Seconde

Racines carrées et calculs exacts — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser racines carrées et calculs exacts avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

La racine carrée est positive ou nulle.
$\sqrt{a^2}=|a|$ .
Pour $a,b\ge0$ , $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ .
$a^m a^n=a^{m+n}$ .
$a^m/a^n=a^{m-n}$ si $a\ne0$ .

Exercice 1 — Racines carrées et carrés parfaits

Calculer exactement :

\sqrt{900}

;

\sqrt{0{,}01}

;

\sqrt{\frac{49}{36}}

;

\sqrt{81}

;

(3\sqrt2)^2

Corrigé détaillé

Les racines carrées sont positives :

\sqrt{900}=\boxed{30}

\sqrt{0{,}01}=\boxed{0{,}1}

\sqrt{49/36}=\boxed{7/6}

\sqrt{81}=\boxed9

(3\sqrt2)^2=9\times2=\boxed{18}

Exercice 2 — Simplifier des radicaux

Écrire sous forme simplifiée :

\sqrt{27}/\sqrt{48}

;

\sqrt{27}\times\sqrt3

;

9\sqrt7-2\sqrt{28}-5\sqrt{63}

;

\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{150}

Corrigé détaillé

$\sqrt{27/48}=\sqrt{9/16}=\boxed{3/4}$ .
$\sqrt{81}=\boxed9$ .
$9\sqrt7-4\sqrt7-15\sqrt7=\boxed{-10\sqrt7}$ .
$2\sqrt6+3\sqrt6-5\sqrt6=\boxed0$ .

Exercice 3 — Développer avec des racines

Développer :

(3\sqrt2+5)^2

;

(\sqrt7+3)(\sqrt7-3)

;

(3\sqrt3-\sqrt2)(2\sqrt3+\sqrt2)

Corrigé détaillé

$(3\sqrt2)^2+30\sqrt2+25=\boxed{43+30\sqrt2}$ .
Différence de deux carrés $7-9=\boxed{-2}$ .
$18+3\sqrt6-2\sqrt6-2=\boxed{16+\sqrt6}$ .

Exercice 4 — Rationaliser des dénominateurs

Écrire sans racine au dénominateur :

2/\sqrt2

;

3/\sqrt5

;

\frac{2}{1+\sqrt2}

;

\frac{3}{\sqrt3-\sqrt2}

Corrigé détaillé

$\frac{2\sqrt2}{2}=\boxed{\sqrt2}$ .
$\boxed{\frac{3\sqrt5}{5}}$ .
Multiplier par $1-\sqrt2$ : $\frac{2(1-\sqrt2)}{1-2}=\boxed{2\sqrt2-2}$ .
Multiplier par $\sqrt3+\sqrt2$ : $\boxed{3(\sqrt3+\sqrt2)}$ .

Exercice 5 — Sommes de racines exactes

Simplifier :

2\sqrt{50}-\sqrt{18}-4\sqrt{32}

;

3\sqrt7-2\sqrt7+5\sqrt7

;

\sqrt{75}+\sqrt{12}

Corrigé détaillé

$10\sqrt2-3\sqrt2-16\sqrt2=\boxed{-9\sqrt2}$ .
$(3-2+5)\sqrt7=\boxed{6\sqrt7}$ .
$5\sqrt3+2\sqrt3=\boxed{7\sqrt3}$ .

Exercice 6 — Équations x²=a

Résoudre dans

\mathbb R

x^2=5

;

x^2=16

;

x^2=0

;

x^2=-2

;

(2x-3)^2=1

Corrigé détaillé

x^2=5\Rightarrow\boxed{x=\pm\sqrt5}

;

x^2=16\Rightarrow\boxed{x=\pm4}

;

x^2=0\Rightarrow\boxed{x=0}

;

x^2=-2

\boxed{\text{aucune solution réelle}}

. Enfin

2x-3=\pm1

, donc

\boxed{x=1\text{ ou }2}

Exercice 7 — Une identité avec deux racines

Pour

a>b>0

, montrer que

\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}+\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=2\sqrt a

Corrigé détaillé

On reconnaît des carrés :

a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2

a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2

. Comme

\sqrt a>\sqrt b>0

, les deux racines valent respectivement

\sqrt a+\sqrt b

\sqrt a-\sqrt b

. Somme

\boxed{2\sqrt a}

Exercice 8 — Transformer une expression littérale avec radicaux

Pour deux réels

a,b>0

a\ne b

, simplifier

A=\frac{b\sqrt a-a\sqrt b}{\sqrt b-\sqrt a}

Corrigé détaillé

Le numérateur vaut

\sqrt a\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)

. Puisque

a\ne b

, le dénominateur n'est pas nul. Donc

A=\boxed{\sqrt{ab}}

Exercice 9 — Simplifier avec les identités remarquables

Calculer sous forme

a+b\sqrt c

(1+\sqrt3)^2

;

(5\sqrt2-7)(5\sqrt2+7)

;

(2\sqrt3+3\sqrt5)^2

Corrigé détaillé

$1+2\sqrt3+3=\boxed{4+2\sqrt3}$ .
$(5\sqrt2)^2-7^2=50-49=\boxed1$ .
$12+12\sqrt{15}+45=\boxed{57+12\sqrt{15}}$ .

Exercice 10 — Thalès et longueur contenant une racine

Dans le triangle ACE, B est sur [AC], D sur [AE] et

(BD)\parallel(CE)

. On donne

AB=6

BC=3

m et

AE=\sqrt{45}

m. Calculer AD et simplifier la racine.

Corrigé détaillé

AC=AB+BC=9

m. Par Thalès,

\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac69=\frac23

. Ainsi

AD=\frac23\sqrt{45}=\frac23\times3\sqrt5=\boxed{2\sqrt5\text{ m}}

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