3ème / Brevet

Développement et calcul littéral — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser développement et calcul littéral avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Développer : a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.
  • Remplacer une lettre par une valeur pour évaluer une expression.
  • Réduire les termes semblables.
  • Factoriser aide à résoudre une équation produit nul.
  • Le signe d'un trinôme dépend de ses racines et du coefficient dominant.

Exercice 1 — Double distributivité

Développer et réduire.
  1. (x+3)(x+5)(x+3)(x+5).
  2. (2x−1)(3x+4)(2x-1)(3x+4).
  3. 4x(x−2)−3(x2−5x+1)4x(x-2)-3(x^2-5x+1).
Corrigé détaillé
  1. x2+5x+3x+15=x2+8x+15x^2+5x+3x+15=\boxed{x^2+8x+15}.
  2. 6x2+8x−3x−4=6x2+5x−46x^2+8x-3x-4=\boxed{6x^2+5x-4}.
  3. 4x2−8x−3x2+15x−3=x2+7x−34x^2-8x-3x^2+15x-3=\boxed{x^2+7x-3}.

Exercice 2 — Identités remarquables

Développer.
  1. (x+4)2(x+4)^2.
  2. (3x−2)2(3x-2)^2.
  3. (x−5)(x+5)(x-5)(x+5).
Corrigé détaillé
  1. x2+8x+16\boxed{x^2+8x+16}.
  2. 9x2−12x+4\boxed{9x^2-12x+4}.
  3. x2−25\boxed{x^2-25}.

Exercice 3 — Factorisation

Factoriser.
  1. x2+6x+9x^2+6x+9.
  2. x2−49x^2-49.
  3. 5x+155x+15.
  4. 7x2−14x7x^2-14x.
Corrigé détaillé
  1. C'est (x+3)2(x+3)^2.
  2. Différence de deux carrés : (x−7)(x+7)(x-7)(x+7).
  3. Facteur commun 5 : 5(x+3)5(x+3).
  4. Facteur commun 7x7x : 7x(x−2)7x(x-2).

Exercice 4 — Développer et factoriser la même expression

On pose P=(2x+3)2+(2x+3)(x−5)P=(2x+3)^2+(2x+3)(x-5).
  1. Développer et réduire P.
  2. Factoriser P.
  3. Calculer P(1)P(1) par les deux méthodes.
Corrigé détaillé
  1. (2x+3)2=4x2+12x+9(2x+3)^2=4x^2+12x+9 et (2x+3)(x−5)=2x2−7x−15(2x+3)(x-5)=2x^2-7x-15, donc P=6x2+5x−6\boxed{P=6x^2+5x-6}.
  2. P=(2x+3)[(2x+3)+(x−5)]=(2x+3)(3x−2)P=(2x+3)[(2x+3)+(x-5)]=\boxed{(2x+3)(3x-2)}.
  3. Développé : 6+5−6=56+5-6=5. Factorisé : (2+3)(3−2)=5(2+3)(3-2)=5.

Exercice 5 — Différence de deux carrés

Factoriser et développer pour vérifier : x2−9x^2-9, 4x2−254x^2-25 et 9x2−19x^2-1.
Corrigé détaillé
On utilise a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b). x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=\boxed{(x-3)(x+3)}. 4x2−25=(2x−5)(2x+5)4x^2-25=\boxed{(2x-5)(2x+5)}. 9x2−1=(3x−1)(3x+1)9x^2-1=\boxed{(3x-1)(3x+1)}.

Exercice 6 — Facteur commun multiple

On pose E=(x−2)(2x+3)−3(x−2)E=(x-2)(2x+3)-3(x-2).
  1. Factoriser E.
  2. Développer et réduire E.
  3. Calculer E pour x=5x=5.
Corrigé détaillé
  1. E=(x−2)[(2x+3)−3]=2x(x−2)E=(x-2)[(2x+3)-3]=\boxed{2x(x-2)}.
  2. E=2x2−4xE=\boxed{2x^2-4x}.
  3. E(5)=2×25−4×5=30E(5)=2\times25-4\times5=\boxed{30}.

Exercice 7 — Deux carrés presque identiques

On considère A=(x+1)2−(x−1)2A=(x+1)^2-(x-1)^2.
  1. Développer les deux carrés.
  2. Réduire A.
  3. Calculer A pour x=7x=7.
Corrigé détaillé
  1. (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2=x^2+2x+1 et (x−1)2=x2−2x+1(x-1)^2=x^2-2x+1.
  2. A=x2+2x+1−x2+2x−1=4xA=x^2+2x+1-x^2+2x-1=\boxed{4x}.
  3. A(7)=28A(7)=\boxed{28}.

Exercice 8 — Démontrer qu'un nombre est impair

Pour un entier naturel n, on pose Q=(n+1)2−n2Q=(n+1)^2-n^2.
  1. Développer et réduire Q.
  2. Montrer que Q est impair.
  3. Calculer Q pour n=10n=10.
Corrigé détaillé
  1. Q=n2+2n+1−n2=2n+1Q=n^2+2n+1-n^2=\boxed{2n+1}.
  2. 2n2n est pair ; un pair augmenté de 1 est impair.
  3. Q=2×10+1=21Q=2\times10+1=\boxed{21}.

Exercice 9 — Aire d'un rectangle variable

Un rectangle a pour longueur L=x+4L=x+4 et largeur l=x−2l=x-2, avec x>2x>2.
  1. Exprimer son aire.
  2. Développer et réduire.
  3. Calculer l'aire pour x=5x=5 cm.
Corrigé détaillé
  1. A=(x+4)(x−2)\mathcal A=(x+4)(x-2).
  2. A=x2+2x−8\mathcal A=x^2+2x-8.
  3. A(5)=25+10−8=27 cm2\mathcal A(5)=25+10-8=\boxed{27\text{ cm}^2}.

Exercice 10 — Développer et factoriser un produit

Soit P=(3x+2)2−(x+1)(3x+2)P=(3x+2)^2-(x+1)(3x+2).
  1. Factoriser P.
  2. Développer et réduire P.
  3. Vérifier les deux écritures pour x=1x=1.
Corrigé détaillé
  1. P=(3x+2)[(3x+2)−(x+1)]=(3x+2)(2x+1)P=(3x+2)[(3x+2)-(x+1)]=\boxed{(3x+2)(2x+1)}.
  2. P=6x2+3x+4x+2=6x2+7x+2P=6x^2+3x+4x+2=\boxed{6x^2+7x+2}.
  3. Pour x=1x=1 : produit 5×3=155\times3=15 ; polynôme 6+7+2=156+7+2=15.

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