Seconde

Fonctions affines et variations — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser fonctions affines et variations avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • L'image de xx est f(x)f(x).
  • Un antécédent résout une équation f(x)=yf(x)=y.
  • Une fonction affine se représente par une droite.
  • Une droite non verticale a l'équation y=mx+py=mx+p.
  • mm est la pente, pp l'ordonnée à l'origine.

Exercice 1 — Reconnaître une fonction affine

Classer f(x)=4xf(x)=4x, g(x)=4x−3g(x)=4x-3, h(x)=7h(x)=7, k(x)=x2k(x)=x^2 : fonctions linéaires, affines non linéaires, constantes, ou non affines.
Corrigé détaillé
f(x)=4xf(x)=4x est linéaire et affine. g(x)=4x−3g(x)=4x-3 est affine non linéaire. h(x)=7h(x)=7 est constante et affine de coefficient directeur nul. k(x)=x2k(x)=x^2 n'est pas affine.

Exercice 2 — Lecture de trois droites

Sur le graphique, les droites d1d_1, d2d_2 et d3d_3 sont respectivement oblique croissante passant par (0;1)(0;1) et (3;2)(3;2), décroissante passant par (0;3)(0;3) et (5;−1)(5;-1), et verticale x=3x=3.
  1. Déterminer les équations réduites possibles.
  2. Pourquoi d3d_3 n'a-t-elle pas d'équation y=ax+by=ax+b ?
Lecture de trois droites
Corrigé détaillé
d1d_1 : pente (2−1)/(3−0)=1/3(2-1)/(3-0)=1/3, donc y=x/3+1\boxed{y=x/3+1}. d2d_2 : pente (−1−3)/5=−4/5(-1-3)/5=-4/5, donc y=−4x/5+3\boxed{y=-4x/5+3}. d3d_3 est x=3\boxed{x=3} : elle contient plusieurs valeurs de yy pour la même abscisse 3, elle ne représente pas une fonction de xx.

Exercice 3 — Déterminer l'équation par deux points

Une droite passe par A(2;−1)A(2;-1) et B(−2;7)B(-2;7).
  1. Trouver son coefficient directeur.
  2. Trouver son ordonnée à l'origine.
  3. Écrire l'équation réduite.
Corrigé détaillé
a=(7−(−1))/(−2−2)=8/(−4)=−2a=(7-(-1))/(-2-2)=8/(-4)=\boxed{-2}. Avec A, −1=−2×2+b-1=-2\times2+b, donc b=3b=\boxed3. Équation y=−2x+3\boxed{y=-2x+3}.

Exercice 4 — Intersection avec les axes

La droite D a pour équation y=73x+2y=\frac73x+2.
  1. Déterminer l'intersection avec l'axe des ordonnées.
  2. Celle avec l'axe des abscisses.
Corrigé détaillé
Sur l'axe des ordonnées x=0x=0 : y=2y=2, donc (0;2)\boxed{(0;2)}. Sur l'axe des abscisses y=0y=0 : 73x+2=0\frac73x+2=0, soit x=−6/7x=-6/7. Point (−6/7;0)\boxed{(-6/7;0)}.

Exercice 5 — Tableau de signes affine

Étudier le signe de f(x)=−3x+6f(x)=-3x+6.
  1. Donner la racine.
  2. Donner les intervalles où ff est positif, nul et négatif.
  3. Préciser le sens de variation de ff.
Corrigé détaillé
−3x+6=0⇒x=2-3x+6=0\Rightarrow x=\boxed2. Comme −3<0-3<0, ff est décroissante. Donc f(x)>0f(x)>0 sur ]−∞;2[]-\infty;2[, f(2)=0f(2)=0, f(x)<0f(x)<0 sur ]2;+∞[]2;+\infty[.

Exercice 6 — Tarifs de connexion Internet

Un abonnement A coûte 5 € pour 5 h, puis 3 € par heure supplémentaire ; B coûte 10 € pour 15 h puis 3 € supplémentaires/h ; C coûte 15 € pour 50 h puis 3 €/h ; D coûte 25 € illimité.
  1. Calculer les prix pour 17 h.
  2. Donner les expressions des prix pour x≥0x\ge0 en utilisant une fonction définie par morceaux.
Corrigé détaillé
Pour 17 h : A 5+3(17−5)=415+3(17-5)=\boxed{41} € ; B 10+3(17−15)=1610+3(17-15)=\boxed{16} € ; C 15\boxed{15} € ; D 25\boxed{25} €. Pour x≥0x\ge0, A(x)=5A(x)=5 si x≤5x\le5, sinon 5+3(x−5)5+3(x-5) ; B(x)=10B(x)=10 si x≤15x\le15, sinon 10+3(x−15)10+3(x-15) ; C(x)=15C(x)=15 si x≤50x\le50, sinon 15+3(x−50)15+3(x-50) ; D(x)=25D(x)=25.

Exercice 7 — Taux de variation d'une fonction affine

On considère f(x)=−2x+5f(x)=-2x+5.
  1. Calculer f(1)f(1) et f(4)f(4).
  2. Calculer f(4)−f(1)4−1\frac{f(4)-f(1)}{4-1}.
  3. Généraliser entre deux réels distincts aa et bb.
Corrigé détaillé
f(1)=3f(1)=3, f(4)=−3f(4)=-3. Taux : (−3−3)/(4−1)=−6/3=−2(-3-3)/(4-1)=-6/3=\boxed{-2}. Pour a≠ba\ne b, (−2b+5)−(−2a+5)b−a=−2(b−a)b−a=−2\frac{(-2b+5)-(-2a+5)}{b-a}=\frac{-2(b-a)}{b-a}=\boxed{-2}.

Exercice 8 — Comparer deux fonctions affines

Soit f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=−x+7g(x)=-x+7.
  1. Résoudre f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  2. Donner le point d'intersection.
  3. Pour quelles abscisses f(x)>g(x)f(x)>g(x) ?
Corrigé détaillé
2x+1=−x+7⇒3x=62x+1=-x+7\Rightarrow3x=6, donc x=2x=\boxed2. Ordonnée commune f(2)=5f(2)=5 : (2;5)\boxed{(2;5)}. f(x)>g(x)⇔3x>6f(x)>g(x)\Leftrightarrow3x>6, donc x>2\boxed{x>2}.

Exercice 9 — Représenter des droites usuelles

Dans un repère, tracer d1:y=−x+2d_1:y=-x+2, d2:y=2x−1d_2:y=2x-1, d3:x=2d_3:x=2, d4:y=23x−2d_4:y=\frac23x-2, d5:y=−2d_5:y=-2. Donner deux points sur chaque droite.
Corrigé détaillé
Exemples : d1:(0;2),(2;0)d_1:(0;2),(2;0). d2:(0;−1),(1;1)d_2:(0;-1),(1;1). d3:(2;0),(2;3)d_3:(2;0),(2;3). d4:(0;−2),(3;0)d_4:(0;-2),(3;0). d5:(0;−2),(3;−2)d_5:(0;-2),(3;-2). Tracer chaque droite passant par ses deux points.

Exercice 10 — Fonction affine avec des fractions

On cherche f(x)=ax+bf(x)=ax+b telle que f(3/2)=−1/8f(3/2)=-1/8 et f(1/3)=3/4f(1/3)=3/4. Déterminer aa puis bb.
Corrigé détaillé
Pente : a=3/4−(−1/8)1/3−3/2=7/8−7/6=−3/4a=\frac{3/4-(-1/8)}{1/3-3/2}=\frac{7/8}{-7/6}=\boxed{-3/4}. Puis −1/8=(−3/4)(3/2)+b=−9/8+b-1/8=(-3/4)(3/2)+b=-9/8+b, donc b=1b=\boxed1. Finalement f(x)=−3x/4+1\boxed{f(x)=-3x/4+1}.

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