Niveau Première

Exercices de maths Première pour préparer la Terminale

Les notions de Première qui servent le plus en Terminale, révisées à travers des exercices corrigés : second degré, dérivation, suites et probabilités conditionnelles.

Au programme de cette page

Cette page rassemble 16 exercices de maths (Niveau Première) répartis en 4 thèmes, dont 6 accompagnés d'un corrigé détaillé.

Second degré (2 ex.)
Dérivation et variations (2 ex.)
Suites et probabilités (2 ex.)
Sujets d'entraînement Première (énoncés sans corrigé) (10 ex.)

Consolider la dérivation et l'étude de signe avant l'entrée en Terminale
Maîtriser les suites arithmétiques et géométriques
Reprendre les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés

Corriger vos exercices en visio Télécharger la checklist Première (PDF)

Second degré

Exercice 1

Étudier le signe de

f(x) = 2x^{2} - 5x + 2

sur

\mathbb{R}

, puis résoudre

f(x) < 0

Exercice 2

Déterminer

m

pour que l'équation

x^{2} + mx + 4 = 0

admette une unique solution réelle.

Dérivation et variations

Exercice 1

Soit

f(x) = x^{3} - 3x + 1

. Calculer

f'

, dresser le tableau de variations et donner les extremums locaux.

Exercice 2

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de

g(x) = \dfrac{x}{x + 2}

au point d'abscisse

0

Suites et probabilités

Exercice 1

Un capital de

2\,000

€ est placé à

3\ \%

par an. On note

C_n

le capital après

n

années. Exprimer

C_n

et calculer le capital au bout de

10

ans.

Exercice 2

Dans une classe,

60\ \%

des élèves font de l'allemand. Parmi eux,

70\ \%

font aussi du latin ; parmi les autres,

20\ \%

font du latin. Calculer la probabilité qu'un élève pris au hasard fasse du latin.

Sujets d'entraînement Première (énoncés sans corrigé)

Exercice 1

Second degré : optimisation d'un bénéfice

Maître Karin produit entre

0

60

haricots magiques (Sensu) par jour dans sa tour.

Le coût de culture (en zénis) de

x

haricots magiques est donné par la fonction

f

définie sur l'intervalle

[0\,;\,60]

par :

f(x) = 2x^{2} + 100x + 800

Chaque haricot magique est vendu aux guerriers Z au prix fixe de

300

zénis, et toute la production du jour est vendue.

Exprimer la recette $R(x)$ puis le bénéfice $B(x)$ réalisé par Maître Karin en fonction de $x$ .

Étudier les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0\,;\,60]$ .

En déduire le nombre de haricots magiques à cultiver pour obtenir le bénéfice maximal, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.

Combien de haricots magiques Maître Karin doit-il cultiver et vendre pour que son activité soit rentable (bénéfice strictement positif) ?

Exercice 2

Suites arithmético-géométriques et suite auxiliaire

Une réserve naturelle compte initialement

60

éléphants en 2026. Chaque année, la population baisse de

10\ \%

à cause de l'environnement, mais la réserve introduit

8

nouveaux éléphants. On note

u_n

le nombre d'éléphants l'année

2026 + n

Justifier que $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 8$ avec $u_0 = 60$ .

Montrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

On introduit la suite auxiliaire $v_n = u_n - 80$ .

a) Montrer que

(v_n)

est une suite géométrique de raison

0{,}9

b) Exprimer

v_n

puis

u_n

en fonction de

n

Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ .

À long terme, comment va évoluer la population d'éléphants ?

Exercice 3

Suites et probabilités conditionnelles

Le soir, avant de s'endormir, Bachir regarde des séries ou lit un livre. La probabilité qu'il :

lise le soir s'il a lu la veille est de $0{,}3$ ;

lise le soir s'il a regardé des séries la veille est de $0{,}7$ .

Pour tout entier

n \in \mathbb{N}^{*}

, on note

L_n

l'événement « le

n

-ième soir, Bachir lit un livre » et on appelle

p_n

la probabilité de cet événement. Le premier soir, Bachir a lu un livre de sorte que

p_1 = 1

Recopier et compléter l'arbre représentant la situation.

Montrer que $p_{n+1} = -0{,}4\,p_n + 0{,}7$ .

On définit, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^{*}$ , la suite $(v_n)$ par $v_n = p_n - 0{,}5$ .

a) Montrer que

v_{n+1} = -0{,}4\,p_n + 0{,}2

b) Exprimer

p_n

en fonction de

v_n

c) En déduire que

v_{n+1} = -0{,}4\,v_n

d) En déduire la nature de la suite

(v_n)

e) Exprimer

v_n

puis

p_n

en fonction de

n

Quelle valeur peut-on conjecturer pour $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$ ? L'interpréter dans les termes de l'énoncé.

Exercice 4

Probabilités conditionnelles et indépendance

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte. Une étude a montré que

70\ \%

des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée,

60\ \%

visitent la grotte. Cette étude montre aussi que

20\ \%

des clients interrogés ne visitent pas la grotte sachant qu'ils ne visitent pas le musée. On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :

$M$ l'événement : « le client visite le musée » ;

$G$ l'événement : « le client visite la grotte ».

Déterminer sans justifier : $p(M)$ , $p_M(G)$ , $p_{\overline{M}}(\overline{G})$ .

Calculer $p(\overline{M})$ , $p_M(\overline{G})$ , $p_{\overline{M}}(G)$ .

Compléter l'arbre pondéré ci-contre.

Calculer la probabilité que le client ne fasse aucune visite.

Calculer la probabilité de l'événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée ».

Calculer $p(M \cap G)$ . Interpréter le résultat par une phrase.

Montrer que $p(G) = 0{,}66$ .

Les événements $M$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier votre réponse par un calcul.

Exercice 5

Dérivation, tableaux de variations et tangentes

Soit $f(x) = (4x - 3)\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

a) Montrer que

f'(x) = \dfrac{12x - 3}{2\sqrt{x}}

b) Déterminer le tableau de variations complet de

f

Soit $f(x) = \dfrac{x^{2} + 3}{x - 1}$ pour $x$ dans $I = \;]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[$ .

a) Montrer en détaillant les étapes que

f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}

pour

x

dans

I

b) Étudier précisément le signe de

f'(x)

puis dresser le tableau de variations complet de

f

sur

]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[

c) Quel est le minimum de

f

sur

[2\,;\,5]

d) Déterminer l'équation de la tangente en

x = 2

Exercice 6

5 points

Fonction exponentielle : dérivation et variations

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1\,;\,1]$ par $f(x) = (-4x + 3)\,e^{2x + 1}$ .

a) Montrer que sur

[-1\,;\,1]

, on a :

f'(x) = 2(1 - 4x)\,e^{2x + 1}

b) Résoudre

f'(x) = 0

puis dresser le tableau de variations de

f

sur

[-1\,;\,1]

. Préciser les valeurs exactes des bornes et des extremums éventuels.

c) Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse

0

d) La courbe

\mathcal{C}_f

de la fonction

f

coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel(s) point(s) ?

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 4e^{-3x + 2}$ . Montrer que la fonction $g$ vérifie la relation pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $g'(x) + 3g(x) = 0$ .

Exercice 7

Produit scalaire : QCM

Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Dans un repère orthonormé, on a : $\overrightarrow{AB} = (5\,;\,1)$ et $\overrightarrow{BC} = (-4\,;\,7)$ . Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$ vaut :

a)
$-27$
b)
$-13$
c)
$13$
d)
$27$

Dans un repère orthonormé, on a : $\overrightarrow{AB} = (4\,;\,3)$ et $\overrightarrow{AC} = (3\,;\,-1)$ . L'angle géométrique $\widehat{BAC}$ vaut au degré près :

a)
$55°$
b)
$60°$
c)
$45°$
d)
$50°$

Soit un triangle $ABC$ tel que : $AB = 4$ , $AC = 2$ , $\widehat{BAC} = 60°$ . La longueur $BC$ à $10^{-1}$ près vaut :

a)
$3{,}4$
b)
$3{,}5$
c)
$5{,}2$
d)
$5{,}3$

Exercice 8

7 points

Produit scalaire et géométrie repérée

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct et on considère les points suivants :

A(-3\,;\,-5)

B(9\,;\,3)

C(3{,}5\,;\,8)

H(7{,}5\,;\,2)

Faire une figure, puis tracer le triangle $ABC$ et le segment $[CH]$ .

Donner (sans justifier) les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{HB}$ et $\overrightarrow{HC}$ .

Calculer les distances $AB$ , $AC$ et $HC$ (on doit arriver à $AB = 4\sqrt{13}$ ).

Prouver que l'on a $\overrightarrow{AB} = 8 \times \overrightarrow{HB}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$ . Que peut-on en conclure pour le point $H$ ?

Quelle est, exprimée en unités d'aire, l'aire notée $S$ du triangle $ABC$ ?

Exercice 9

Droites : vecteur normal et projeté orthogonal

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

6x + 5y - 2 = 0

et le point

A(-1\,;\,-2)

Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite.

Donner un vecteur normal à la droite $d$ .

En déduire une équation de la droite perpendiculaire à $d$ passant par $A$ .

En déduire les coordonnées du point $H$ , projeté orthogonal du point $A$ sur la droite donnée.

Exercice 10

Équation cartésienne d'un cercle

Justifier que l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ du plan vérifiant l'équation $x^{2} - 4x + y^{2} + 2y = 0$ est l'équation d'un cercle.

Préciser les coordonnées du centre de ce cercle et son rayon.

Vérifier par le calcul que l'origine du repère et le point $A(0\,;\,-2)$ appartiennent à ce cercle.

Exercices de maths Première corrigés pour préparer la Terminale

Les exercices de cette page couvrent le programme de spécialité maths de Première : second degré (discriminant, forme canonique, factorisation, signe), dérivation et variations, suites arithmétiques et géométriques, probabilités conditionnelles, fonction exponentielle, produit scalaire, équations cartésiennes de droites et équation de cercle.

Ce sont exactement les notions réinvesties dès le premier trimestre de Terminale : un élève qui maîtrise ces énoncés aborde les suites par récurrence, l'étude de fonctions et la géométrie dans l'espace sans retard technique.

Points de blocage les plus fréquents en Première

Trois erreurs reviennent presque systématiquement : confondre signe du trinôme et signe du discriminant, dériver un quotient sans vérifier le domaine, et mélanger raison d'une suite géométrique et différence d'une suite arithmétique.

Les exercices de QCM sur le produit scalaire et les équations de cercle servent aussi à vérifier la lecture des coordonnées : une erreur de signe sur un vecteur suffit à faire perdre toute la question.

Questions fréquentes

Ces exercices de maths Première sont-ils gratuits ?

Oui. Tous les énoncés de cette page sont en accès libre, sans inscription ni compte. Les corrigés disponibles s'affichent d'un simple clic, et la page peut être imprimée pour travailler au brouillon.

Comment travailler efficacement ces exercices de maths Première ?

Faites un exercice complet sans regarder le corrigé, en vous chronométrant, puis comparez votre rédaction avec la correction. Notez les erreurs récurrentes (calcul, méthode, justification) et refaites l'exercice deux jours plus tard : c'est la répétition espacée qui installe les automatismes.

Les exercices suivent-ils le programme officiel Première ?

Oui, les thèmes reprennent les attendus du programme Première et les formats de questions rencontrés en contrôle comme au contrôle continu.

Peut-on faire corriger ses exercices avec un professeur ?

Oui. Les exercices peuvent être repris en visio pendant une séance de cours particulier, à partir de vos propres contrôles. La première séance de 30 min est offerte, et les tarifs démarrent à 23,90 € la séance.