Première STMG

Probabilités conditionnelles en Première STMG : exercices corrigés

Dix exercices corrigés de probabilités conditionnelles pour Première STMG, avec tableaux croisés, arbres et indépendance.

L'essentiel à retenir

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (probabilité de $B$ sachant $A$ ).
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : on multiplie le long d'une branche.
Probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Exercice 1 — Tableau croisé : satisfaction des clients

Une enquête auprès de 200 clients donne :

	Satisfait	Non satisfait	Total
Achat en ligne	90	30	120
Achat en magasin	50	30	80
Total	140	60	200

On choisit un client au hasard.

L

: « achat en ligne »,

S

: « satisfait ».

Calculer $P(S)$ et $P(L \cap S)$ .
Calculer $P_L(S)$ .
Calculer $P_S(L)$ .

Corrigé détaillé

$P(S) = \dfrac{140}{200} = 0{,}7$ et $P(L \cap S) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45$ .
Parmi les 120 clients en ligne, 90 sont satisfaits : $P_L(S) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75$ .
Parmi les 140 clients satisfaits, 90 ont acheté en ligne : $P_S(L) = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14} \approx 0{,}643$ .

Exercice 2 — Arbre pondéré et probabilités totales

On donne

P(A) = 0{,}6

P_A(B) = 0{,}3

P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5

Construire l'arbre pondéré.
Calculer $P(A \cap B)$ puis $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ .

Corrigé détaillé

Premier niveau : $A$ ( $0{,}6$ ) et $\overline{A}$ ( $0{,}4$ ). Après $A$ : $B$ ( $0{,}3$ ), $\overline{B}$ ( $0{,}7$ ). Après $\overline{A}$ : $B$ ( $0{,}5$ ), $\overline{B}$ ( $0{,}5$ ).
$P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$ ; $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$ . Donc $P(B) = 0{,}18 + 0{,}2 = 0{,}38$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}38} = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}474$ .

Exercice 3 — Indépendance de deux événements

On donne

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}5

P(A \cap B) = 0{,}2

. Les événements

A

B

sont-ils indépendants ?

Corrigé détaillé

P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)

. Les événements

A

B

sont indépendants (on vérifie aussi

P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5 = P(B)

Exercice 4 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 1

1. Une enquête donne 18 clients fidèles satisfaits, 12 fidèles insatisfaits, 10 nouveaux satisfaits et 20 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

18+12=30

sur 60 :

P(F)=\boxed{\frac{30}{60}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 30 fidèles, 18 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{18}{30}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 18 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{18}{60}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 5 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 2

1. Une enquête donne 20 clients fidèles satisfaits, 13 fidèles insatisfaits, 11 nouveaux satisfaits et 22 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

20+13=33

sur 66 :

P(F)=\boxed{\frac{33}{66}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 33 fidèles, 20 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{20}{33}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 20 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{20}{66}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 6 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 3

1. Une enquête donne 22 clients fidèles satisfaits, 14 fidèles insatisfaits, 12 nouveaux satisfaits et 24 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

22+14=36

sur 72 :

P(F)=\boxed{\frac{36}{72}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 36 fidèles, 22 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{22}{36}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 22 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{22}{72}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 7 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 4

1. Une enquête donne 24 clients fidèles satisfaits, 15 fidèles insatisfaits, 13 nouveaux satisfaits et 26 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

24+15=39

sur 78 :

P(F)=\boxed{\frac{39}{78}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 39 fidèles, 24 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{24}{39}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 24 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{24}{78}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 8 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 5

1. Une enquête donne 26 clients fidèles satisfaits, 16 fidèles insatisfaits, 14 nouveaux satisfaits et 28 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

26+16=42

sur 84 :

P(F)=\boxed{\frac{42}{84}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 42 fidèles, 26 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{26}{42}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 26 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{26}{84}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 9 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 6

1. Une enquête donne 28 clients fidèles satisfaits, 17 fidèles insatisfaits, 15 nouveaux satisfaits et 30 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

28+17=45

sur 90 :

P(F)=\boxed{\frac{45}{90}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 45 fidèles, 28 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{28}{45}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 28 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{28}{90}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

Exercice 10 — Tableau clients et probabilités conditionnelles — 7

1. Une enquête donne 30 clients fidèles satisfaits, 18 fidèles insatisfaits, 16 nouveaux satisfaits et 32 nouveaux insatisfaits. Calculer

P(F)

(fidèle). 2. Calculer

P(S\mid F)

(satisfait sachant fidèle). 3. Calculer

P(F\cap S)

et interpréter les dénominateurs.

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. Les clients fidèles sont au nombre de

30+18=48

sur 96 :

P(F)=\boxed{\frac{48}{96}}

. Étape 2 — Faire le calcul. Parmi les 48 fidèles, 30 sont satisfaits :

P(S\mid F)=\boxed{\frac{30}{48}}

. Étape 3 — Conclure. L'intersection concerne 30 clients parmi toute la population :

P(F\cap S)=\boxed{\frac{30}{96}}

. Il faut prendre le bon univers de référence.

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