Seconde

Nombres réels, intervalles et ensembles — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser nombres réels, intervalles et ensembles avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Les crochets indiquent si une borne appartient à l'intervalle.
  • L'intersection garde les points communs.
  • La réunion rassemble les points d'au moins un ensemble.
  • La racine carrée est positive ou nulle.
  • a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.

Exercice 1 — Classer des nombres réels

Classer chaque nombre dans le plus petit des ensembles N,Z,D,Q,R\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R : −4-4 ; 0,1250{,}125 ; 13\frac13 ; 49\sqrt{49} ; 2\sqrt 2 ; π\pi ; −123-\frac{12}{3}.
Corrigé détaillé
−4∈Z-4\in\mathbb Z et −123=−4∈Z-\frac{12}{3}=-4\in\mathbb Z. 0,125∈D0{,}125\in\mathbb D ; 13∈Q\frac13\in\mathbb Q mais non D\mathbb D (décimale infinie périodique). 49=7∈N\sqrt{49}=7\in\mathbb N. 2\sqrt2 et π\pi sont irrationnels, donc leur plus petit ensemble dans la liste est R\mathbb R.

Exercice 2 — Reconnaître nombres rationnels et irrationnels

  1. Justifier que 4560\frac{45}{60} est décimal.
  2. Montrer que 81\sqrt{81} est entier naturel.
  3. Le nombre 2+32+\sqrt3 est-il rationnel ?
Corrigé détaillé
  1. 4560=34=0,75\frac{45}{60}=\frac34=0{,}75, donc appartient à D\mathbb D.
  2. 81=9∈N\sqrt{81}=9\in\mathbb N.
  3. 2+32+\sqrt3 est irrationnel : soustraire l'entier 2 à un éventuel rationnel donnerait 3\sqrt3 rationnel, contradiction.

Exercice 3 — Inégalités et intervalles

Traduire en intervalle :
  1. −2≤x<5-2\le x<5 ;
  2. x>3x>3 ;
  3. x≤−4x\le-4 ;
  4. 1<x≤71<x\le7.
Corrigé détaillé
  1. [−2;5[\boxed{[-2;5[}.
  2. ]3;+∞[\boxed{]3;+\infty[}.
  3. ]−∞;−4]\boxed{]-\infty;-4]}.
  4. ]1;7]\boxed{]1;7]}. Un crochet vers l'intérieur inclut la borne ; vers l'extérieur l'exclut.

Exercice 4 — Réunions d'intervalles

Simplifier :
  1. [−1;2]∪[2;6][-1;2]\cup[2;6] ;
  2. ]−5;−3[∪[−3;0[∪]0;5[]-5;-3[\cup[-3;0[\cup]0;5[ ;
  3. [−6;−1]∪]−1;2]∪]0;+∞[[-6;-1]\cup]-1;2]\cup]0;+\infty[.
Corrigé détaillé
  1. Les deux intervalles se touchent en 2 : [−1;6]\boxed{[-1;6]}.
  2. On obtient ]−5;0[∪]0;5[]-5;0[\cup]0;5[ : 0 reste exclu.
  3. Les intervalles se recouvrent successivement : [−6;+∞[\boxed{[-6;+\infty[}.

Exercice 5 — Intersections d'intervalles

Calculer :
  1. [−4;4]∩[2;5][-4;4]\cap[2;5] ;
  2. ]−2;3[∩]3;6]]-2;3[\cap]3;6] ;
  3. [−6;3]∩[−2;6]∩[−1;1[[-6;3]\cap[-2;6]\cap[-1;1[.
Corrigé détaillé
  1. Partie commune [2;4]\boxed{[2;4]}.
  2. Aucun élément commun puisque 3 est exclu : ∅\boxed{\varnothing}.
  3. Borne gauche maximale −1 (incluse) et borne droite minimale 1 (exclue) : [−1;1[\boxed{[-1;1[}.

Exercice 6 — Intervalles et bornes

  1. Donner le centre et le rayon de l'intervalle [−2;4][-2;4].
  2. Donner l'intervalle ouvert de centre 4 et de rayon 2.
  3. ]−8;−1[]-8;-1[ est-il borné ?
Corrigé détaillé
  1. Centre −2+42=1\frac{-2+4}{2}=\boxed1 et rayon 4−(−2)2=3\frac{4-(-2)}2=\boxed3.
  2. Borne gauche 2, droite 6, donc ]2;6[\boxed{]2;6[}.
  3. Oui, car tous ses éléments sont compris strictement entre −8 et −1.

Exercice 7 — Valeur absolue et distance

  1. Calculer ∣−7∣|-7| et ∣3−8∣|3-8|.
  2. Résoudre ∣x−2∣=5|x-2|=5.
  3. Traduire ∣x+1∣≤3|x+1|\le3 sous forme d'un intervalle.
Corrigé détaillé
  1. 7\boxed7 et 5\boxed5.
  2. x−2=5x-2=5 ou x−2=−5x-2=-5, soit x=7 ou x=−3\boxed{x=7\text{ ou }x=-3}.
  3. −3≤x+1≤3-3\le x+1\le3 équivaut à −4≤x≤2-4\le x\le2, donc [−4;2]\boxed{[-4;2]}.

Exercice 8 — Encadrer une racine carrée

  1. Encadrer 30\sqrt{30} entre deux entiers consécutifs.
  2. Est-elle entière ?
  3. Donner une valeur approchée au centième.
Corrigé détaillé
  1. 25<30<3625<30<36 donc 5<30<6\boxed{5<\sqrt{30}<6}.
  2. Non, aucun entier au carré ne vaut 30.
  3. 30≈5,48\sqrt{30}\approx\boxed{5{,}48}.

Exercice 9 — Domaines de définition de quotients

Donner l'ensemble de définition sur R\mathbb R des fonctions f(x)=3−x(x+1)(2−x)f(x)=\frac{3-x}{(x+1)(2-x)} et g(x)=3−xx2+1g(x)=\frac{3-x}{x^2+1}.
Corrigé détaillé
Un dénominateur doit être non nul. Pour ff, (x+1)(2−x)≠0(x+1)(2-x)\neq0 impose x≠−1x\neq-1 et x≠2x\neq2, d'où R∖{−1;2}\boxed{\mathbb R\setminus\{-1;2\}}. Pour gg, x2+1>0x^2+1>0 pour tout réel : R\boxed{\mathbb R}.

Exercice 10 — Fractions, décimaux et réels

  1. Justifier que −158-\frac{15}{8} est décimal.
  2. Simplifier 169\sqrt{169}.
  3. Classer 27\frac{2}{7}, −158-\frac{15}{8} et 169\sqrt{169} dans le plus petit ensemble usuel.
Corrigé détaillé
  1. −158=−1,875-\frac{15}{8}=-1{,}875, donc appartient à D\mathbb D.
  2. 169=13\sqrt{169}=13.
  3. 27∈Q∖D\frac27\in\mathbb Q\setminus\mathbb D, −158∈D-\frac{15}{8}\in\mathbb D et 169∈N\sqrt{169}\in\mathbb N.

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