4ème

Distributivité et calcul littéral — 10 exercices corrigés de 4ème

Réviser distributivité et calcul littéral avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme de 4e actuellement applicable en 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Développer : a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.
  • Remplacer une lettre par une valeur pour évaluer une expression.
  • Réduire les termes semblables.
  • aman=am+na^m a^n=a^{m+n}.
  • am/an=am−na^m/a^n=a^{m-n} si a≠0a\ne0.

Exercice 1 — Réduire des termes semblables

1. Réduis −3c2+1+6c2+9c2-3c^2+1+6c^2+9c^2. 2. Réduis 6b2−8b26b^2-8b^2 puis 2d−(−10d)2d-(-10d). 3. Peut-on réduire davantage −2x2−6-2x^2-6 ? Justifie.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Les termes en c2c^2 totalisent −3+6+9=12-3+6+9=12 : 12c2+1\boxed{12c^2+1}. Étape 2 — Question 2. −2b2\boxed{-2b^2} ; puis 2d+10d=12d2d+10d=\boxed{12d}. Étape 3 — Question 3. Non, un terme en x2x^2 et un nombre constant ne sont pas semblables.

Exercice 2 — Enlever correctement des parenthèses

1. Réduis −(−2x+2)+3x+9-(-2x+2)+3x+9. 2. Réduis −6x−(−7x+8)+2-6x-(-7x+8)+2. 3. Réduis −(5x−1)+2−3x-(5x-1)+2-3x.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. On change les signes dans la parenthèse précédée de « − » : 2x−2+3x+9=5x+72x-2+3x+9=\boxed{5x+7}. Étape 2 — Question 2. −6x+7x−8+2=x−6-6x+7x-8+2=\boxed{x-6}. Étape 3 — Question 3. −5x+1+2−3x=−8x+3-5x+1+2-3x=\boxed{-8x+3}.

Exercice 3 — Développer par distributivité simple

1. Développe 9x(−2x−10)9x(-2x-10). 2. Développe (7x+2)×7x(7x+2)\times7x. 3. Développe 4(−5x−3)4(-5x-3).
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 9x(−2x−10)=9x(−2x)+9x(−10)=−18x2−90x9x(-2x-10)=9x(-2x)+9x(-10)=\boxed{-18x^2-90x}. Étape 2 — Question 2. 7x(7x+2)=49x2+14x7x(7x+2)=49x^2+14x. Étape 3 — Question 3. 4(−5x−3)=−20x−124(-5x-3)=\boxed{-20x-12}.

Exercice 4 — Une double distributivité

1. Développe (−7x+7)(−x−1)(-7x+7)(-x-1). 2. Développe et réduis (7x−7)(10x+8)(7x-7)(10x+8). 3. Évalue le deuxième résultat pour x=1x=1 à l'aide de la forme factorisée et vérifie.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Produits : 7x2+7x−7x−7=7x2−77x^2+7x-7x-7=\boxed{7x^2-7}. Étape 2 — Question 2. 70x2+56x−70x−56=70x2−14x−5670x^2+56x-70x-56=\boxed{70x^2-14x-56}. Étape 3 — Question 3. Pour x=1x=1, (7−7)(10+8)=0(7-7)(10+8)=0 ; forme développée : 70−14−56=070-14-56=0. Vérification réussie.

Exercice 5 — Réduire une expression avec carrés

1. Réduis 2x2+3x+5−x2+2x−42x^2+3x+5-x^2+2x-4. 2. Réduis 6x2−5x+9−7x2+3x−36x^2-5x+9-7x^2+3x-3. 3. Pourquoi ne transforme-t-on pas x2+5xx^2+5x en 6x26x^2 ?
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Termes en x2x^2 : 2−1=12-1=1 ; termes en x : 3+2=53+2=5 ; constantes : 5−4=15-4=1. Résultat x2+5x+1\boxed{x^2+5x+1}. Étape 2 — Question 2. 6−7=−16-7=-1 ; −5+3=−2-5+3=-2 ; 9−3=69-3=6. Résultat −x2−2x+6\boxed{-x^2-2x+6}. Étape 3 — Question 3. x2x^2 et xx ne représentent pas la même puissance : on ne peut pas les additionner en un seul monôme.

Exercice 6 — Factoriser par un facteur commun

1. Factorise 6x+6y6x+6y. 2. Factorise 20−30a20-30a. 3. Factorise 15x2+5x15x^2+5x.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Chaque terme contient 6 : 6(x+y)\boxed{6(x+y)}. Étape 2 — Question 2. Les deux termes sont multiples de 10 : 10(2−3a)\boxed{10(2-3a)}. Étape 3 — Question 3. Les deux termes contiennent 5x5x : 5x(3x+1)\boxed{5x(3x+1)}.

Exercice 7 — Factorisation après regroupement

1. Factorise (6x+3)(4x−5)+(3x+1)(6x+3)(6x+3)(4x-5)+(3x+1)(6x+3). 2. Factorise (4x−5)(2−x)+(4x−5)2(4x-5)(2-x)+(4x-5)^2. 3. Simplifie le premier résultat en regroupant les termes de la parenthèse.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Le facteur commun est (6x+3)(6x+3) : (6x+3)[(4x−5)+(3x+1)](6x+3)[(4x-5)+(3x+1)]. Étape 2 — Question 2. Facteur commun (4x−5)(4x-5) : (4x−5)[(2−x)+(4x−5)]=(4x−5)(3x−3)(4x-5)[(2-x)+(4x-5)]=\boxed{(4x-5)(3x-3)}. Étape 3 — Question 3. La première factorisation devient (6x+3)(7x−4)\boxed{(6x+3)(7x-4)}.

Exercice 8 — Calcul littéral avec un rectangle

1. Un rectangle a pour côtés 2x+32x+3 cm et x+1x+1 cm, pour x>0x>0. Exprime son périmètre. 2. Développe et réduis l'aire de ce rectangle. 3. Calcule les deux grandeurs pour x=2x=2.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. P=2[(2x+3)+(x+1)]=2(3x+4)=6x+8P=2[(2x+3)+(x+1)]=2(3x+4)=\boxed{6x+8} cm. Étape 2 — Question 2. A=(2x+3)(x+1)=2x2+2x+3x+3=2x2+5x+3A=(2x+3)(x+1)=2x^2+2x+3x+3=\boxed{2x^2+5x+3} cm². Étape 3 — Question 3. Pour x=2x=2, P=20P=20 cm et A=8+10+3=21A=8+10+3=\boxed{21} cm². Vérification : côtés 7 et 3 cm.

Exercice 9 — Vérifier deux écritures équivalentes

1. Développe 3(x+4)+2x+53(x+4)+2x+5. 2. Un élève affirme que c'est égal à 5x+175x+17. Est-ce vrai pour tout x ? 3. Choisis x=−2x=-2 pour vérifier ton affirmation numériquement.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 3x+12+2x+5=5x+173x+12+2x+5=\boxed{5x+17}. Étape 2 — Question 2. Oui, la distributivité prouve l'égalité pour n'importe quelle valeur de x. Étape 3 — Question 3. Forme de départ : 3(2)−4+5=73(2)-4+5=7. Forme réduite : 5(−2)+17=75(-2)+17=7. Les résultats concordent.

Exercice 10 — Inventer puis corriger une expression

1. Trouve une expression de la forme a(x+b)a(x+b) qui se développe en 6x+186x+18. 2. Explique pourquoi 4(x+5)4(x+5) n'est pas égal à 4x+54x+5. 3. Développe et réduis 2(3x−5)−3(x+1)2(3x-5)-3(x+1).
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. On peut prendre 6(x+3)\boxed{6(x+3)}, puisque 6(x+3)=6x+186(x+3)=6x+18. Étape 2 — Question 2. La distributivité donne 4(x+5)=4x+204(x+5)=4x+20. Le second terme doit lui aussi être multiplié par 4. Étape 3 — Question 3. 6x−10−3x−3=3x−136x-10-3x-3=\boxed{3x-13}.

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