Première spécialité maths

Second degré : équations, discriminant et formes — 10 exercices corrigés de Première spé

Entraînez-vous sur second degré : équations, discriminant et formes avec dix exercices progressifs et des corrections rédigées. Conforme aux notions de Première spécialité (2026-2027).

L'essentiel à retenir

  • Le discriminant d'un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
  • Pour a≠0a\ne0, la forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec α=−b/(2a)\alpha=-b/(2a).
  • Le sommet d'une parabole fournit son extremum.

Exercice 1 — Résoudre un trinôme

Résoudre 2x2−5x+2=02x^2-5x+2=0, vérifier les racines, puis factoriser le trinôme.
Corrigé détaillé
1. Δ=(−5)2−4×2×2=9>0\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=9>0. 2. Les racines sont x1=(5−3)/4=1/2x_1=(5-3)/4=1/2 et x2=(5+3)/4=2x_2=(5+3)/4=2. 3. Comme le coefficient dominant vaut 2, la factorisation est 2(x−1/2)(x−2)=(2x−1)(x−2)\boxed{2(x-1/2)(x-2)}=(2x-1)(x-2). Un développement retrouve 2x2−5x+22x^2-5x+2.

Exercice 2 — Discriminant nul

Résoudre 9x2−12x+4=09x^2-12x+4=0. Reconnaître une identité remarquable et discuter le nombre de solutions.
Corrigé détaillé
1. Δ=(−12)2−4⋅9⋅4=0\Delta=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=0 : il existe une racine double. 2. x0=12/(2⋅9)=2/3x_0=12/(2\cdot9)=2/3. 3. En effet 9x2−12x+4=(3x−2)29x^2-12x+4=(3x-2)^2 ; l'unique solution est x=2/3\boxed{x=2/3}. La parabole touche l'axe horizontal sans le traverser.

Exercice 3 — Aucune racine réelle

Étudier x2+2x+5=0x^2+2x+5=0 dans R\mathbb R puis trouver le minimum du trinôme.
Corrigé détaillé
1. Δ=22−4⋅1⋅5=−16<0\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=-16<0, donc aucune racine réelle. 2. Complétons le carré : x2+2x+5=(x+1)2+4x^2+2x+5=(x+1)^2+4. 3. Le minimum est 4, atteint pour x=−1x=-1, ce qui confirme que l'expression ne peut s'annuler.

Exercice 4 — Forme canonique

Écrire f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5 sous forme canonique, en déduire son sommet puis son minimum.
Corrigé détaillé
1. 2x2−8x+5=2(x2−4x)+5=2[(x−2)2−4]+52x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5=2[(x-2)^2-4]+5. 2. Ainsi f(x)=2(x−2)2−3\boxed{f(x)=2(x-2)^2-3}. 3. Le sommet est S(2,−3)S(2,-3) et, comme le coefficient 2 est positif, le minimum vaut −3-3, atteint en x=2x=2.

Exercice 5 — Factorisation par racine évidente

Vérifier que 1 est racine de P(x)=x2−4x+3P(x)=x^2-4x+3, déterminer la deuxième racine et factoriser.
Corrigé détaillé
1. P(1)=1−4+3=0P(1)=1-4+3=0. 2. La somme des racines vaut −b/a=4-b/a=4 ; la deuxième racine est donc 3. 3. On obtient P(x)=(x−1)(x−3)\boxed{P(x)=(x-1)(x-3)} ; la multiplication donne bien x2−4x+3x^2-4x+3.

Exercice 6 — Paramètre et racine double

Pour quelles valeurs de mm l'équation x2−2mx+9=0x^2-2mx+9=0 possède-t-elle une seule solution réelle ? Déterminer cette racine.
Corrigé détaillé
1. Une racine réelle double apparaît si Δ=0\Delta=0. 2. Δ=(−2m)2−36=4(m2−9)\Delta=(-2m)^2-36=4(m^2-9) ; l'équation Δ=0\Delta=0 donne m=3m=3 ou m=−3m=-3. 3. La racine double vaut x0=mx_0=m, soit 33 dans le premier cas et −3-3 dans le second.

Exercice 7 — Équation produit après substitution

Résoudre x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0 dans R\mathbb R en posant t=x2t=x^2.
Corrigé détaillé
1. Posons t=x2≥0t=x^2\ge0. L'équation devient t2−5t+4=(t−1)(t−4)=0t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0. 2. Donc t=1t=1 ou t=4t=4, valeurs admissibles. 3. On revient à xx : x=±1x=\pm1 ou x=±2x=\pm2. L'ensemble des solutions est {−2,−1,1,2}\boxed{\{-2,-1,1,2\}}.

Exercice 8 — Somme et produit des racines

Les racines de x2−7x+10x^2-7x+10 sont rr et ss. Déterminer r+sr+s, rsrs, puis les deux racines.
Corrigé détaillé
1. Pour ax2+bx+cax^2+bx+c, les racines satisfont r+s=−b/ar+s=-b/a et rs=c/ars=c/a. 2. Ici r+s=7r+s=7 et rs=10rs=10. 3. Les nombres 2 et 5 conviennent car 2+5=72+5=7 et 2⋅5=102\cdot5=10. Donc r=2, s=5\boxed{r=2,\ s=5}, à l'ordre près.

Exercice 9 — Équation d'intersection de courbes

Déterminer les abscisses des intersections de y=x2+1y=x^2+1 et y=3x−1y=3x-1. Les courbes se coupent-elles réellement ?
Corrigé détaillé
1. Égaler les ordonnées donne x2+1=3x−1x^2+1=3x-1, soit x2−3x+2=0x^2-3x+2=0. 2. On factorise (x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2)=0, d'où x=1x=1 ou x=2x=2. 3. Les ordonnées correspondantes sont 2 et 5 : les intersections sont (1,2),(2,5)\boxed{(1,2),(2,5)}.

Exercice 10 — Maximum d'une aire

Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si un côté vaut xx, exprimer son aire en fonction de xx, puis calculer son maximum.
Corrigé détaillé
1. L'autre côté vaut 12−x12-x avec 0<x<120<x<12. 2. L'aire vaut A(x)=x(12−x)=−x2+12x=−(x−6)2+36A(x)=x(12-x)=-x^2+12x=-(x-6)^2+36. 3. Comme −(x−6)2≤0-(x-6)^2\le0, l'aire maximale est 36 cm2\boxed{36\ \mathrm{cm}^2}, atteinte quand les côtés valent 6 cm.

Pour aller plus loin

17 exercices supplémentaires sur le second degré

Retrouve des exercices de manuels avec leurs graphiques et leurs corrigés détaillés. Les dix exercices de cette fiche restent identiques.

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