Première spécialité maths

Dérivation en Première : exercices corrigés pas à pas

Dérivation, tangentes, fonctions composées, variations et optimisation : dix exercices corrigés et expliqués étape par étape.

L'essentiel à retenir

$(x^n)' = n\,x^{n-1}$ , $(ku)' = k\,u'$ , $(u+v)' = u' + v'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Si $f' > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f' < 0$ , décroissante.

Exercice 1 — Variations d'un polynôme de degré 3

Soit

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

définie sur

\mathbb{R}

Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Donner les extremums locaux.

Corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ .
$f'(x)$ s'annule en $0$ et en $2$ . C'est un trinôme de coefficient $3 > 0$ : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ; 0]$ , décroissante sur $[0 ; 2]$ , croissante sur $[2 ; +\infty[$ .
$f(0) = 2$ est un maximum local ; $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ est un minimum local.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Soit

g(x) = x^2 + 1

. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de

g

au point d'abscisse

a = 1

Corrigé détaillé

g(1) = 1 + 1 = 2

g'(x) = 2x

, donc

g'(1) = 2

. La tangente a pour équation

y = g'(1)(x - 1) + g(1) = 2(x - 1) + 2

, soit

y = 2x

Exercice 3 — Dérivée d'un quotient

Soit

h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}

définie pour

x \neq 3

Calculer $h'(x)$ .
En déduire les variations de $h$ .

Corrigé détaillé

Avec $u = 2x + 1$ ( $u' = 2$ ) et $v = x - 3$ ( $v' = 1$ ) : $h'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$ .
Le numérateur vaut $-7 < 0$ et le dénominateur est strictement positif. Donc $h'(x) < 0$ : $h$ est décroissante sur $]-\infty ; 3[$ et sur $]3 ; +\infty[$ .

Exercice 4 — Dériver un produit

Pour

f(x)=(x^2+1)(3x-2)

, calculer

f'(x)

de deux façons puis déterminer

f'(1)

Corrigé détaillé

1. Règle du produit. Avec

u=x^2+1

v=3x-2

, on obtient

f'=2x(3x-2)+3(x^2+1)

. 2. Développement. En réduisant,

f'(x)=9x^2-4x+3

. En développant d'abord

f=3x^3-2x^2+3x-2

, on retrouve cette expression. 3.

f'(1)=9-4+3=\boxed8

Exercice 5 — Dérivée d'une fonction composée

Soit

g(x)=(2x+1)^3

. Calculer

g'(x)

puis la pente au point d'abscisse 0.

Corrigé détaillé

1. Poser

u(x)=2x+1

g=u^3

. 2. Par dérivation composée,

g'(x)=3u(x)^2u'(x)=6(2x+1)^2

. 3. À

x=0

, la dérivée vaut

\boxed6

; la tangente y possède cette pente.

Exercice 6 — Tangente parallèle à une droite

Trouver les points de la courbe

f(x)=x^2-2x+1

où la tangente est parallèle à la droite

y=4x+3

Corrigé détaillé

1. Les tangentes parallèles ont la même pente, ici 4. 2.

f'(x)=2x-2

; l'équation

2x-2=4

donne

x=3

. 3.

f(3)=9-6+1=4

; le point est

(3,4)

et la tangente est

y=4(x-3)+4=\boxed{4x-8}

Exercice 7 — Dérivation d'une racine

Sur

x>-1

, considérer

f(x)=\sqrt{x+1}

. Calculer

f'(x)

, puis donner l'équation de la tangente à la courbe en

x=3

Corrigé détaillé

1. En posant

u=x+1

f'(x)=u'/(2\sqrt u)=1/(2\sqrt{x+1})

. 2.

f(3)=2

f'(3)=1/4

. 3. La tangente est

y=2+\frac14(x-3)=\boxed{x/4+5/4}

. La formule n'est valable que là où

x+1>0

Exercice 8 — Étudier une fonction cubique

Étudier le sens de variation de

f(x)=x^3-3x

et déterminer ses extrema locaux.

Corrigé détaillé

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

. 2. La dérivée est positive si

x<-1

x>1

, négative pour

-1<x<1

. 3.

f

croît jusqu'à

-1

, décroît jusqu'à 1 puis croît ;

f(-1)=2

est un maximum local et

f(1)=-2

un minimum local.

Exercice 9 — Vitesse instantanée

La position d'un mobile sur une droite est

s(t)=t^3-3t^2+5

pour

t\ge0

. Calculer la vitesse instantanée

v(t)

puis les instants où elle s'annule.

Corrigé détaillé

1. La vitesse instantanée est la dérivée de la position :

v(t)=s'(t)=3t^2-6t

. 2. Factoriser :

v(t)=3t(t-2)

. 3. La vitesse s'annule pour

\boxed{t=0\text{ et }t=2}

; elle est négative entre 0 et 2 et positive après 2.

Exercice 10 — Optimisation sous contrainte

Un rectangle de périmètre 32 cm a une largeur

x

et une longueur

16-x

. Étudier son aire à l'aide d'une dérivée et trouver le maximum.

Corrigé détaillé

1. Les longueurs positives imposent

0<x<16

. 2. L'aire est

A(x)=x(16-x)

A'(x)=16-2x

, positive pour

x<8

, négative pour

x>8

. 3. Le maximum est atteint pour

x=8

et vaut

\boxed{64\ \mathrm{cm}^2}

; le rectangle optimal est un carré.

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