4ème

Racines carrées et carrés parfaits — 10 exercices corrigés de 4ème

Réviser racines carrées et carrés parfaits avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme de 4e actuellement applicable en 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • La racine carrée est positive ou nulle.
  • a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.
  • Pour a,b≥0a,b\ge0, ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b.
  • aman=am+na^m a^n=a^{m+n}.
  • am/an=am−na^m/a^n=a^{m-n} si a≠0a\ne0.

Exercice 1 — Reconnaître les carrés parfaits

1. Calcule 12212^2, 15215^2 et 20220^2. 2. Parmi 18 ; 49 ; 64 ; 80 ; 121 ; 144 ; 200, relève les carrés parfaits. 3. Trouve deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent 80.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 122=14412^2=\boxed{144}, 152=22515^2=\boxed{225}, 202=40020^2=\boxed{400}. Étape 2 — Question 2. Ce sont 49=72,  64=82,  121=112,  144=122\boxed{49=7^2,\;64=8^2,\;121=11^2,\;144=12^2}. Étape 3 — Question 3. 82=64<80<81=928^2=64<80<81=9^2 : les entiers sont 8 et 9.

Exercice 2 — La racine carrée exacte

1. Calcule 49\sqrt{49} et 196\sqrt{196}. 2. Calcule 0\sqrt0, 1\sqrt1 et 132\sqrt{13^2}. 3. Calcule 1002\sqrt{100^2} puis explique pourquoi (−7)2=7\sqrt{(-7)^2}=7.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 49=7\sqrt{49}=\boxed7 et 196=14\sqrt{196}=\boxed{14}. Étape 2 — Question 2. 0=0\sqrt0=0, 1=1\sqrt1=1 et 132=13\sqrt{13^2}=\boxed{13}. Étape 3 — Question 3. 1002=100\sqrt{100^2}=100. Une racine carrée est toujours positive ou nulle ; donc (−7)2=49=7\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=\boxed7 et non −7-7.

Exercice 3 — Encadrer une racine carrée

1. Encadre 30\sqrt{30} entre deux entiers consécutifs. 2. Encadre 110\sqrt{110} de la même manière. 3. Donne une valeur approchée au dixième de 43\sqrt{43}.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 25<30<3625<30<36, donc 5<30<6\boxed{5<\sqrt{30}<6}. Étape 2 — Question 2. 100<110<121100<110<121, donc 10<110<11\boxed{10<\sqrt{110}<11}. Étape 3 — Question 3. 43≈6,5574\sqrt{43}\approx6,5574 ; au dixième on obtient 6,6\boxed{6,6}.

Exercice 4 — Racines carrées et opérations

1. Calcule 9+16\sqrt9+\sqrt{16}. 2. Compare avec 9+16\sqrt{9+16} : les résultats sont-ils égaux ? 3. Calcule 9×16\sqrt{9\times16} et explique la différence.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 9+16=3+4=7\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=\boxed7. Étape 2 — Question 2. 9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\boxed5. Les deux expressions ne sont pas égales. Étape 3 — Question 3. 9×16=144=12\sqrt{9\times16}=\sqrt{144}=\boxed{12}, tandis que 9×16=3×4=12\sqrt9\times\sqrt{16}=3\times4=12 : la propriété fonctionne pour le produit, pas pour la somme.

Exercice 5 — Une aire carrée donnée

1. Un carré a une aire de 225 cm². Quelle est la longueur de son côté ? 2. Quel est son périmètre ? 3. Une bordure de 5 m suffit-elle à entourer entièrement ce carré ?
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Si c est le côté, c2=225c^2=225. Comme c est positif, c=225=15 cmc=\sqrt{225}=\boxed{15\,\mathrm{cm}}. Étape 2 — Question 2. P=4×15=60 cmP=4\times15=\boxed{60\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Question 3. 5 m = 500 cm, soit bien plus que 60 cm : oui. Il resterait 440 cm de bordure.

Exercice 6 — Carré non parfait : approche calculatrice

1. Trouve deux entiers consécutifs entre lesquels se situe 50\sqrt{50}. 2. Calcule une approximation au centième de 50\sqrt{50}. 3. Vérifie que 7,0727,07^2 est proche de 50 et explique pourquoi cette vérification est utile.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 72=49<50<64=827^2=49<50<64=8^2, donc 7<50<87<\sqrt{50}<8. Étape 2 — Question 2. 50≈7,071067…\sqrt{50}\approx7,071067\ldots, donc 7,07\boxed{7,07} au centième. Étape 3 — Question 3. 7,072=49,98497,07^2=49,9849, proche de 50 : cela confirme que l'arrondi est plausible, même s'il ne redonne pas exactement 50.

Exercice 7 — Trouver une longueur grâce à une aire

1. Un terrain carré a une surface de 625 m². Calcule la longueur d'un côté. 2. Un second terrain carré a une surface de 900 m². Compare les longueurs de leurs côtés. 3. Calcule la différence entre leurs périmètres.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 625=25 m\sqrt{625}=\boxed{25\,\mathrm m}. Étape 2 — Question 2. Le second a pour côté 900=30\sqrt{900}=30 m, soit 5 m de plus. Étape 3 — Question 3. Périmètres : 100 m et 120 m. Différence 20 m\boxed{20\,\mathrm m}.

Exercice 8 — Longueur d'une diagonale

1. Un rectangle mesure 6 cm de long et 8 cm de large. Calcule le carré de sa diagonale par Pythagore. 2. Déduis la longueur exacte de la diagonale. 3. Quelle longueur obtiendrait-on si les côtés étaient multipliés par 2 ?
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Dans le triangle rectangle, d2=62+82=36+64=100d^2=6^2+8^2=36+64=\boxed{100}. Étape 2 — Question 2. d=100=10 cmd=\sqrt{100}=\boxed{10\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Question 3. La figure agrandie de rapport 2 a pour diagonale 10×2=20 cm10\times2=\boxed{20\,\mathrm{cm}}.

Exercice 9 — Équation liée à un carré

1. Résous x2=81x^2=81 dans les nombres positifs. 2. Quelles sont toutes les solutions de x2=81x^2=81 dans les nombres relatifs ? 3. Le côté d'un carré peut-il mesurer −9-9 cm ? Pourquoi ?
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Dans les nombres positifs, x=81=9x=\sqrt{81}=\boxed9. Étape 2 — Question 2. Les deux nombres ayant pour carré 81 sont −9 et 9\boxed{-9\text{ et }9}. Étape 3 — Question 3. Une longueur n'est pas négative : seule la solution 9 convient pour un côté de carré.

Exercice 10 — Débusquer une erreur de racine

1. Un élève écrit 25=−5\sqrt{25}=-5. Explique l'erreur. 2. Un autre écrit 36+64=36+64=14\sqrt{36+64}=\sqrt{36}+\sqrt{64}=14. Corrige-le. 3. Simplifie (−12)2+42\sqrt{(-12)^2}+\sqrt{4^2}.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. La notation 25\sqrt{25} désigne la racine positive : 5\boxed5. Étape 2 — Question 2. 36+64=100=10\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\boxed{10}, et non 6+8=14. La racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Étape 3 — Question 3. 144+16=12+4=16\sqrt{144}+\sqrt{16}=12+4=\boxed{16}.

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