3ème / Brevet

Racines carrées et expressions exactes — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser racines carrées et expressions exactes avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

La racine carrée est positive ou nulle.
$\sqrt{a^2}=|a|$ .
Pour $a,b\ge0$ , $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ .
Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
Identifier l'hypoténuse avant le calcul.

Exercice 1 — Racines carrées parfaites

Calculer exactement.

$\sqrt{36}$ et $\sqrt{100}$ .
$\sqrt{1}$ et $\sqrt{0}$ .
$\sqrt{25}+\sqrt{16}$ .
$\sqrt{9}\times\sqrt{4}$ .

Corrigé détaillé

$\sqrt{36}=\boxed6$ et $\sqrt{100}=\boxed{10}$ .
$\sqrt1=\boxed1$ et $\sqrt0=\boxed0$ .
$5+4=\boxed9$ .
$3\times2=\boxed6$ .

Exercice 2 — Simplifier des racines carrées

Écrire sous la forme

a\sqrt b

avec

b

le plus petit possible.

$\sqrt8$ .
$\sqrt{32}$ .
$\sqrt{72}$ .
$\sqrt{50}$ .

Corrigé détaillé

$\sqrt8=\sqrt{4\times2}=\boxed{2\sqrt2}$ .
$\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\boxed{4\sqrt2}$ .
$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\boxed{6\sqrt2}$ .
$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\boxed{5\sqrt2}$ .

Exercice 3 — Racines et carrés

Calculer.

$(\sqrt7)^2$ .
$\sqrt{144}/\sqrt9$ .
$(3\sqrt2)^2$ .
$\sqrt{121}-\sqrt{49}$ .

Corrigé détaillé

$(\sqrt7)^2=\boxed7$ .
$12/3=\boxed4$ .
$(3\sqrt2)^2=9\times2=\boxed{18}$ .
$11-7=\boxed4$ .

Exercice 4 — Sommes de racines

Réduire sous la forme

a\sqrt b

$3\sqrt5+2\sqrt5$ .
$\sqrt{18}+\sqrt8$ .
$5\sqrt3-2\sqrt3$ .
$\sqrt{27}+\sqrt{12}$ .

Corrigé détaillé

$(3+2)\sqrt5=\boxed{5\sqrt5}$ .
$3\sqrt2+2\sqrt2=\boxed{5\sqrt2}$ .
$(5-2)\sqrt3=\boxed{3\sqrt3}$ .
$3\sqrt3+2\sqrt3=\boxed{5\sqrt3}$ .

Exercice 5 — Approximations de racines

Donner $\sqrt{15}$ au centième.
Donner $\sqrt{42}$ au centième.
Vérifier les encadrements $3<\sqrt{15}<4$ et $6<\sqrt{42}<7$ .

Corrigé détaillé

$\sqrt{15}\approx\boxed{3{,}87}$ .
$\sqrt{42}\approx\boxed{6{,}48}$ .
Comme $9<15<16$ , on a $3<\sqrt{15}<4$ . Comme $36<42<49$ , $6<\sqrt{42}<7$ .

Exercice 6 — Produit de racines carrées

Calculer $\sqrt{12}\times\sqrt{27}$ .
Simplifier séparément $\sqrt{12}$ et $\sqrt{27}$ .
Vérifier le produit obtenu.

Corrigé détaillé

$\sqrt{12}\times\sqrt{27}=\sqrt{324}=\boxed{18}$ .
$\sqrt{12}=2\sqrt3$ et $\sqrt{27}=3\sqrt3$ .
$(2\sqrt3)(3\sqrt3)=6\times3=\boxed{18}$ .

Exercice 7 — Théorème de Pythagore et racine exacte

Un triangle rectangle possède des côtés de l'angle droit mesurant 5 cm et 7 cm.

Donner l'expression exacte de l'hypoténuse.
Calculer un arrondi au centième.
Expliquer pourquoi on ne peut pas simplifier davantage la racine.

Corrigé détaillé

$c=\sqrt{5^2+7^2}=\boxed{\sqrt{74}\text{ cm}}$ .
$\sqrt{74}\approx\boxed{8{,}60\text{ cm}}$ .
$74=2\times37$ ne contient aucun facteur carré parfait strictement supérieur à 1.

Exercice 8 — Résoudre une équation au carré

Résoudre dans

\mathbb R

$x^2=49$ .
$x^2=12$ .
$x^2=-4$ .

Corrigé détaillé

$x=\boxed{-7\text{ ou }7}$ .
$x=\pm\sqrt{12}=\boxed{\pm2\sqrt3}$ .
Aucune solution réelle : un carré réel est toujours positif ou nul.

Exercice 9 — Diagonale d'un carré

Un carré a une aire de 196 cm².

Calculer la longueur de son côté.
Calculer sa diagonale exacte.
Donner une valeur arrondie au centième.

Corrigé détaillé

Le côté vaut $\sqrt{196}=\boxed{14\text{ cm}}$ .
La diagonale vérifie $d^2=14^2+14^2=392$ , donc $d=\boxed{14\sqrt2\text{ cm}}$ .
$14\sqrt2\approx\boxed{19{,}80\text{ cm}}$ .

Exercice 10 — Comparer sans calculatrice

Comparer $\sqrt{50}$ et 7.
Comparer $\sqrt{80}$ et 9.
Ranger dans l'ordre croissant : $\sqrt{48}$ , $7$ , $\sqrt{50}$ .

Corrigé détaillé

$50>49=7^2$ , donc $\sqrt{50}>7$ .
$80<81=9^2$ , donc $\sqrt{80}<9$ .
$48<49<50$ et la racine est croissante : $\boxed{\sqrt{48}<7<\sqrt{50}}$ .

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