3ème / Brevet

Arithmétique : divisibilité et nombres premiers — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser arithmétique : divisibilité et nombres premiers avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • La division euclidienne donne un quotient et un reste.
  • Le reste est inférieur au diviseur.
  • Contrôler avec a=bq+ra=bq+r.
  • aman=am+na^m a^n=a^{m+n}.
  • am/an=am−na^m/a^n=a^{m-n} si a≠0a\ne0.

Exercice 1 — Décomposition en facteurs premiers

On considère le nombre 12601260.
  1. Décomposer 1260 en produit de facteurs premiers.
  2. Est-il divisible par 7 ?
  3. Est-il divisible par 11 ?
  4. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de 1260.
Corrigé détaillé
  1. 1260=22×32×5×71260=\boxed{2^2\times3^2\times5\times7}.
  2. Oui, le facteur 7 apparaît dans la décomposition.
  3. Non, 11 n'apparaît pas dans cette décomposition.
  4. Pour 22×32×51×712^2\times3^2\times5^1\times7^1, il y a (2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=\boxed{36} diviseurs.

Exercice 2 — Paquets de macarons

Un pâtissier possède 378 macarons au chocolat et 441 macarons à la vanille. Il veut former le plus grand nombre possible de coffrets identiques sans laisser de macaron.
  1. Calculer le PGCD de 378 et 441.
  2. Donner le nombre maximal de coffrets.
  3. Indiquer leur composition.
Corrigé détaillé
  1. 378=2×33×7378=2\times3^3\times7 et 441=32×72441=3^2\times7^2. Le PGCD est 32×7=633^2\times7=\boxed{63}.
  2. Le maximum est 63 coffrets\boxed{63\text{ coffrets}}.
  3. Chacun contient 378/63=6378/63=\boxed6 macarons au chocolat et 441/63=7441/63=\boxed7 macarons à la vanille.

Exercice 3 — Deux feux clignotants

Deux feux s'allument ensemble à 8 h. Le premier clignote toutes les 45 secondes, le second toutes les 75 secondes.
  1. Décomposer 45 et 75 en facteurs premiers.
  2. Calculer leur PPCM.
  3. À quelle heure les deux feux se rallument-ils ensemble pour la première fois ?
Corrigé détaillé
  1. 45=32×545=3^2\times5 et 75=3×5275=3\times5^2.
  2. PPCM⁡(45,75)=32×52=225 s\operatorname{PPCM}(45,75)=3^2\times5^2=\boxed{225\text{ s}}.
  3. 225 s correspondent à 3 min 45 s, donc 8 h 03 min 45 s\boxed{8\text{ h }03\text{ min }45\text{ s}}.

Exercice 4 — Le nombre 7x5

On étudie le nombre à trois chiffres N=7x5N=7x5, où xx est un chiffre de 0 à 9.
  1. Pour quelles valeurs de xx le nombre N est-il divisible par 3 ?
  2. Est-il divisible par 5 pour toutes les valeurs de x ?
  3. Peut-il être premier ?
Corrigé détaillé
  1. La somme des chiffres est 7+x+5=12+x7+x+5=12+x. Elle doit être multiple de 3 ; donc x∈{0,3,6,9}\boxed{x\in\{0,3,6,9\}}.
  2. Oui, le chiffre des unités est 5 pour toutes les valeurs de x.
  3. Non : N est supérieur à 5 et divisible par 5, donc composé.

Exercice 5 — Repérer les nombres premiers

Parmi les nombres 1717, 2121, 3737, 5151 et 9797, déterminer ceux qui sont premiers. Justifier à l'aide de leurs diviseurs.
Corrigé détaillé
1717, 3737 et 9797 sont premiers. Pour 97, il suffit de vérifier qu'aucun des nombres premiers 22, 33, 55, 77 (inférieurs à 97\sqrt{97}) ne le divise. En revanche, 21=3×721=3\times7 et 51=3×1751=3\times17 ne sont pas premiers.

Exercice 6 — Simplifier une fraction avec le PGCD

On souhaite simplifier 10801512\dfrac{1080}{1512}.
  1. Décomposer 1080 et 1512 en facteurs premiers.
  2. Trouver leur PGCD.
  3. Donner la fraction irréductible.
Corrigé détaillé
  1. 1080=23×33×51080=2^3\times3^3\times5 et 1512=23×33×71512=2^3\times3^3\times7.
  2. Le PGCD est 23×33=2162^3\times3^3=216.
  3. En divisant par 216 : 10801512=57\dfrac{1080}{1512}=\boxed{\dfrac57}.

Exercice 7 — Ranger des DVD dans des caisses

Un livreur doit ranger 752 DVD dans des caisses de 40 DVD au maximum.
  1. Effectuer la division euclidienne de 752 par 40.
  2. Combien de caisses faut-il ?
  3. Combien y aura-t-il de DVD dans la dernière caisse ?
Corrigé détaillé
  1. 752=40×18+32752=40\times18+32.
  2. Les 18 caisses pleines ne suffisent pas. Il faut 19\boxed{19} caisses.
  3. La dernière contient 32\boxed{32} DVD.

Exercice 8 — Transport de supporters

Un club doit transporter 6798 supporters avec des cars de 55 places.
  1. Effectuer la division euclidienne.
  2. Combien de cars faut-il réserver ?
  3. Combien de places restent libres dans le dernier car ?
Corrigé détaillé
  1. 6798=55×123+336798=55\times123+33.
  2. Il faut 123 cars complets et un supplémentaire, donc 124\boxed{124} cars.
  3. Le dernier car a 55−33=2255-33=\boxed{22} places libres.

Exercice 9 — Découper une plaque en carrés

Une plaque métallique mesure 110 cm sur 88 cm. On veut la découper en carrés identiques, de côté entier, sans chute.
  1. Calculer le PGCD de 110 et 88.
  2. En déduire la longueur maximale d'un côté.
  3. Combien de carrés obtient-on ?
Corrigé détaillé
  1. 110=2×5×11110=2\times5\times11 et 88=23×1188=2^3\times11, donc PGCD⁡(110,88)=22\operatorname{PGCD}(110,88)=22.
  2. Côté maximal : 22 cm\boxed{22\text{ cm}}.
  3. 110/22=5110/22=5 carrés en longueur et 88/22=488/22=4 en largeur ; total 20\boxed{20} carrés.

Exercice 10 — Sachets de dragées

On possède 760 dragées au chocolat et 1045 dragées aux amandes. On veut des sachets identiques en utilisant tout.
  1. Peut-on faire exactement 76 sachets ?
  2. Quel est le nombre maximal de sachets ?
  3. Quelle est leur composition ?
Corrigé détaillé
  1. Non : 10451045 n'est pas divisible par 76.
  2. 760=23×5×19760=2^3\times5\times19, 1045=5×11×191045=5\times11\times19 ; PGCD =5×19=95=5\times19=\boxed{95} sachets.
  3. Chaque sachet contient 760/95=8760/95=\boxed8 chocolats et 1045/95=111045/95=\boxed{11} amandes.

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