Seconde

Puissances et calcul numérique — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser puissances et calcul numérique avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • aman=am+na^m a^n=a^{m+n}.
  • am/an=am−na^m/a^n=a^{m-n} si a≠0a\ne0.
  • Attention à ne pas confondre puissance et multiplication ordinaire.
  • Addition de fractions : dénominateur commun.
  • Multiplication de fractions : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur.

Exercice 1 — Fractions sans calculatrice

Calculer et simplifier : A=37−45×158A=\frac37-\frac45\times\frac{15}{8} ; B=3−54−1−113B=\frac{3-\frac54}{-1-\frac{11}{3}} ; C=(6−5)×3109C=\frac{(6-5)\times\frac3{10}}9.
Corrigé détaillé
A=37−32=6−2114=−1514A=\frac37-\frac32=\frac{6-21}{14}=\boxed{-\frac{15}{14}}. B=7/4−14/3=74×(−314)=−38B=\frac{7/4}{-14/3}=\frac74\times(-\frac3{14})=\boxed{-\frac38}. C=3/109=130C=\frac{3/10}{9}=\boxed{\frac1{30}}.

Exercice 2 — Puissances d'une même base

Écrire sous forme d'une seule puissance : 2×25×23242\times2^5\times\frac{2^3}{2^4} ; (25×23)4(2^5\times2^3)^4 ; 7−2×(73)57127^{-2}\times\frac{(7^3)^5}{7^{12}}.
Corrigé détaillé
On additionne les exposants au produit, on les soustrait au quotient et on les multiplie pour une puissance de puissance. Résultats : 25\boxed{2^5} ; 232\boxed{2^{32}} ; 71=7\boxed{7^1=7}.

Exercice 3 — Écritures en puissances de 3

Simplifier : 1/2721/27^2 ; 35×9−23^5\times9^{-2} ; 13×272\frac13\times27^2 ; (94×127)2(9^4\times\frac1{27})^2 ; 812/27381^2/27^3.
Corrigé détaillé
Puisque 27=3327=3^3, 9=329=3^2 et 81=3481=3^4 :
  1. 3−6\boxed{3^{-6}} ;
  2. 35−4=33^{5-4}=\boxed3 ;
  3. 3−1+6=353^{-1+6}=\boxed{3^5} ;
  4. (38×3−3)2=310(3^8\times3^{-3})^2=\boxed{3^{10}} ;
  5. 38−9=3−13^{8-9}=\boxed{3^{-1}}.

Exercice 4 — Écritures en puissances de 5

Simplifier sous forme d'une puissance de 5 : 57×53(53)4\frac{5^7\times5^3}{(5^3)^4} ; 53×(54)2×1575^3\times(5^4)^2\times\frac1{5^7} ; 254×5−754\frac{25^4\times5^{-7}}{5^4}.
Corrigé détaillé
  1. 57+3−12=5−25^{7+3-12}=\boxed{5^{-2}}.
  2. 53+8−7=545^{3+8-7}=\boxed{5^4}.
  3. 254=5825^4=5^8, donc 58−7−4=5−35^{8-7-4}=\boxed{5^{-3}}.

Exercice 5 — Puissances dépendant de n

Pour un entier relatif nn, mettre sous la forme 5an+b5^{an+b} : E=(5n−3)3×52nE=(5^{n-3})^3\times5^{2n} et F=57×5n252−nF=\frac{5^7\times5^n}{25^{2-n}}.
Corrigé détaillé
E=53(n−3)+2n=55n−9E=5^{3(n-3)+2n}=\boxed{5^{5n-9}}. Pour FF, 252−n=(52)2−n=54−2n25^{2-n}=(5^2)^{2-n}=5^{4-2n}, donc F=57+n−(4−2n)=53n+3F=5^{7+n-(4-2n)}=\boxed{5^{3n+3}}.

Exercice 6 — Rationaliser un quotient de puissances

Simplifier exactement A=365×6−12A=36^5\times6^{-12} et B=210(24)11251B=\frac{2^{10}(2^4)^{11}}{2^{51}}.
Corrigé détaillé
365=(62)5=61036^5=(6^2)^5=6^{10}, donc A=610−12=6−2=1/36A=6^{10-12}=\boxed{6^{-2}=1/36}. Pour BB, exposant 10+44−51=310+44-51=3, d'où 23=8\boxed{2^3=8}.

Exercice 7 — Notation scientifique : conversions

Mettre sous forme scientifique :
  1. 0,0000007560{,}000000756 ;
  2. 5216,71×10−235216{,}71\times10^{-23} ;
  3. 284,7284{,}7 ;
  4. 192×10−3192\times10^{-3}.
Corrigé détaillé
  1. 7,56×10−7\boxed{7{,}56\times10^{-7}}.
  2. 5216,71=5,21671×1035216{,}71=5{,}21671\times10^3 donc 5,21671×10−20\boxed{5{,}21671\times10^{-20}}.
  3. 2,847×102\boxed{2{,}847\times10^2}.
  4. 1,92×10−1\boxed{1{,}92\times10^{-1}}.

Exercice 8 — Calcul en écriture scientifique

Calculer 12×1015×18×10−354×(10−4)5\frac{12\times10^{15}\times18\times10^{-3}}{54\times(10^{-4})^5} et donner le résultat en écriture scientifique.
Corrigé détaillé
Le coefficient vaut 12×1854=4\frac{12\times18}{54}=4. Au numérateur, l'exposant de 10 vaut 15−3=1215-3=12 ; au dénominateur −4×5=−20-4\times5=-20. Ainsi 4×1012−(−20)=4×10324\times10^{12-(-20)}=\boxed{4\times10^{32}}.

Exercice 9 — Puissances mêlées : base 2

Écrire sous forme d'une puissance de 2 : C=23×85×4−5C=2^3\times8^5\times4^{-5} ; D=2−8×45×16−2D=2^{-8}\times4^5\times16^{-2} ; E=(28×2−5)528E=\frac{(2^8\times2^{-5})^5}{2^8}.
Corrigé détaillé
C=23+15−10=28C=2^{3+15-10}=\boxed{2^8}. D=2−8+10−8=2−6D=2^{-8+10-8}=\boxed{2^{-6}}. E=2(8−5)×5−8=27E=2^{(8-5)\times5-8}=\boxed{2^7}.

Exercice 10 — Ordres de grandeur

La distance Terre–Soleil vaut environ 1,5×10111{,}5\times10^{11} m et la lumière voyage à 3×1083\times10^8 m/s.
  1. Calculer le temps de trajet.
  2. Convertir en minutes et secondes.
  3. Estimer la distance parcourue en une seconde en kilomètres.
Corrigé détaillé
  1. t=d/v=1,5×10113×108=500 st=d/v=\frac{1{,}5\times10^{11}}{3\times10^8}=\boxed{500\ \mathrm s}.
  2. 8 min 20 s\boxed{8\ \mathrm{min}\ 20\ \mathrm s}.
  3. 3×1083\times10^8 m =3×105 km=\boxed{3\times10^5\ \mathrm{km}}.

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