Seconde

Droites et systèmes simples — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser droites et systèmes simples avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Additionner deux équations permet parfois d'éliminer une inconnue.
  • Vérifier un couple solution dans les deux équations.
  • Deux droites de pentes différentes se coupent en un unique point.
  • Une droite non verticale a l'équation y=mx+py=mx+p.
  • mm est la pente, pp l'ordonnée à l'origine.

Exercice 1 — Équation cartésienne par deux points

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(−3;−2)A(-3;-2) et B(−1;1)B(-1;1).
Corrigé détaillé
Pente a=(1+2)/(−1+3)=3/2a=(1+2)/(-1+3)=3/2. Par A, −2=32(−3)+b-2=\frac32(-3)+b, donc b=5/2b=5/2. Équation réduite y=32x+52y=\frac32x+\frac52, soit 3x−2y+5=0\boxed{3x-2y+5=0}.

Exercice 2 — Appartenance à une droite

Les points A(−2;−3)A(-2;-3) et B(4;−1)B(4;-1) définissent d.
  1. Déterminer son équation.
  2. C(3;−1)(3;-1) appartient-il à d ?
  3. Donner l'ordonnée du point D sur d d'abscisse 3/23/2.
Corrigé détaillé
Pente a=(−1+3)/(4+2)=1/3a=(-1+3)/(4+2)=1/3 ; avec A, −3=−2/3+b-3=-2/3+b, donc b=−7/3b=-7/3. Équation y=x/3−7/3\boxed{y=x/3-7/3} ou x−3y−7=0x-3y-7=0. C : 1−7/3=−4/3≠−11-7/3=-4/3\ne-1, donc non. D : y=3/23−7/3=1/2−7/3=−11/6y=\frac{3/2}{3}-7/3=1/2-7/3=\boxed{-11/6}.

Exercice 3 — Lire les équations de six droites

Observer le graphique des droites d1d_1 à d6d_6. Déterminer l'équation réduite ou cartésienne de chacune à partir de deux points du quadrillage.
Lire les équations de six droites
Corrigé détaillé
d1d_1 passe par (0;2) et (3;3), donc y=x/3+2\boxed{y=x/3+2}. d2d_2 par (0;−3) et (−6;0), donc y=−x/2−3\boxed{y=-x/2-3}. d3d_3 verticale : x=−1\boxed{x=-1}. d4d_4 par (0;3) et (2;−1), donc y=−2x+3\boxed{y=-2x+3}. d5d_5 horizontale : y=3\boxed{y=3}. d6d_6 par (0;0) et (2;3), donc y=3x/2\boxed{y=3x/2}.

Exercice 4 — Droites parallèles ou sécantes

Pour chaque paire, dire si les droites sont parallèles : (a) A(2;−1)(2;-1) B(3;5)(3;5) et C(3;−5)(3;-5) D(5;7)(5;7) ; (b) A(15;30)(15;30) B(5;20)(5;20) et C(−10;−20)(-10;-20) D(50;40)(50;40).
Corrigé détaillé
(a) AB⃗=(1;6)\vec{AB}=(1;6), CD⃗=(2;12)=2AB⃗\vec{CD}=(2;12)=2\vec{AB} : paralleˋles\boxed{\text{parallèles}}. (b) AB⃗=(−10;−10)\vec{AB}=(-10;-10), CD⃗=(60;60)=−6AB⃗\vec{CD}=(60;60)=-6\vec{AB} : paralleˋles\boxed{\text{parallèles}}.

Exercice 5 — Système par substitution

Résoudre {3x−y=1−2x+3y=2\begin{cases}3x-y=1\\-2x+3y=2\end{cases} par substitution et vérifier.
Corrigé détaillé
Première équation y=3x−1y=3x-1. Remplacer : −2x+3(3x−1)=2-2x+3(3x-1)=2, donc 7x=57x=5 et x=5/7x=\boxed{5/7}. Puis y=15/7−1=8/7y=15/7-1=\boxed{8/7}. Vérification : 3(5/7)−8/7=13(5/7)-8/7=1 et −10/7+24/7=2-10/7+24/7=2.

Exercice 6 — Système par élimination

Résoudre {3x−4y=−1−2x+5y=2\begin{cases}3x-4y=-1\\-2x+5y=2\end{cases}, puis vérifier dans les deux équations.
Corrigé détaillé
Multiplier la première par 2 : 6x−8y=−26x-8y=-2. La deuxième par 3 : −6x+15y=6-6x+15y=6. Addition : 7y=47y=4, donc y=4/7\boxed{y=4/7}. Dans 3x−4(4/7)=−13x-4(4/7)=-1, 3x=9/73x=9/7, donc x=3/7\boxed{x=3/7}. Vérifications donnent −1 et 2.

Exercice 7 — Système impossible

Résoudre {3x−2y=−1−3x+2y=2\begin{cases}3x-2y=-1\\-3x+2y=2\end{cases}. Interpréter géométriquement.
Corrigé détaillé
En additionnant les deux équations, 0=10=1, contradiction. L'ensemble des solutions est ∅\boxed{\varnothing}. Les deux droites ont des coefficients proportionnels pour x et y mais des constantes incompatibles : elles sont parallèles distinctes.

Exercice 8 — Intersection de deux droites

Soient d1:y=2x−3d_1:y=2x-3 et d2:y=−x+6d_2:y=-x+6.
  1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection.
  2. Vérifier chacune des coordonnées.
Corrigé détaillé
À l'intersection 2x−3=−x+62x-3=-x+6, donc 3x=93x=9 et x=3x=\boxed3. Alors y=2×3−3=3y=2\times3-3=\boxed3. Point I(3;3)I(3;3) ; deuxième droite −3+6=3-3+6=3.

Exercice 9 — Coefficient directeur et vecteur normal

La droite dd a pour équation 2x−3y+5=02x-3y+5=0.
  1. Mettre sous forme réduite.
  2. Donner un vecteur directeur.
  3. Le point M(4;4)(4;4) est-il sur d ?
Corrigé détaillé
−3y=−2x−5-3y=-2x-5, donc y=23x+53\boxed{y=\frac23x+\frac53}. Un vecteur directeur est (3;2)\boxed{(3;2)}, puisque la pente est 2/32/3. Pour M, 2(4)−3(4)+5=8−12+5=1≠02(4)-3(4)+5=8-12+5=1\ne0 : non.

Exercice 10 — Droites perpendiculaires

On donne d1:y=12x+1d_1:y=\frac12x+1 et d2:y=−2x+6d_2:y=-2x+6.
  1. Donner les coefficients directeurs.
  2. Justifier la perpendicularité.
  3. Calculer leur point d'intersection.
Corrigé détaillé
Pentes a1=1/2a_1=1/2 et a2=−2a_2=-2, leur produit vaut −1-1 : droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. x/2+1=−2x+6x/2+1=-2x+6 ; 52x=5\frac52x=5, donc x=2x=\boxed2, y=2y=\boxed2. Intersection (2;2)(2;2).

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