Seconde

Calcul littéral et identités remarquables — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser calcul littéral et identités remarquables avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Développer : a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.
  • Remplacer une lettre par une valeur pour évaluer une expression.
  • Réduire les termes semblables.
  • Factoriser aide à résoudre une équation produit nul.
  • Le signe d'un trinôme dépend de ses racines et du coefficient dominant.

Exercice 1 — Développer des produits

Développer et réduire (3x−7)2(3x-7)^2 ; (5x+3)2−(x−4)(5x+3)(5x+3)^2-(x-4)(5x+3) ; (2x−1)2−(3x−2)(2x−1)(2x-1)^2-(3x-2)(2x-1).
Corrigé détaillé
  1. 9x2−42x+49\boxed{9x^2-42x+49}.
  2. (25x2+30x+9)−(5x2−17x−12)=20x2+47x+21(25x^2+30x+9)-(5x^2-17x-12)=\boxed{20x^2+47x+21}.
  3. (4x2−4x+1)−(6x2−7x+2)=−2x2+3x−1(4x^2-4x+1)-(6x^2-7x+2)=\boxed{-2x^2+3x-1}.

Exercice 2 — Factoriser par un facteur commun

Factoriser : (5x+3)2−(x−4)(5x+3)(5x+3)^2-(x-4)(5x+3) ; (2x−1)2−3(x−1)(2x−1)(2x-1)^2-3(x-1)(2x-1) ; 6x2−9x6x^2-9x.
Corrigé détaillé
  1. (5x+3)[(5x+3)−(x−4)]=(5x+3)(4x+7)(5x+3)[(5x+3)-(x-4)]=\boxed{(5x+3)(4x+7)}.
  2. (2x−1)[(2x−1)−3(x−1)]=(2x−1)(2−x)(2x-1)[(2x-1)-3(x-1)]=\boxed{(2x-1)(2-x)}.
  3. 3x(2x−3)\boxed{3x(2x-3)}.

Exercice 3 — Identités remarquables

Développer (3x−4)2−(2x−5)2(3x-4)^2-(2x-5)^2 puis factoriser l'expression initiale sans développer. Vérifier l'égalité.
Corrigé détaillé
Forme développée : (9x2−24x+16)−(4x2−20x+25)=5x2−4x−9(9x^2-24x+16)-(4x^2-20x+25)=\boxed{5x^2-4x-9}. Par a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b), la forme factorisée vaut (x+1)(5x−9)\boxed{(x+1)(5x-9)}, dont le développement redonne 5x2−4x−95x^2-4x-9.

Exercice 4 — Trois formes d'un même polynôme

On pose E=(2x−1)2−3(2x−1)(x−1)E=(2x-1)^2-3(2x-1)(x-1).
  1. Développer et réduire.
  2. Factoriser.
  3. Mettre sous la forme −2(x−a)2+b-2(x-a)^2+b.
Corrigé détaillé
  1. E=(4x2−4x+1)−(6x2−9x+3)=−2x2+5x−2E=(4x^2-4x+1)-(6x^2-9x+3)=\boxed{-2x^2+5x-2}.
  2. E=(2x−1)[(2x−1)−3(x−1)]=(2x−1)(2−x)E=(2x-1)[(2x-1)-3(x-1)]=\boxed{(2x-1)(2-x)}.
  3. Complétion du carré : −2(x−54)2+98-2(x-\frac54)^2+\boxed{\frac98}.

Exercice 5 — Choisir une forme adaptée

Soit F=(5x+3)(4x+7)=20x2+47x+21F=(5x+3)(4x+7)=20x^2+47x+21.
  1. Calculer F(−1)F(-1).
  2. Résoudre F(x)=0F(x)=0.
  3. Retrouver les valeurs par développement.
Corrigé détaillé
  1. F(−1)=(−2)×3=−6F(-1)=(-2)\times3=\boxed{-6}.
  2. Produit nul : 5x+3=05x+3=0 ou 4x+7=04x+7=0, donc x=−3/5 ou −7/4\boxed{x=-3/5\text{ ou }-7/4}.
  3. Les racines vérifient chacune 20x2+47x+21=020x^2+47x+21=0.

Exercice 6 — Un produit et une somme

Développer P=(x+3)(2x−5)(4−x)P=(x+3)(2x-5)(4-x) puis calculer P(0)P(0) et P(4)P(4) sans tout redévelopper.
Corrigé détaillé
D'abord (x+3)(2x−5)=2x2+x−15(x+3)(2x-5)=2x^2+x-15. Ensuite P=(2x2+x−15)(4−x)=−2x3+7x2+19x−60P=(2x^2+x-15)(4-x)=\boxed{-2x^3+7x^2+19x-60}. La forme factorisée donne directement P(0)=3×(−5)×4=−60P(0)=3\times(-5)\times4=\boxed{-60} et P(4)=0P(4)=\boxed0.

Exercice 7 — Équation polynomiale factorisable

On donne P(x)=(2x+3)(x−4)P(x)=(2x+3)(x-4).
  1. Développer et réduire.
  2. Résoudre P(x)=0P(x)=0.
  3. Vérifier que l'équation 2x2−5x−12=02x^2-5x-12=0 a les mêmes solutions.
Corrigé détaillé
P(x)=2x2−8x+3x−12=2x2−5x−12P(x)=2x^2-8x+3x-12=\boxed{2x^2-5x-12}. Produit nul : 2x+3=02x+3=0 ou x−4=0x-4=0, d'où x=−3/2 ou x=4\boxed{x=-3/2\text{ ou }x=4}. Le polynôme développé est exactement le même.

Exercice 8 — Comparer expressions équivalentes

Pour A=(x+2)2−(x−2)2A=(x+2)^2-(x-2)^2, 1. développer, 2. factoriser à l'aide de la différence de deux carrés, 3. calculer A(−3)A(-3).
Corrigé détaillé
  1. (x2+4x+4)−(x2−4x+4)=8x(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=\boxed{8x}.
  2. A=[(x+2)−(x−2)][(x+2)+(x−2)]=4×2x=8xA=[(x+2)-(x-2)][(x+2)+(x-2)]=4\times2x=\boxed{8x}.
  3. A(−3)=8×(−3)=−24A(-3)=8\times(-3)=\boxed{-24}.

Exercice 9 — Calcul littéral et fraction

Pour x≠0x\ne0 et x≠−4x\ne-4, écrire f(x)=34+x−2xf(x)=\frac3{4+x}-\frac2x sous forme d'un quotient unique et simplifier.
Corrigé détaillé
Dénominateur commun x(x+4)x(x+4) : f(x)=3x−2(x+4)x(x+4)=x−8x(x+4)f(x)=\frac{3x-2(x+4)}{x(x+4)}=\boxed{\frac{x-8}{x(x+4)}}. Il faut conserver les exclusions x=0x=0 et x=−4x=-4.

Exercice 10 — Forme canonique d'une parabole

Soit E(x)=−2x2+5x−2E(x)=-2x^2+5x-2.
  1. Vérifier que E(x)=−2(x−54)2+98E(x)=-2(x-\frac54)^2+\frac98.
  2. En déduire sa valeur maximale et l'abscisse correspondante.
Corrigé détaillé
  1. Développer : −2(x2−52x+2516)+98=−2x2+5x−258+98=−2x2+5x−2-2(x^2-\frac52x+\frac{25}{16})+\frac98=-2x^2+5x-\frac{25}{8}+\frac98=\boxed{-2x^2+5x-2}.
  2. Comme (x−54)2≥0(x-\frac54)^2\ge0, le terme −2-2 fois ce carré est au plus 0 : maximum 9/8\boxed{9/8} pour x=5/4\boxed{x=5/4}.

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