Niveau Terminale

Exercices type Bac de maths Terminale, avec corrigés

Une sélection d'exercices type Bac pour travailler les attendus de l'épreuve de spécialité : rédaction rigoureuse, gestion du temps et réflexes de calcul. Chaque énoncé est accompagné d'un corrigé détaillé.

Au programme de cette page

Cette page rassemble 13 exercices de maths (Niveau Terminale) répartis en 4 thèmes, dont 6 accompagnés d'un corrigé détaillé.

  • Retrouver les automatismes de calcul attendus le jour de l'épreuve
  • Rédiger une récurrence, une étude de fonction et un calcul d'intégrale sans perdre de points
  • Travailler la gestion du temps sur des exercices complets
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Suites et récurrence

Exercice 1

Soit (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et un+1=0,5 un+3u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3. Montrer par récurrence que un⩽6u_n \leqslant 6 pour tout nn, puis étudier la monotonie de la suite.
Indice : Utilisez la croissance de x↦0,5x+3x \mapsto 0{,}5x + 3 pour l'hérédité.

Exercice 2

On pose vn=un−6v_n = u_n - 6 avec la suite précédente. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique et en déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.

Exponentielle, logarithme et dérivation

Exercice 1

Soit f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^{x} sur R\mathbb{R}. Étudier les variations de ff, préciser les limites en −∞-\infty et +∞+\infty, puis donner l'équation de la tangente en 00.

Exercice 2

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(2x+1)+ln⁡(x)=ln⁡(6)\ln(2x + 1) + \ln(x) = \ln(6). Préciser l'ensemble de définition avant de résoudre.
Indice : Il faut x>0x > 0 et 2x+1>02x + 1 > 0.

Intégrales et probabilités

Exercice 1

Calculer I=∫01(2x+1)ex2+x dxI = \displaystyle\int_{0}^{1} (2x + 1)e^{x^{2}+x}\,\mathrm{d}x.
Indice : Reconnaissez une forme u′euu'e^{u}.

Exercice 2

Un QCM comporte 1010 questions à 44 réponses possibles. Un élève répond au hasard. Soit XX le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de XX, son espérance, puis P(X⩾2)P(X \geqslant 2).

Sujets type Bac à travailler (énoncés sans corrigé)

Exercice 1

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et seuil

Lors d'un entraînement, Usopp s'exerce au tir avec son lance-pierres. Il utilise deux types de projectiles : les billes d'explosifs (tirs à courte portée) et les billes de feu (tirs à longue portée).
On dispose des données suivantes : un quart de ses tirs sont faits avec des billes d'explosifs, et parmi eux 60 % touchent la cible ; trois quarts de ses tirs sont faits avec des billes de feu, et parmi eux 35 % touchent la cible.

Partie 1 : probabilités conditionnelles

Usopp réalise un tir. On considère les événements EE : « il s'agit d'un tir avec une bille d'explosif » et TT : « le tir touche la cible ».
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
  1. Calculer P(E∩T)P(E \cap T).
  1. Démontrer que la probabilité qu'Usopp touche la cible est égale à 0,41250{,}4125.
  1. Sachant que le tir a touché la cible, calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir avec une bille de feu. Arrondir au centième.

Partie 2 : loi binomiale

Usopp réalise à présent une série de 10 tirs indépendants en utilisant uniquement des billes de feu (p=0,35p = 0{,}35). On note XX la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
  1. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  1. Calculer E(X)E(X) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  1. Déterminer la probabilité qu'Usopp touche la cible exactement 44 fois. Arrondir au centième.
  1. Déterminer la probabilité qu'Usopp rate 44 tirs ou plus. Arrondir au centième.

Partie 3 : nombre minimum de tirs

Soit nn un entier naturel non nul. Usopp effectue nn tirs indépendants avec des billes de feu (p=0,35p = 0{,}35), et XX suit la loi B(n ; 0,35)\mathcal{B}(n\,;\,0{,}35).
  1. Montrer que P(X⩾1)=1−0,65 nP(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}65^{\,n}.
  1. Déterminer le nombre minimal de tirs nn qu'Usopp doit effectuer pour que la probabilité de toucher la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,950{,}95.

Exercice 2

Géométrie dans l'espace : repère, droites et représentations paramétriques

Cube ABCDEFGH d'arête 4 muni du repère orthonormé (A ; i, j, k) : A à l'origine, B sur l'axe i, D sur l'axe j et E sur l'axe k
On considère un repère orthonormé (A ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}) de l'espace dans lequel on place les points B(4 ; 0 ; 0)B(4\,;\,0\,;\,0), D(0 ; 4 ; 0)D(0\,;\,4\,;\,0), E(0 ; 0 ; 4)E(0\,;\,0\,;\,4), et les points CC, FF, GG et HH de sorte que le solide ABCDEFGHABCDEFGH soit un cube.
  1. Donner les coordonnées des points CC, FF, GG et HH.
  1. Placer le point MM tel que AM→=2ı⃗+2ȷ⃗+4k⃗\overrightarrow{AM} = 2\vec{\imath} + 2\vec{\jmath} + 4\vec{k} en exhibant les traits de construction.
  1. On considère le point II milieu de l'arête [EF][EF]. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IC)(IC) est donnée par {x=2+2ty=4tz=4−4t\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4t \\ z = 4 - 4t \end{cases} où t∈Rt \in \mathbb{R}.
  1. Le point N(0 ; −4 ; 8)N(0\,;\,-4\,;\,8) appartient-il à la droite (IC)(IC) ? Et le point P(2 ; 4 ; −4)P(2\,;\,4\,;\,-4) ?
  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (BH)(BH).
  1. Les droites (IC)(IC) et (BH)(BH) sont-elles sécantes ?
  1. Le point LL tel que AL→=75AE→\overrightarrow{AL} = \dfrac{7}{5}\overrightarrow{AE} appartient-il à la droite (IC)(IC) ? Justifier.

Exercice 3

5 points

Géométrie dans l'espace : distance d'un point à un plan

Cube ABCDEFGH d'arête 1 avec le point I milieu de [EF], le point K centre du carré ADHE, le point O milieu de [AG] et le triangle AIG marquant le plan (AIG)
On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête de longueur 11. L'espace est muni du repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}). Le point II est le milieu du segment [EF][EF], KK le centre du carré ADHEADHE et OO le milieu du segment [AG][AG].
Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes la distance du point BB au plan (AIG)(AIG).

Partie A — Première méthode

  1. Donner, sans justification, les coordonnées des points AA, BB et GG. On admet que I(12 ; 0 ; 1)I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right) et K(0 ; 12 ; 12)K\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right).
  1. Démontrer que la droite (BK)(BK) est orthogonale au plan (AIG)(AIG).
  1. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG)(AIG) est 2x−y−z=02x - y - z = 0.
  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK)(BK).
  1. En déduire que le projeté orthogonal LL du point BB sur le plan (AIG)(AIG) a pour coordonnées L(13 ; 13 ; 13)L\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right).
  1. Déterminer la distance du point BB au plan (AIG)(AIG).

Partie B — Deuxième méthode

On rappelle que le volume VV d'une pyramide est donné par V=13×B×hV = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h où B\mathcal{B} est l'aire d'une base et hh la hauteur associée à cette base.
  1. a. Justifier que, dans le tétraèdre ABIGABIG, [GF][GF] est la hauteur relative à la base AIBAIB. b. En déduire le volume du tétraèdre ABIGABIG.
  1. On admet que AI=IG=52AI = IG = \dfrac{\sqrt{5}}{2} et que AG=3AG = \sqrt{3}. Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIGAIG est égale à 64\dfrac{\sqrt{6}}{4}.
  1. En déduire la distance du point BB au plan (AIG)(AIG).

Exercice 4

10 points

Suites : modélisation et convergence

Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600600 individus. Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un)(u_n) définie par {u0=0,6un+1=0,75 un (1−0,15 un)\begin{cases} u_0 = 0{,}6 \\ u_{n+1} = 0{,}75\,u_n\,(1 - 0{,}15\,u_n) \end{cases} où, pour tout entier naturel nn, unu_n désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020+n2020 + n.
a) Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1][0\,;\,1] par f(x)=0,75x(1−0,15x)f(x) = 0{,}75x(1 - 0{,}15x).
b) Montrer que la fonction ff est croissante sur l'intervalle [0 ; 1][0\,;\,1] et dresser son tableau de variations.
c) Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1][0\,;\,1] l'équation f(x)=xf(x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), et on admettra que pour tout entier naturel nn, 0⩽un+1⩽un⩽10 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1.
d) En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente et déterminer sa limite ℓ\ell. Citer le théorème utilisé pour déterminer la limite.

Exercice 5

Suites : suite affine et suite géométrique auxiliaire

Nathalie place 1 0001\,000 euros sur un compte épargne le 1er janvier 2020. Chaque année, la banque lui prélève 1010 € en juin mais en décembre, elle lui verse 2 %2\,\% de la somme disponible sur le compte. On note unu_n la somme sur le compte en janvier 2020+n2020 + n. On a u0=1000u_0 = 1000.
  1. Calculer u1u_1.
  1. Justifier que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=1,02 un−10,2u_{n+1} = 1{,}02\,u_n - 10{,}2.
  1. Soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=un−510v_n = u_n - 510.
a) Montrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.
b) En déduire l'expression de vnv_n en fonction de nn, puis celle de unu_n en fonction de nn.
c) Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Exercice 6

5 points

Fonctions : logarithme, variations et position relative

Partie A

On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par g(x)=ln⁡(x2)+x−2g(x) = \ln(x^{2}) + x - 2.
  1. Déterminer les limites de la fonction gg aux bornes de son ensemble de définition.
  1. On admet que gg est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Étudier les variations de gg sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  1. a. Démontrer que l'équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. b. Déterminer un encadrement de α\alpha d'amplitude 10−210^{-2}. Détailler la démarche.
  1. En déduire le tableau de signes de la fonction gg sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

Partie B

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=x−2xln⁡(x)f(x) = \dfrac{x - 2}{x}\ln(x). On note (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. a. Déterminer la limite de ff en 00. b. Interpréter graphiquement le résultat.
  1. Déterminer la limite de la fonction ff en +∞+\infty.
  1. On admet que ff est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Montrer que, pour tout réel xx strictement positif, f′(x)=g(x)x2f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^{2}}.
  1. En déduire les variations de la fonction ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

Partie C

Étudier la position relative de la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) et de la courbe représentative de la fonction ln⁡\ln sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

Exercice 7

Équations différentielles du premier ordre

Soit l'équation différentielle (E)(E) : y′+2y=3e−3xy' + 2y = 3e^{-3x}.
  1. Vérifier que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=−3e−3xg(x) = -3e^{-3x} est solution de l'équation (E)(E).
  1. Montrer qu'une fonction ff est solution de (E)(E) si et seulement si f−gf - g est solution de (E′)(E') : y′+2y=0y' + 2y = 0.
  1. En déduire l'ensemble des solutions de (E)(E).

Exercices de maths Terminale corrigés : ce que contient cette page

Cette page rassemble des exercices de maths de Terminale (spécialité mathématiques) au format de l'épreuve du Bac : suites et récurrence, fonction exponentielle et logarithme, dérivation, intégrales, probabilités conditionnelles, loi binomiale et géométrie dans l'espace avec vecteurs, droites et plans.

Chaque énoncé reprend la structure d'un sujet officiel : questions progressives, justifications attendues et calculs à mener jusqu'au bout. Les exercices corrigés permettent de vérifier la rédaction, notamment sur les points qui coûtent le plus de points au Bac : initialisation et hérédité d'une récurrence, étude complète de signe, interprétation d'une probabilité et démonstration d'orthogonalité.

Programme de spécialité maths travaillé dans ces exercices

Analyse : limites et continuité, dérivation et convexité, fonction exponentielle et logarithme népérien, primitives et calcul intégral, suites (variations, majoration, convergence, récurrence).

Probabilités et géométrie : succession d'épreuves, loi binomiale, variables aléatoires, indépendance, arbre pondéré et formule des probabilités totales, puis représentation paramétrique d'une droite, équation cartésienne d'un plan, produit scalaire et distances dans l'espace.

Méthode de révision pour le Bac de maths

Travaillez par blocs de 45 minutes sur un seul thème, puis alternez les thèmes pour simuler les conditions de l'épreuve. Les sujets type Bac de la page se font en autonomie, sans calculatrice formelle pour la partie automatismes, puis avec les outils autorisés.

Terminez chaque séance par une fiche de deux lignes : la méthode utilisée et l'erreur commise. C'est ce carnet d'erreurs, relu la veille des contrôles, qui fait gagner le plus de points en fin d'année.

Questions fréquentes

Ces exercices de maths Terminale sont-ils gratuits ?

Oui. Tous les énoncés de cette page sont en accès libre, sans inscription ni compte. Les corrigés disponibles s'affichent d'un simple clic, et la page peut être imprimée pour travailler au brouillon.

Comment travailler efficacement ces exercices de maths Terminale ?

Faites un exercice complet sans regarder le corrigé, en vous chronométrant, puis comparez votre rédaction avec la correction. Notez les erreurs récurrentes (calcul, méthode, justification) et refaites l'exercice deux jours plus tard : c'est la répétition espacée qui installe les automatismes.

Les exercices suivent-ils le programme officiel Terminale ?

Oui, les thèmes reprennent les attendus du programme Terminale et les formats de questions rencontrés en contrôle comme au Bac.

Peut-on faire corriger ses exercices avec un professeur ?

Oui. Les exercices peuvent être repris en visio pendant une séance de cours particulier, à partir de vos propres contrôles. La première séance de 30 min est offerte, et les tarifs démarrent à 23,90 € la séance.

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