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Loi binomiale en Terminale : exercices corrigés type Bac

La loi binomiale compte le nombre de succès quand on répète nn fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues. Au Bac, on attend la justification du modèle, des calculs de probabilités et parfois la recherche d'un seuil. Voici les formules puis dix exercices corrigés.

L'essentiel à retenir

  • Si X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
  • E(X)=npE(X) = np, V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p), σ(X)=np(1−p)\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.
  • « Au moins un succès » : P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)nP(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n.

Exercice 1 — Calculs de base

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(10;0,3)\mathcal{B}(10 ; 0{,}3).
  1. Calculer P(X=2)P(X = 2), arrondi à 10−410^{-4}.
  2. Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X) (arrondi à 10−210^{-2}).
Corrigé détaillé
  1. P(X=2)=(102)×0,32×0,78=45×0,09×0,78≈0,2335P(X = 2) = \dbinom{10}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^8 = 45 \times 0{,}09 \times 0{,}7^8 \approx 0{,}2335.
  2. E(X)=10×0,3=3E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3 ; V(X)=10×0,3×0,7=2,1V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1 ; σ(X)=2,1≈1,45\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45.

Exercice 2 — QCM répondu au hasard

Un QCM comporte 5 questions indépendantes, chacune avec 4 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. On note XX le nombre de bonnes réponses.
  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse.
  3. Calculer la probabilité d'avoir les 5 bonnes réponses.
Corrigé détaillé
  1. On répète 5 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : succès « bonne réponse » de probabilité 14=0,25\dfrac{1}{4} = 0{,}25. Donc X∼B(5;0,25)X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}25).
  2. P(X≥1)=1−0,755=1−0,2373046875≈0,7627P(X \geq 1) = 1 - 0{,}75^5 = 1 - 0{,}2373046875 \approx 0{,}7627.
  3. P(X=5)=0,255=0,0009765625≈0,0010P(X = 5) = 0{,}25^5 = 0{,}0009765625 \approx 0{,}0010.

Exercice 3 — Recherche d'un seuil

Une machine produit des pièces dont 2 % sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève nn pièces. Déterminer le plus petit entier nn tel que la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à 0,50{,}5.
Corrigé détaillé
Le nombre de pièces défectueuses suit B(n;0,02)\mathcal{B}(n ; 0{,}02). On veut 1−0,98n≥0,51 - 0{,}98^n \geq 0{,}5, soit 0,98n≤0,50{,}98^n \leq 0{,}5. La fonction ln⁡\ln est croissante : nln⁡(0,98)≤ln⁡(0,5)n \ln(0{,}98) \leq \ln(0{,}5). Comme ln⁡(0,98)<0\ln(0{,}98) < 0, on change le sens : n≥ln⁡(0,5)ln⁡(0,98)≈34,3n \geq \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}3. Donc n=35n = 35. Vérification : 1−0,9834≈0,497<0,51 - 0{,}98^{34} \approx 0{,}497 < 0{,}5 et 1−0,9835≈0,507≥0,51 - 0{,}98^{35} \approx 0{,}507 \geq 0{,}5.

Exercice 4 — Probabilité exacte

Soit X∼B(8,0,5)X\sim\mathcal B(8,0{,}5). Calculer P(X=4)P(X=4) puis P(X=0)P(X=0).
Corrigé détaillé
On utilise P(X=k)=(8k)(0,5)8P(X=k)=\binom8k(0{,}5)^8. Le coefficient central vaut (84)=70\binom84=70 ; donc P(X=4)=70/256=35/128P(X=4)=70/256=\boxed{35/128}. Pour k=0k=0, (80)=1\binom80=1 et P(X=0)=1/256P(X=0)=\boxed{1/256}.

Exercice 5 — Au moins un succès

Une pièce donne pile avec probabilité 0,20{,}2 à chaque lancer indépendant. Sur 6 lancers, calculer la probabilité d'au moins un pile.
Corrigé détaillé
Si XX compte les piles, X∼B(6,0,2)X\sim\mathcal B(6,0{,}2). Le complément de « au moins un » est X=0X=0. Ainsi P(X≥1)=1−(1−0,2)6=1−0,86=0,737856P(X\ge1)=1-(1-0{,}2)^6=\boxed{1-0{,}8^6}=0{,}737856.

Exercice 6 — Espérance et variance

Si X∼B(20,0,4)X\sim\mathcal B(20,0{,}4), calculer son espérance, sa variance et son écart-type.
Corrigé détaillé
La loi binomiale donne E(X)=np=20×0,4=8E(X)=np=20\times0{,}4=\boxed8 et V(X)=np(1−p)=20×0,4×0,6=4,8V(X)=np(1-p)=20\times0{,}4\times0{,}6=\boxed{4{,}8}. L'écart-type vaut σ=4,8≈2,19\sigma=\sqrt{4{,}8}\approx\boxed{2{,}19}.

Exercice 7 — Exactement deux réussites

Un joueur gagne une partie avec probabilité 0,60{,}6. Sur 5 parties indépendantes, calculer la probabilité d'exactement deux victoires.
Corrigé détaillé
Le nombre XX de victoires suit B(5,0,6)\mathcal B(5,0{,}6). Donc P(X=2)=(52)(0,6)2(0,4)3=10×0,36×0,064=0,2304P(X=2)=\binom52(0{,}6)^2(0{,}4)^3=10\times0{,}36\times0{,}064=\boxed{0{,}2304}.

Exercice 8 — Au plus une réussite

Avec X∼B(4,0,3)X\sim\mathcal B(4,0{,}3), calculer P(X≤1)P(X\le1).
Corrigé détaillé
Les événements X=0X=0 et X=1X=1 sont disjoints. P(X=0)=0,74=0,2401P(X=0)=0{,}7^4=0{,}2401. P(X=1)=(41)0,3×0,73=4×0,3×0,343=0,4116P(X=1)=\binom41 0{,}3\times0{,}7^3=4\times0{,}3\times0{,}343=0{,}4116. Donc P(X≤1)=0,6517P(X\le1)=\boxed{0{,}6517}.

Exercice 9 — Seuil de fiabilité

Un appareil fonctionne correctement à chaque essai avec probabilité 0,90{,}9. Combien d'essais indépendants faut-il pour que la probabilité d'au moins un fonctionnement soit ≥0,999\ge0{,}999 ?
Corrigé détaillé
La probabilité d'aucun fonctionnement en nn essais est (0,1)n(0{,}1)^n. On veut 1−0,1n≥0,9991-0{,}1^n\ge0{,}999, donc 0,1n≤0,001=0,130{,}1^n\le0{,}001=0{,}1^3. Comme la base est entre 0 et 1, n≥3\boxed{n\ge3} ; le minimum est 3.

Exercice 10 — Modélisation d'un sondage

On interroge indépendamment 50 personnes, chacune répondant « oui » avec probabilité 0,30{,}3. Déterminer la loi du nombre de « oui », son espérance et la probabilité d'aucun oui.
Corrigé détaillé
Il y a 50 épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de paramètre 0,30{,}3. Le total XX suit B(50,0,3)\mathcal B(50,0{,}3). Son espérance vaut E(X)=50×0,3=15E(X)=50\times0{,}3=15. Aucun oui correspond à X=0X=0, donc P(X=0)=0,750P(X=0)=0{,}7^{50}.

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