  2. Expliquer par Rolle pourquoi il ne peut en avoir quatre.
Corrigé détaillé
1. P′(x)=3(x−1)(x+1)P'(x)=3(x-1)(x+1) : PP croît avant −1-1, décroît entre −1-1 et 11, puis croît après 11. 2. P(−1)=3>0P(-1)=3>0, P(1)=−1<0P(1)=-1<0, et P(x)P(x) tend vers −∞-\infty à gauche et +∞+\infty à droite. Le TVI donne une racine dans chacun des trois intervalles de monotonie, donc trois racines distinctes. 3. Quatre zéros distincts de PP imposeraient au moins trois zéros distincts de P′P' par Rolle, impossible pour une dérivée de degré deux.

Exercice 6 — Contraction et point fixe

Soit f(x)=1+xf(x)=\sqrt{1+x} sur [0,+∞[[0,+\infty[ et u0=0u_0=0, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).
  1. Majorer ∣f′(x)∣|f'(x)|.
  2. Montrer que ff est contractante.
  3. Déterminer lim⁡un\lim u_n.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=1/(21+x)f'(x)=1/(2\sqrt{1+x}), donc 0<f′(x)≤1/20<f'(x)\le1/2. 2. Le théorème des accroissements finis donne ∣f(x)−f(y)∣≤12∣x−y∣|f(x)-f(y)|\le\frac12|x-y| pour x,y≥0x,y\ge0. 3. Le point fixe positif satisfait ℓ2=1+ℓ\ell^2=1+\ell, donc ℓ=(1+5)/2\ell=(1+\sqrt5)/2. Comme ∣un+1−ℓ∣≤2−1∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\le2^{-1}|u_n-\ell|, on obtient ∣un−ℓ∣≤2−n∣u0−ℓ∣→0|u_n-\ell|\le2^{-n}|u_0-\ell|\to0. La limite est (1+5)/2(1+\sqrt5)/2.

Exercice 7 — Bijection et dérivée de l'inverse

Soit f(x)=x3+xf(x)=x^3+x.
  1. Prouver que ff est bijective de R\mathbb R sur R\mathbb R.
  2. Calculer f−1(2)f^{-1}(2).
  3. Déterminer (f−1)′(2)(f^{-1})'(2) et la tangente correspondante.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0, et les limites de ff sont −∞-\infty et +∞+\infty : ff est strictement croissante et surjective, donc bijective. 2. Puisque f(1)=2f(1)=2, f−1(2)=1f^{-1}(2)=1. 3. La formule de dérivée réciproque donne (f−1)′(2)=1/f′(1)=1/4(f^{-1})'(2)=1/f'(1)=1/4. La tangente au point (2,1)(2,1) a pour équation y=1+14(x−2)y=1+\frac14(x-2).

Exercice 8 — Étude asymptotique

Soit f(x)=x2+4x+5f(x)=\sqrt{x^2+4x+5} pour x≥0x\ge0.
  1. Trouver lim⁡f(x)/x\lim f(x)/x.
  2. Trouver lim⁡(f(x)−x)\lim(f(x)-x).
  3. Déterminer la position de la courbe par rapport à son asymptote.
Corrigé détaillé
1. f(x)/x=1+4/x+5/x2→1f(x)/x=\sqrt{1+4/x+5/x^2}\to1. 2. Par rationalisation, f(x)−x=(4x+5)/(x2+4x+5+x)→2f(x)-x=(4x+5)/(\sqrt{x^2+4x+5}+x)\to2. 3. L'asymptote est y=x+2y=x+2. On vérifie f(x)2−(x+2)2=1f(x)^2-(x+2)^2=1 ; donc f(x)−(x+2)=1/(f(x)+x+2)>0f(x)-(x+2)=1/(f(x)+x+2)>0. La courbe est strictement au-dessus de la droite.

Exercice 9 — Maximum d'un volume

On découpe des carrés de côté xx aux coins d'une feuille carrée de côté 20 cm puis on replie pour former une boîte.
  1. Exprimer le volume.
  2. Étudier sa dérivée.
  3. Trouver son maximum.
Corrigé détaillé
1. Pour 0<x<100<x<10, la hauteur vaut xx et le côté de la base 20−2x20-2x, donc V(x)=x(20−2x)2V(x)=x(20-2x)^2. 2. V′(x)=(20−2x)(20−6x)V'(x)=(20-2x)(20-6x). Le premier facteur est positif ; le second est positif si x<10/3x<10/3 et négatif au-delà. 3. Le volume maximal est obtenu en x=10/3x=10/3 cm, et vaut V(10/3)=16000/27 cm3V(10/3)=16000/27\ \mathrm{cm}^3, soit environ 592,6592{,}6 cm³.

Exercice 10 — Fonction continue et nombre de solutions

Soit f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x sur [−2,2][-2,2].
  1. Déterminer ses extrema.
  2. Pour quelles valeurs de aa l'équation f(x)=af(x)=a admet-elle une solution ?
  3. Donner les solutions pour a=0a=0.
Corrigé détaillé
1. f′(x)=3(x2−1)f'(x)=3(x^2-1). On trouve f(−2)=−2f(-2)=-2, f(−1)=2f(-1)=2, f(1)=−2f(1)=-2, f(2)=2f(2)=2. L'image de l'intervalle est donc [−2,2][-2,2]. 2. Par continuité, f(x)=af(x)=a admet au moins une solution sur [−2,2][-2,2] exactement quand a∈[−2,2]a\in[-2,2]. 3. f(x)=x(x2−3)f(x)=x(x^2-3). Pour a=0a=0, les trois solutions sont −3-\sqrt3, 00 et 3\sqrt3, toutes admissibles.

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