Seconde

Équations produit et second degré — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser équations produit et second degré avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Factoriser aide à résoudre une équation produit nul.
  • Le signe d'un trinôme dépend de ses racines et du coefficient dominant.
  • Pour un coefficient dominant positif, le trinôme est négatif entre deux racines distinctes.
  • Développer : a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.
  • Remplacer une lettre par une valeur pour évaluer une expression.

Exercice 1 — Résoudre par produit nul

Résoudre : (2x+3)(x−4)=0(2x+3)(x-4)=0 ; (9x2−12x+4)(x+3)=0(9x^2-12x+4)(x+3)=0.
Corrigé détaillé
  1. 2x+3=02x+3=0 ou x−4=0x-4=0, d'où x=−3/2 ou x=4\boxed{x=-3/2\text{ ou }x=4}.
  2. 9x2−12x+4=(3x−2)29x^2-12x+4=(3x-2)^2, donc (3x−2)2(x+3)=0(3x-2)^2(x+3)=0, d'où x=2/3 ou x=−3\boxed{x=2/3\text{ ou }x=-3}.

Exercice 2 — Transformer puis résoudre

Soit E(x)=(3x−4)2−(2x−5)2E(x)=(3x-4)^2-(2x-5)^2.
  1. Factoriser par l'identité remarquable.
  2. Résoudre E(x)=0E(x)=0.
  3. Développer E(x)E(x).
Corrigé détaillé
E=[(3x−4)−(2x−5)][(3x−4)+(2x−5)]=(x+1)(5x−9)E=[(3x-4)-(2x-5)][(3x-4)+(2x-5)]=\boxed{(x+1)(5x-9)}.
  1. Solutions x=−1 ou x=9/5\boxed{x=-1\text{ ou }x=9/5}.
  2. E=5x2−4x−9E=\boxed{5x^2-4x-9}.

Exercice 3 — Résoudre x²=a

Résoudre dans R\mathbb R : x2=25x^2=25 ; (x−3)2=7(x-3)^2=7 ; x2=−9x^2=-9 ; (2x−1)2=3(2x-1)^2=3.
Corrigé détaillé
  1. x=±5\boxed{x=\pm5}.
  2. x−3=±7x-3=\pm\sqrt7, donc x=3±7\boxed{x=3\pm\sqrt7}.
  3. ∅\boxed{\varnothing} car x2≥0x^2\ge0.
  4. 2x−1=±32x-1=\pm\sqrt3 et x=1±32\boxed{x=\frac{1\pm\sqrt3}{2}}.

Exercice 4 — Formes équivalentes et maximum

On donne E(x)=(2x−1)2−3(2x−1)(x−1)E(x)=(2x-1)^2-3(2x-1)(x-1).
  1. Écrire les formes développée et factorisée.
  2. Vérifier E=−2(x−54)2+98E=-2(x-\frac54)^2+\frac98.
  3. Quel est le maximum ?
Corrigé détaillé
  1. En développant E=−2x2+5x−2E=\boxed{-2x^2+5x-2}. En factorisant E=(2x−1)(2−x)E=\boxed{(2x-1)(2-x)}.
  2. −2(x−54)2+98=−2x2+5x−2-2(x-\frac54)^2+\frac98=-2x^2+5x-2.
  3. −2(⋅)2≤0-2(\cdot)^2\le0, donc maximum 9/8\boxed{9/8} atteint en x=5/4\boxed{x=5/4}.

Exercice 5 — Équation cubique déjà factorisée

Résoudre (x+3)(2x−5)(4−x)=0(x+3)(2x-5)(4-x)=0 ; développer le produit ; en déduire les solutions de −2x3+7x2+19x−60=0-2x^3+7x^2+19x-60=0.
Corrigé détaillé
Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est. Solutions x=−3, x=5/2, x=4\boxed{x=-3,\ x=5/2,\ x=4}. Développement : (2x2+x−15)(4−x)=−2x3+7x2+19x−60(2x^2+x-15)(4-x)=\boxed{-2x^3+7x^2+19x-60}. Cette forme développée a donc les mêmes solutions.

Exercice 6 — Forme développée et factorisation

Soit P(x)=(5x−3)2−2(x−1)(5x−3)P(x)=(5x-3)^2-2(x-1)(5x-3).
  1. Développer.
  2. Factoriser.
  3. Résoudre P(x)=0P(x)=0.
Corrigé détaillé
  1. 25x2−30x+9−(10x2−16x+6)=15x2−14x+325x^2-30x+9-(10x^2-16x+6)=\boxed{15x^2-14x+3}.
  2. P=(5x−3)[(5x−3)−2(x−1)]=(5x−3)(3x−1)P=(5x-3)[(5x-3)-2(x-1)]=\boxed{(5x-3)(3x-1)}.
  3. Solutions x=3/5 ou 1/3\boxed{x=3/5\text{ ou }1/3}.

Exercice 7 — Équation factorisée ou constante

Soit F(x)=(3x−4)2−(2x−5)2F(x)=(3x-4)^2-(2x-5)^2. Résoudre :
  1. F(x)=0F(x)=0 ;
  2. F(x)=−9F(x)=-9 ;
  3. F(x)=(2x−5)(x+1)F(x)=(2x-5)(x+1).
Corrigé détaillé
F(x)=(x+1)(5x−9)=5x2−4x−9F(x)=(x+1)(5x-9)=5x^2-4x-9.
  1. Solutions −1 et 9/5\boxed{-1\text{ et }9/5}.
  2. 5x2−4x=05x^2-4x=0, donc x(5x−4)=0x(5x-4)=0 : 0 et 4/5\boxed{0\text{ et }4/5}.
  3. Soustraire (2x−5)(x+1)(2x-5)(x+1) : (x+1)[(5x−9)−(2x−5)]=(x+1)(3x−4)=0(x+1)[(5x-9)-(2x-5)]=(x+1)(3x-4)=0, donc x=−1 ou 4/3\boxed{x=-1\text{ ou }4/3}.

Exercice 8 — Produit de deux entiers consécutifs

Trouver deux entiers consécutifs nn et n+1n+1 dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l'entier suivant n+2n+2.
Corrigé détaillé
Équation n(n+1)+7=(n+2)2n(n+1)+7=(n+2)^2. Développer : n2+n+7=n2+4n+4n^2+n+7=n^2+4n+4, donc 3=3n3=3n et n=1n=\boxed1. Les deux entiers sont 1 et 2\boxed{1\text{ et }2} ; 1×2+7=9=321\times2+7=9=3^2.

Exercice 9 — Compléter le carré

Pour f(x)=x2+4x−5f(x)=x^2+4x-5, 1. montrer que f(x)=(x+2)2−9f(x)=(x+2)^2-9.
  1. En déduire les racines.
  2. Donner la valeur minimale et où elle est atteinte.
Corrigé détaillé
f=(x2+4x+4)−9=(x+2)2−9f=(x^2+4x+4)-9=\boxed{(x+2)^2-9}. Équation f=0f=0 : (x+2)2=9(x+2)^2=9, donc x+2=±3x+2=\pm3, d'où x=−5 ou 1\boxed{x=-5\text{ ou }1}. Le carré étant ≥0\ge0, minimum −9\boxed{-9} pour x=−2\boxed{x=-2}.

Exercice 10 — Équation produit simple et double racine

Résoudre 1. (x−2)2=0(x-2)^2=0.
  1. x2−6x+9=4x^2-6x+9=4.
  2. 4x2−12x+9=04x^2-12x+9=0.
Corrigé détaillé
  1. x=2\boxed{x=2}.
  2. (x−3)2=4(x-3)^2=4, donc x−3=±2x-3=\pm2, d'où x=1 ou 5\boxed{x=1\text{ ou }5}.
  3. (2x−3)2=0(2x-3)^2=0, donc x=3/2\boxed{x=3/2}.

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