Première STMG

Suites arithmétiques en Première STMG : exercices corrigés

Dix exercices progressifs sur les suites arithmétiques en Première STMG, avec questions séparées et corrigés détaillés.

L'essentiel à retenir

Définition : $u_{n+1} = u_n + r$ , où $r$ est la raison.
Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$ .
Somme de termes consécutifs : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

Exercice 1 — Terme général et seuil

Une suite

(u_n)

est arithmétique de premier terme

u_0 = 200

et de raison

r = 20

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .
À partir de quel rang $n$ a-t-on $u_n \geq 500$ ?

Corrigé détaillé

$u_n = u_0 + n\,r = 200 + 20n$ .
$u_{10} = 200 + 20 \times 10 = 400$ .
On résout $200 + 20n \geq 500$ , soit $20n \geq 300$ , donc $n \geq 15$ . À partir du rang $n = 15$ , on a $u_n \geq 500$ (en effet $u_{15} = 500$ ).

Exercice 2 — Abonnés d'une salle de sport

Une salle de sport compte 1 200 abonnés en 2024 et gagne 150 abonnés chaque année. On note

u_n

le nombre d'abonnés en

2024 + n

Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner $u_0$ et $r$ .
Combien d'abonnés la salle comptera-t-elle en 2030 ?
Calculer $u_0 + u_1 + \dots + u_6$ .

Corrigé détaillé

Chaque année on ajoute 150 : $u_{n+1} = u_n + 150$ . La suite est arithmétique, avec $u_0 = 1\,200$ et $r = 150$ .
2030 correspond à $n = 6$ : $u_6 = 1\,200 + 6 \times 150 = 2\,100$ abonnés.
La somme compte 7 termes, de $u_0 = 1\,200$ à $u_6 = 2\,100$ : $S = 7 \times \dfrac{1\,200 + 2\,100}{2} = 7 \times 1\,650 = 11\,550$ .

Exercice 3 — Reconnaître une suite arithmétique

Pour tout entier

n

, on pose

u_n = 3n - 4

v_n = n^2

La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ?
La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ?

Corrigé détaillé

$u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 4 - (3n - 4) = 3$ . La différence est constante : $(u_n)$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = -4$ .
$v_0 = 0$ , $v_1 = 1$ , $v_2 = 4$ . Alors $v_1 - v_0 = 1$ mais $v_2 - v_1 = 3$ . La différence n'est pas constante : $(v_n)$ n'est pas arithmétique.

Exercice 4 — Suite arithmétique : approfondissement 1

1. On modélise des ventes par

u_0=100

u_{k+1}=u_k+2

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_3

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_3

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=100+2k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 3, on trouve

u_3=100+2\times3=\boxed{106}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 4 termes et vaut

\frac{4(100+106)}{2}=\boxed{412}

Exercice 5 — Suite arithmétique : approfondissement 2

1. On modélise des ventes par

u_0=110

u_{k+1}=u_k+3

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_4

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_4

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=110+3k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 4, on trouve

u_4=110+3\times4=\boxed{122}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 5 termes et vaut

\frac{5(110+122)}{2}=\boxed{580}

Exercice 6 — Suite arithmétique : approfondissement 3

1. On modélise des ventes par

u_0=120

u_{k+1}=u_k+4

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_5

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_5

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=120+4k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 5, on trouve

u_5=120+4\times5=\boxed{140}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 6 termes et vaut

\frac{6(120+140)}{2}=\boxed{780}

Exercice 7 — Suite arithmétique : approfondissement 4

1. On modélise des ventes par

u_0=130

u_{k+1}=u_k+5

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_6

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_6

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=130+5k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 6, on trouve

u_6=130+5\times6=\boxed{160}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 7 termes et vaut

\frac{7(130+160)}{2}=\boxed{1015}

Exercice 8 — Suite arithmétique : approfondissement 5

1. On modélise des ventes par

u_0=140

u_{k+1}=u_k+6

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_7

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_7

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=140+6k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 7, on trouve

u_7=140+6\times7=\boxed{182}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 8 termes et vaut

\frac{8(140+182)}{2}=\boxed{1288}

Exercice 9 — Suite arithmétique : approfondissement 6

1. On modélise des ventes par

u_0=150

u_{k+1}=u_k+7

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_3

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_3

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=150+7k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 3, on trouve

u_3=150+7\times3=\boxed{171}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 4 termes et vaut

\frac{4(150+171)}{2}=\boxed{642}

Exercice 10 — Suite arithmétique : approfondissement 7

1. On modélise des ventes par

u_0=160

u_{k+1}=u_k+2

. Donner le terme général. 2. Calculer

u_4

. 3. Calculer la somme des ventes

u_0+u_1+\cdots+u_4

Corrigé détaillé

Étape 1 — Choisir la méthode. La différence entre deux termes successifs est constante :

\boxed{u_k=160+2k}

. Étape 2 — Faire le calcul. Au rang 4, on trouve

u_4=160+2\times4=\boxed{168}

. Étape 3 — Conclure. La somme comprend 5 termes et vaut

\frac{5(160+168)}{2}=\boxed{820}

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