Première spécialité — Second degré · Exercices supplémentaires

Second degré — 17 exercices supplémentaires corrigés de Première spécialité

Retrouvez les 17 exercices transmis, avec leurs questions et données conservées et des corrigés pas à pas. Les figures indispensables ont été redessinées fidèlement en SVG pour rester nettes sur téléphone. Cette fiche complète les 10 exercices existants du chapitre « Second degré » sans les remplacer.

L'essentiel à retenir

  • Pour un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c, le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac : il détermine le nombre de racines réelles.
  • La forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta donne le sommet (α;β)(\alpha;\beta) et l'extremum.
  • Pour un trinôme qui admet deux racines r1,r2r_1,r_2, la forme factorisée est a(x−r1)(x−r2)a(x-r_1)(x-r_2).
  • Le bénéfice économique se calcule par recette moins coût ; optimiser ce bénéfice revient souvent à rechercher le sommet d'une parabole.
  • Pour un problème géométrique, déterminer d'abord l'ensemble des valeurs admissibles de xx avant de résoudre équations ou inéquations.

Exercice 1 — Exercice 112 — Modéliser un problème économique : boîtes à bijoux

Un artisan fabrique des boîtes à bijoux en bois. Il peut en fabriquer jusqu'à 150 par mois. On suppose que toute la production est vendue et chaque boîte est vendue 50 €. Le coût de fabrication en euros de xx boîtes est donné par la fonction f(x)=0,23x2+4x+300f(x)=0{,}23x^2+4x+300. 1. Quel est le coût de fabrication de 20 boîtes ? 2. On note R(x)R(x) la recette, en euros, engendrée par la vente de xx boîtes. Exprimer R(x)R(x) en fonction de xx. 3. Montrer que le bénéfice, en euros, engendré par la vente de xx boîtes est donné par la fonction BB définie sur [0;150][0;150] par B(x)=−0,23x2+46x−300B(x)=-0{,}23x^2+46x-300. 4. Quel est le bénéfice réalisé pour la vente de 20 boîtes ? 5. Étudier les variations de BB sur [0;150][0;150]. 6. En déduire le bénéfice maximal de l'artisan. Pour combien de boîtes est-il obtenu ? 7. Déterminer, lorsque c'est possible, le nombre de boîtes à produire et vendre pour obtenir un bénéfice de : a) 1 425 € ; b) 3 000 €. 8. Combien de boîtes l'artisan doit-il fabriquer et vendre pour être rentable ?
Corrigé détaillé
1. f(20)=0,23×202+4×20+300=92+80+300=472 €f(20)=0{,}23\times20^2+4\times20+300=92+80+300=\boxed{472\ \mathrm{€}}. 2. Chaque boîte rapporte 50 €. La recette vaut donc R(x)=50x\boxed{R(x)=50x}. 3. Bénéfice = recette − coût : B(x)=50x−(0,23x2+4x+300)=−0,23x2+46x−300B(x)=50x-(0{,}23x^2+4x+300)=\boxed{-0{,}23x^2+46x-300}, pour 0≤x≤1500\le x\le150. 4. B(20)=50×20−472=528 €B(20)=50\times20-472=\boxed{528\ \mathrm{€}}. 5. Le coefficient de x2x^2 est négatif. L'abscisse du sommet vaut α=−462(−0,23)=100\alpha=-\frac{46}{2(-0{,}23)}=\boxed{100}. La fonction BB est donc croissante sur [0;100][0;100], puis décroissante sur [100;150][100;150]. 6. B(100)=−0,23×10 000+46×100−300=−2300+4600−300=2000 €B(100)=-0{,}23\times10\,000+46\times100-300=-2300+4600-300=\boxed{2000\ \mathrm{€}}. Ce maximum est atteint pour 100 boîtes. 7.a. B(x)=1425B(x)=1425 conduit à −0,23x2+46x−1725=0-0{,}23x^2+46x-1725=0. En multipliant par −100 : 23x2−4600x+172500=023x^2-4600x+172500=0. Son discriminant est 5 290 000=230025\,290\,000=2300^2. Les solutions sont 4600±230046\frac{4600\pm2300}{46}, soit x=50 ou 150\boxed{x=50\text{ ou }150}. 7.b. Comme le bénéfice maximal est 2 000 €, il est impossible d'obtenir 3 000 €. 8. Pour être rentable, on veut B(x)≥0B(x)\ge0. Les racines de −0,23x2+46x−300-0{,}23x^2+46x-300 sont 100±20011523100\pm\frac{200\sqrt{115}}{23}, soit environ 6,756{,}75 et 193,25193{,}25. Sur [0;150][0;150], B(x)≥0B(x)\ge0 dès x≥6,75x\ge6{,}75. Le nombre de boîtes étant entier, il faut produire et vendre au moins 7\boxed{7} boîtes (et au plus 150).

Exercice 2 — Exercice 8 — Pelouse et terrasse : optimiser une aire

Devant sa maison, Mathieu possède un champ rectangulaire de dimensions 10 mètres sur 5 mètres, modélisé par le rectangle ABCDABCD. Il souhaite y aménager deux carrés de pelouse, représentés par les carrés AMNPAMNP et QRCSQRCS, avec PP, NN, QQ et RR alignés. Le reste du terrain est réservé à la partie terrasse. On pose AM=xAM=x et on note S(x)S(x) l'aire de la terrasse (en m²). 1. Déterminer l'ensemble de définition DD de la fonction SS et montrer que, pour tout x∈Dx\in D : S(x)=−2x2+10x+25S(x)=-2x^2+10x+25. 2. Mathieu souhaite que la partie terrasse ait une aire de 40 m². Est-ce possible ? 3. Pour quelle(s) position(s) du point MM l'aire de la terrasse est-elle égale à 37 m² ? 4. Résoudre l'inéquation S(x)≥35,5S(x)\ge35{,}5. Interpréter les solutions dans le contexte de l'exercice. 5.a. Établir le tableau de variations de la fonction SS. 5.b. En déduire la position du point MM pour laquelle l'aire de la terrasse est maximale. Quelle est cette aire maximale ?
Figure de l’exercice 8 : Pelouse et terrasse : optimiser une aire
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
1. Le carré AMNPAMNP a pour côté xx. La hauteur du rectangle étant 5, le carré QRCSQRCS a pour côté 5−x5-x. On impose donc D=[0;5]\boxed{D=[0;5]}. La terrasse a pour aire : S(x)=10×5−x2−(5−x)2=50−x2−(25−10x+x2)=−2x2+10x+25S(x)=10\times5-x^2-(5-x)^2=50-x^2-(25-10x+x^2)=\boxed{-2x^2+10x+25}. 2. Sous forme canonique, S(x)=−2(x−2,5)2+37,5S(x)=-2(x-2{,}5)^2+37{,}5. La valeur maximale est 37,5 m², donc 40 m² est impossible. 3. −2x2+10x+25=37-2x^2+10x+25=37 équivaut à x2−5x+6=0x^2-5x+6=0, soit (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0. Les deux positions sont AM=2 m ou AM=3 m\boxed{AM=2\ \mathrm m\text{ ou }AM=3\ \mathrm m}. 4. −2x2+10x+25≥35,5-2x^2+10x+25\ge35{,}5 se ramène à 4x2−20x+21≤04x^2-20x+21\le0. Les racines sont 1,51{,}5 et 3,53{,}5. Le coefficient dominant étant positif, x∈[1,5;3,5]\boxed{x\in[1{,}5;3{,}5]}. La terrasse occupe au moins 35,5 m² si MM est situé entre 1,5 m et 3,5 m de A. 5.a. S(x)=−2(x−2,5)2+37,5S(x)=-2(x-2{,}5)^2+37{,}5. Sur [0;5][0;5], elle est croissante de 25 à 37,5 pour xx de 0 à 2,5, puis décroissante de 37,5 à 25 pour xx de 2,5 à 5. 5.b. Le maximum est atteint pour AM=2,5 m\boxed{AM=2{,}5\ \mathrm m} et vaut 37,5 m2\boxed{37{,}5\ \mathrm{m}^2}.

Exercice 3 — Exercice 107 — Trinôme avec un paramètre réel

Soient mm un nombre réel et ff la fonction définie sur R\mathbb R par : f(x)=(m−1)x2+2mx+1−3mf(x)=(m-1)x^2+2mx+1-3m. 1. Déterminer l'ensemble DD des valeurs de mm pour lesquelles ff est une fonction polynôme du second degré. 2. Montrer que, quelle que soit la valeur de m∈Dm\in D, le nombre 1 est racine de ff. 3. Déterminer la valeur de mm telle que −2-2 soit racine de ff et factoriser ff dans ce cas.
Corrigé détaillé
1. ff est un polynôme du second degré lorsque le coefficient de x2x^2 ne s'annule pas : m−1≠0m-1\ne0. Donc D=R∖{1}\boxed{D=\mathbb R\setminus\{1\}}. 2. f(1)=(m−1)+2m+1−3m=0f(1)=(m-1)+2m+1-3m=\boxed0 quelle que soit la valeur de mm (et donc pour tout m∈Dm\in D). 3. On impose f(−2)=0f(-2)=0 : 4(m−1)−4m+1−3m=04(m-1)-4m+1-3m=0, soit −3−3m=0-3-3m=0, d'où m=−1\boxed{m=-1}. Dans ce cas, f(x)=−2x2−2x+4=−2(x+2)(x−1)f(x)=-2x^2-2x+4=\boxed{-2(x+2)(x-1)}. Les racines sont bien −2-2 et 11.

Exercice 4 — Exercice 95 — Balançoires : bénéfice et rentabilité

Une entreprise produit entre 0 et 50 balançoires par jour. Le coût de fabrication de xx balançoires, en euros, est donné par f(x)=x2+230x+325f(x)=x^2+230x+325. Chaque balançoire est vendue 300 €, et toute la production est vendue. 1. Exprimer le bénéfice B(x)B(x) réalisé par l'entreprise en fonction de xx. 2. Étudier les variations de la fonction BB. 3. En déduire le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise. 4. Combien de balançoires l'entreprise doit-elle produire et vendre pour être rentable ?
Corrigé détaillé
1. Recette : R(x)=300xR(x)=300x. Bénéfice : B(x)=R(x)−f(x)=300x−(x2+230x+325)=−x2+70x−325B(x)=R(x)-f(x)=300x-(x^2+230x+325)=\boxed{-x^2+70x-325}, pour x∈[0;50]x\in[0;50]. 2. Forme canonique : B(x)=−(x−35)2+900B(x)=-(x-35)^2+900. Le coefficient de (x−35)2(x-35)^2 est négatif : BB est croissante sur [0;35][0;35], puis décroissante sur [35;50][35;50]. 3. Le bénéfice maximal vaut 900 €\boxed{900\ \mathrm{€}}, obtenu avec 35\boxed{35} balançoires. 4. B(x)≥0B(x)\ge0 équivaut à −x2+70x−325≥0-x^2+70x-325\ge0, soit (x−5)(x−65)≤0(x-5)(x-65)\le0. Sur [0;50][0;50], on obtient x∈[5;50]\boxed{x\in[5;50]}. L'entreprise atteint l'équilibre financier dès 5 balançoires et réalise un bénéfice strictement positif à partir de 6 balançoires (jusqu'à 50).

Exercice 5 — Exercice 22 — Associer cinq paraboles à leurs expressions

Sur le graphique ci-dessous, on donne cinq paraboles. Attribuer à chacune de ces courbes la fonction qui lui est associée. Justifier. a) f1(x)=−x2+2x−3f_1(x)=-x^2+2x-3 b) f2(x)=x2+x+3f_2(x)=x^2+x+3 c) f3(x)=2x2−5x+3f_3(x)=2x^2-5x+3 d) f4(x)=−2x2−5x+3f_4(x)=-2x^2-5x+3 e) f5(x)=x2+x+14f_5(x)=x^2+x+\frac14
Figure de l’exercice 22 : Associer cinq paraboles à leurs expressions
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
On compare le sens d'ouverture, l'ordonnée à l'origine et le sommet. a) f1(x)=−(x−1)2−2f_1(x)=-(x-1)^2-2 : parabole tournée vers le bas, de sommet (1;−2)(1;-2) et d'ordonnée à l'origine −3-3. C'est C5\mathcal C_5 (bleue). b) f2(x)=(x+12)2+114f_2(x)=(x+\frac12)^2+\frac{11}{4} : parabole tournée vers le haut, sommet (−12;114)(-\frac12;\frac{11}{4}) et f2(0)=3f_2(0)=3. C'est C1\mathcal C_1 (rouge). c) f3(x)=2(x−1)(x−32)f_3(x)=2(x-1)(x-\frac32) : parabole tournée vers le haut, racines 11 et 1,51{,}5, sommet d'abscisse 1,251{,}25. C'est C3\mathcal C_3 (noire). d) f4(x)=−2(x+3)(x−12)f_4(x)=-2(x+3)(x-\frac12) : parabole tournée vers le bas, racines −3-3 et 0,50{,}5, sommet d'abscisse −1,25-1{,}25. C'est C4\mathcal C_4 (rose). e) f5(x)=(x+12)2f_5(x)=(x+\frac12)^2 : parabole tournée vers le haut tangente à l'axe des abscisses en −12-\frac12. C'est C2\mathcal C_2 (verte).

Exercice 6 — Exercice 2 — Aire du triangle DEF dans un rectangle

ABCDABCD est un rectangle tel que AB=10AB=10 cm et BC=6BC=6 cm. Les points EE et FF appartiennent aux côtés respectifs du rectangle [AB][AB] et [BC][BC] avec AE=BFAE=BF. On note xx la longueur AEAE (en cm) et A(x)\mathcal A(x) l'aire du triangle DEFDEF (en cm²). 1. À quel intervalle appartient xx ? En déduire l'ensemble de définition de la fonction A\mathcal A. 2. Exprimer, en fonction de xx, l'aire des triangles AEDAED, BEFBEF et FCDFCD. En déduire que A(x)=x22−3x+30\mathcal A(x)=\frac{x^2}{2}-3x+30. 3. Déterminer la forme canonique de la fonction A\mathcal A. 4. Dresser le tableau de variation de la fonction A\mathcal A. 5. Déterminer les positions des points EE et FF pour que l'aire du triangle DEFDEF soit minimale. Justifier.
Figure de l’exercice 2 : Aire du triangle DEF dans un rectangle
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
1. E∈[AB]E\in[AB] donne 0≤x≤100\le x\le10 et F∈[BC]F\in[BC] avec BF=xBF=x donne 0≤x≤60\le x\le6. Donc D=[0;6]\boxed{D=[0;6]}. 2. L'aire du rectangle vaut 10×6=6010\times6=60. Les triangles rectangles qui entourent DEFDEF ont pour aires : A(AED)=12×AE×AD=3x\mathcal A(AED)=\frac12\times AE\times AD=\boxed{3x} ; A(BEF)=12×BE×BF=x(10−x)2\mathcal A(BEF)=\frac12\times BE\times BF=\boxed{\frac{x(10-x)}2} ; A(FCD)=12×CD×CF=10(6−x)2=30−5x\mathcal A(FCD)=\frac12\times CD\times CF=\boxed{\frac{10(6-x)}2=30-5x}. On soustrait ces trois aires : A(x)=60−3x−x(10−x)2−(30−5x)=x22−3x+30\mathcal A(x)=60-3x-\frac{x(10-x)}2-(30-5x)=\boxed{\frac{x^2}{2}-3x+30}. 3. A(x)=12(x2−6x)+30=12[(x−3)2−9]+30=12(x−3)2+512\mathcal A(x)=\frac12(x^2-6x)+30=\frac12[(x-3)^2-9]+30=\boxed{\frac12(x-3)^2+\frac{51}{2}}. 4. La parabole est tournée vers le haut : l'aire est décroissante sur [0;3][0;3], puis croissante sur [3;6][3;6]. Elle passe de 30 à 25,5 puis remonte à 30. 5. L'aire est minimale pour x=3x=\boxed3 cm, donc AE=BF=3 cm\boxed{AE=BF=3\ \mathrm{cm}}. L'aire minimale est 25,5 cm2\boxed{25{,}5\ \mathrm{cm}^2}.

Exercice 7 — Exercice 3 — Positions relatives de deux courbes

Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb R par : f(x)=4+14xx2+2f(x)=\frac{4+14x}{x^2+2} et g(x)=2+3xg(x)=2+3x. On appelle Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g les courbes représentatives respectives des fonctions ff et gg dans un repère du plan. 1. Étudier le signe de h(x)=−3x3−2x2+8xh(x)=-3x^3-2x^2+8x sur R\mathbb R. 2. Justifier que pour tout réel xx, f(x)−g(x)=h(x)x2+2f(x)-g(x)=\frac{h(x)}{x^2+2}. 3. Déterminer les positions relatives de Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g.
Corrigé détaillé
1. h(x)=−x(3x2+2x−8)=−x(3x−4)(x+2)h(x)=-x(3x^2+2x-8)=\boxed{-x(3x-4)(x+2)}. Les racines sont −2-2, 00 et 43\frac43. L'étude du signe des trois facteurs donne : h(x)>0h(x)>0 pour x∈]−∞;−2[∪]0;43[x\in]-\infty;-2[\cup]0;\frac43[ ; h(x)<0h(x)<0 pour x∈]−2;0[∪]43;+∞[x\in]-2;0[\cup]\frac43;+\infty[ ; h(x)=0h(x)=0 aux trois racines. 2. Réduisons au même dénominateur : f(x)−g(x)=4+14x−(2+3x)(x2+2)x2+2=−3x3−2x2+8xx2+2=h(x)x2+2f(x)-g(x)=\frac{4+14x-(2+3x)(x^2+2)}{x^2+2} =\frac{-3x^3-2x^2+8x}{x^2+2}=\boxed{\frac{h(x)}{x^2+2}}. 3. x2+2>0x^2+2>0 pour tout xx, donc le signe de f−gf-g est celui de hh. Cf\mathcal C_f est au-dessus de Cg\mathcal C_g sur ]−∞;−2[∪]0;43[]-\infty;-2[\cup]0;\frac43[, et au-dessous sur ]−2;0[∪]43;+∞[]-2;0[\cup]\frac43;+\infty[. Les courbes se coupent pour x=−2, 0, 43\boxed{x=-2,\ 0,\ \frac43}.

Exercice 8 — Exercice 108 — Fonction polynôme de degré 2 : étude complète

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=−2x2−7x+15f(x)=-2x^2-7x+15. 1. Dresser le tableau de variations de la fonction ff. 2. Résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0. 3. Donner la forme factorisée et la forme canonique de ff. 4. Dresser le tableau de signes de f(x)f(x). 5. Résoudre f(x)<0f(x)<0. 6. Déterminer l'image de 2 par la fonction ff. 7. −70-70 a-t-il des antécédents par la fonction ff ? Si oui, les déterminer. 8. 2525 a-t-il des antécédents par la fonction ff ? Si oui, les déterminer.
Corrigé détaillé
1. a=−2<0a=-2<0. L'abscisse du sommet est α=−b/(2a)=7/(−4)=−74\alpha=-b/(2a)=7/(-4)=\boxed{-\frac74}. Sa valeur est β=f(−74)=1698=21,125\beta=f(-\frac74)=\boxed{\frac{169}{8}=21{,}125}. Donc ff est croissante sur ]−∞;−74]]-\infty;-\frac74], puis décroissante sur [−74;+∞[[-\frac74;+\infty[. 2. −2x2−7x+15=0-2x^2-7x+15=0. Le discriminant est Δ=(−7)2−4(−2)(15)=49+120=169=132\Delta=(-7)^2-4(-2)(15)=49+120=169=13^2. Les racines sont x=(−7±13)/4x=(-7\pm13)/4 après multiplication de l'équation par −1, soit x=−5 ou x=32\boxed{x=-5\text{ ou }x=\frac32}. 3. Forme factorisée : f(x)=−(x+5)(2x−3)\boxed{f(x)=-(x+5)(2x-3)}. Forme canonique : f(x)=−2(x+74)2+1698\boxed{f(x)=-2(x+\frac74)^2+\frac{169}{8}}. 4. Puisque a<0a<0, le trinôme est négatif sur ]−∞;−5[]-\infty;-5[ et ]32;+∞[]\frac32;+\infty[, nul en −5-5 et 32\frac32, et positif sur ]−5;32[]-5;\frac32[. 5. x∈]−∞;−5[∪]32;+∞[\boxed{x\in]-\infty;-5[\cup]\frac32;+\infty[}. 6. f(2)=−2×4−7×2+15=−7f(2)=-2\times4-7\times2+15=\boxed{-7}. 7. f(x)=−70f(x)=-70 revient à 2x2+7x−85=02x^2+7x-85=0. Δ=72+4×2×85=729=272\Delta=7^2+4\times2\times85=729=27^2. Les solutions sont x=(−7±27)/4x=(-7\pm27)/4, d'où x=5 ou x=−172\boxed{x=5\text{ ou }x=-\frac{17}{2}}. 8. Le maximum de ff est 1698=21,125<25\frac{169}{8}=21{,}125<25 : 25 n'a aucun antécédent réel.

Exercice 9 — Exercice 12 — Paramètre m : discriminant et racines

Soit m∈Rm\in\mathbb R et ff la fonction trinôme définie par f(x)=x2−(m+1)x+4f(x)=x^2-(m+1)x+4. 1. Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f(x)=0 a-t-elle une seule solution ? Calculer alors cette racine. 2. Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f(x)=0 n'a-t-elle aucune solution ?
Corrigé détaillé
1. Le discriminant vaut Δ=(m+1)2−16=(m−3)(m+5)\Delta=(m+1)^2-16=(m-3)(m+5). Une seule racine réelle (double) si Δ=0\Delta=0, donc m=3 ou m=−5\boxed{m=3\text{ ou }m=-5}. Pour m=3m=3, f(x)=x2−4x+4=(x−2)2f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2, racine 2\boxed{2}. Pour m=−5m=-5, f(x)=x2+4x+4=(x+2)2f(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2, racine −2\boxed{-2}. 2. Aucune racine réelle lorsque Δ<0\Delta<0. Le produit (m−3)(m+5)(m-3)(m+5) est négatif entre −5-5 et 3 : m∈]−5;3[\boxed{m\in]-5;3[}.

Exercice 10 — Exercice 13 — Trinôme paramétré : nombre de solutions et signe

Soit m∈Rm\in\mathbb R et ff la fonction trinôme définie par f(x)=mx2+4x+2(m−1)f(x)=mx^2+4x+2(m-1). 1. Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f(x)=0 a-t-elle une seule solution ? Calculer alors cette racine. 2. Quel est l'ensemble de réels mm pour lesquels l'équation f(x)=0f(x)=0 a deux racines distinctes ? 3. Quel est l'ensemble des réels mm pour lesquels f(x)<0f(x)<0 pour tout réel xx ?
Corrigé détaillé
1. Si m≠0m\ne0, le discriminant vaut Δ=42−4m×2(m−1)=16−8m(m−1)=−8(m−2)(m+1)\Delta=4^2-4m\times2(m-1)=16-8m(m-1)=-8(m-2)(m+1). Une racine double si Δ=0\Delta=0, donc m=2m=2 ou m=−1m=-1. Pour m=2m=2, f(x)=2x2+4x+2=2(x+1)2f(x)=2x^2+4x+2=2(x+1)^2, racine −1\boxed{-1}. Pour m=−1m=-1, f(x)=−x2+4x−4=−(x−2)2f(x)=-x^2+4x-4=-(x-2)^2, racine 2\boxed{2}. Cas particulier important : si m=0m=0, la fonction n'est plus un trinôme mais f(x)=4x−2f(x)=4x-2, qui a tout de même une seule solution : x=12\boxed{x=\frac12}. Pour la question « une seule solution », la réponse complète est donc m∈{−1,0,2}\boxed{m\in\{-1,0,2\}}, en distinguant le cas linéaire. 2. Deux racines réelles distinctes exigent m≠0m\ne0 et Δ>0\Delta>0, soit (m−2)(m+1)<0(m-2)(m+1)<0. On obtient m∈]−1;0[∪]0;2[\boxed{m\in]-1;0[\cup]0;2[}. 3. Pour que f(x)f(x) soit strictement négative pour tout réel, il faut m<0m<0 (parabole ouverte vers le bas) et Δ<0\Delta<0 (aucune racine). Cela conduit à m<−1\boxed{m<-1}. Les valeurs m=−1m=-1 et m=0m=0 ne conviennent pas.

Exercice 11 — Exercice 14 — Équations rationnelles se ramenant au second degré

Résoudre les équations suivantes. 1. x2+2x+1x+1=2x−1\frac{x^2+2x+1}{x+1}=2x-1 2. 3xx+2−x+1x−2=−115\frac{3x}{x+2}-\frac{x+1}{x-2}=-\frac{11}{5} 3. 1x+2−22x−5=94\frac{1}{x+2}-\frac{2}{2x-5}=\frac94 4. 3x2+10x+8x+2=2x+5\frac{3x^2+10x+8}{x+2}=2x+5
Corrigé détaillé
1. Valeur interdite : x=−1x=-1. On a (x+1)2x+1=x+1\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1 pour x≠−1x\ne-1. L'équation devient x+1=2x−1x+1=2x-1, donc x=2\boxed{x=2}. 2. Valeurs interdites x=−2x=-2 et x=2x=2. On multiplie l'égalité par 5(x+2)(x−2)5(x+2)(x-2) : 15x(x−2)−5(x+1)(x+2)=−11(x+2)(x−2)15x(x-2)-5(x+1)(x+2)=-11(x+2)(x-2). Développons : 15x2−30x−5(x2+3x+2)=−11x2+4415x^2-30x-5(x^2+3x+2)=-11x^2+44. Cela donne 21x2−45x−54=021x^2-45x-54=0, ou 7x2−15x−18=07x^2-15x-18=0. Δ=225+504=729=272\Delta=225+504=729=27^2, donc x=15±2714x=\frac{15\pm27}{14}. Les deux solutions admissibles sont x=3 ou x=−67\boxed{x=3\text{ ou }x=-\frac67}. 3. Valeurs interdites x=−2x=-2 et x=52x=\frac52. En multipliant par 4(x+2)(2x−5)4(x+2)(2x-5) : 4(2x−5)−8(x+2)=9(x+2)(2x−5)4(2x-5)-8(x+2)=9(x+2)(2x-5). Le membre de gauche vaut −36-36 et (x+2)(2x−5)=2x2−x−10(x+2)(2x-5)=2x^2-x-10. On obtient −36=18x2−9x−90-36=18x^2-9x-90, soit 18x2−9x−54=018x^2-9x-54=0, donc 2x2−x−6=0=(2x+3)(x−2)2x^2-x-6=0=(2x+3)(x-2). Les deux solutions admissibles sont x=−32 ou x=2\boxed{x=-\frac32\text{ ou }x=2}. 4. Valeur interdite x=−2x=-2. On factorise 3x2+10x+8=(x+2)(3x+4)3x^2+10x+8=(x+2)(3x+4), d'où 3x+4=2x+53x+4=2x+5. Ainsi x=1\boxed{x=1}.

Exercice 12 — Exercice 18 — Résoudre des systèmes somme–produit

Résoudre les systèmes suivants : 1. {x+y=18xy=65\begin{cases}x+y=18\\xy=65\end{cases} 2. {x+y=−1xy=−42\begin{cases}x+y=-1\\xy=-42\end{cases} 3. {x+y=4xy=5\begin{cases}x+y=4\\xy=5\end{cases}
Corrigé détaillé
Pour un système x+y=Sx+y=S, xy=Pxy=P, les deux nombres xx et yy sont les racines (dans un ordre quelconque) de t2−St+P=0t^2-St+P=0. 1. On résout t2−18t+65=0t^2-18t+65=0. Δ=324−260=64\Delta=324-260=64, racines t=(18±8)/2t=(18\pm8)/2, soit 5 et 13. Solutions : (x,y)=(5,13) ou (13,5)\boxed{(x,y)=(5,13)\text{ ou }(13,5)}. 2. On résout t2+t−42=0=(t+7)(t−6)t^2+t-42=0=(t+7)(t-6). Solutions : (x,y)=(−7,6) ou (6,−7)\boxed{(x,y)=(-7,6)\text{ ou }(6,-7)}. 3. On résout t2−4t+5=0t^2-4t+5=0. Le discriminant vaut 16−20=−4<016-20=\boxed{-4<0}, donc le système n'a aucune solution réelle.

Exercice 13 — Exercice 19 — Variations de trois fonctions trinômes

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes : 1. f(x)=2(x−4)2+3f(x)=2(x-4)^2+3 2. f(x)=−3(x+1)2−5f(x)=-3(x+1)^2-5 3. f(x)=x(x−8)f(x)=x(x-8)
Corrigé détaillé
1. f(x)=2(x−4)2+3f(x)=2(x-4)^2+3 : parabole tournée vers le haut, sommet (4;3)(4;3). Donc ff décroît sur ]−∞;4]]-\infty;4] jusqu'au minimum 3\boxed3, puis croît sur [4;+∞[[4;+\infty[. 2. f(x)=−3(x+1)2−5f(x)=-3(x+1)^2-5 : parabole tournée vers le bas, sommet (−1;−5)(-1;-5). Donc ff croît sur ]−∞;−1]]-\infty;-1] jusqu'au maximum −5\boxed{-5}, puis décroît sur [−1;+∞[[-1;+\infty[. 3. f(x)=x2−8x=(x−4)2−16f(x)=x^2-8x=(x-4)^2-16. Parabole tournée vers le haut, sommet (4;−16)(4;-16). Donc ff décroît sur ]−∞;4]]-\infty;4] jusqu'au minimum −16\boxed{-16}, puis croît sur [4;+∞[[4;+\infty[.

Exercice 14 — Exercice 20 — Forme canonique et maximum

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=−2x2+8x−13f(x)=-2x^2+8x-13. 1. Déterminer la forme canonique de la fonction ff. 2. En déduire le maximum de ff et la valeur de xx pour laquelle il est atteint.
Corrigé détaillé
1. On met −2-2 en facteur : f(x)=−2(x2−4x)−13=−2[(x−2)2−4]−13=−2(x−2)2−5f(x)=-2(x^2-4x)-13=-2[(x-2)^2-4]-13=\boxed{-2(x-2)^2-5}. 2. Pour tout réel xx, (x−2)2≥0(x-2)^2\ge0, donc −2(x−2)2−5≤−5-2(x-2)^2-5\le-5. Le maximum vaut −5\boxed{-5} et il est atteint pour x=2\boxed{x=2}.

Exercice 15 — Exercice 98 — Aire d'un carré inscrit dans un carré

Soit ABCDABCD un carré de côté 5 cm. EE, FF, GG et HH sont des points appartenant aux côtés du carré, tels que AE=BF=CG=DH=xAE=BF=CG=DH=x. On admet que EFGHEFGH est un carré. 1. Quelle est l'aire du quadrilatère EFGHEFGH ? 2. Pour quelle valeur de xx cette aire est-elle minimale ? Quelle est la valeur de l'aire minimale ? 3. Pour quelle(s) valeur(s) de xx cette aire est-elle égale à 14,12 cm214{,}12\ \mathrm{cm}^2 ? 4. Pour quelle(s) valeur(s) de xx cette aire est-elle inférieure ou égale à 13 cm213\ \mathrm{cm}^2 ?
Figure de l’exercice 98 : Aire d'un carré inscrit dans un carré
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
1. Comme EFGHEFGH est un carré, son aire est EF2EF^2. Dans le triangle rectangle EBFEBF, EB=5−xEB=5-x et BF=xBF=x, donc EF2=(5−x)2+x2EF^2=(5-x)^2+x^2. Ainsi, pour x∈[0;5]x\in[0;5], A(x)=2x2−10x+25\boxed{A(x)=2x^2-10x+25} en cm². 2. On complète le carré : A(x)=2(x−2,5)2+12,5A(x)=2(x-2{,}5)^2+12{,}5. L'aire minimale vaut 12,5 cm2\boxed{12{,}5\ \mathrm{cm}^2} pour x=2,5 cm\boxed{x=2{,}5\ \mathrm{cm}}. 3. 2(x−2,5)2+12,5=14,122(x-2{,}5)^2+12{,}5=14{,}12 donne (x−2,5)2=0,81(x-2{,}5)^2=0{,}81, d'où x−2,5=±0,9x-2{,}5=\pm0{,}9. On obtient x=1,6 cm ou x=3,4 cm\boxed{x=1{,}6\ \mathrm{cm}\text{ ou }x=3{,}4\ \mathrm{cm}}. 4. A(x)≤13A(x)\le13 équivaut à 2(x−2,5)2≤0,52(x-2{,}5)^2\le0{,}5, donc (x−2,5)2≤0,25(x-2{,}5)^2\le0{,}25, soit x∈[2;3]\boxed{x\in[2;3]} en cm.

Exercice 16 — Exercice 75 — Déterminer les coefficients d'une parabole

Soit ff une fonction polynôme de degré 2 définie sur R\mathbb R par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\ne0. Sa courbe représentative est donnée ci-dessous. Les points marqués sont A(0;1)A(0;1), B(1;−1)B(1;-1) et C(4;2)C(4;2). 1. À l'aide des coordonnées du point AA, déterminer la valeur de cc. 2. À l'aide des coordonnées des points BB et CC, déterminer la valeur des coefficients aa et bb. 3. En déduire l'expression de f(x)f(x) en fonction de xx.
Figure de l’exercice 75 : Déterminer les coefficients d'une parabole
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
1. Comme A(0;1)A(0;1) appartient à la courbe, f(0)=c=1f(0)=c=1, donc c=1\boxed{c=1}. 2. Avec B(1;−1)B(1;-1), a+b+c=−1a+b+c=-1, donc a+b=−2a+b=-2. Avec C(4;2)C(4;2), 16a+4b+c=216a+4b+c=2, donc 16a+4b=116a+4b=1. Multiplions a+b=−2a+b=-2 par 4 : 4a+4b=−84a+4b=-8. La différence des deux équations donne 12a=912a=9, donc a=34\boxed{a=\frac34}. Puis b=−2−34=−114b=-2-\frac34=\boxed{-\frac{11}{4}}. 3. L'expression recherchée est f(x)=34x2−114x+1\boxed{f(x)=\frac34x^2-\frac{11}{4}x+1}. Vérification : f(0)=1f(0)=1, f(1)=−1f(1)=-1 et f(4)=2f(4)=2.

Exercice 17 — Exercice 73 — Formes factorisées de trois paraboles

Trois fonctions polynômes de degré 2 ont été représentées ci-dessous : les fonctions ff, gg et hh. Pour chaque fonction, déterminer, lorsqu'elle existe, sa forme factorisée.
Figure de l’exercice 73 : Formes factorisées de trois paraboles
Schéma fidèle aux données de l’énoncé, redessiné pour un affichage net sur mobile.
Corrigé détaillé
Courbe Cf\mathcal C_f (verte) : les zéros sont −2-2 et 11. Ainsi f(x)=a(x+2)(x−1)f(x)=a(x+2)(x-1). La courbe passe par (0;1)(0;1), donc 1=a×2×(−1)=−2a1=a\times2\times(-1)=-2a, d'où a=−12a=-\frac12. Par conséquent f(x)=−12(x+2)(x−1)\boxed{f(x)=-\frac12(x+2)(x-1)}. Courbe Cg\mathcal C_g (rouge) : la parabole a son sommet en (1;1)(1;1) et ne coupe pas l'axe des abscisses. Elle n'a aucune racine réelle, donc pas de forme factorisée en facteurs du premier degré réels. Sur le graphique, elle correspond à g(x)=(x−1)2+1g(x)=(x-1)^2+1. Courbe Ch\mathcal C_h (bleue) : la parabole est tangente à l'axe des abscisses en x=−4x=-4 ; elle possède une racine double. On a donc h(x)=a(x+4)2h(x)=a(x+4)^2. L'ordonnée à l'origine est 4, donc 4=16a4=16a et a=14a=\frac14. D'où h(x)=14(x+4)2\boxed{h(x)=\frac14(x+4)^2}.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Première spécialité