Seconde

Fonctions carré, inverse et courbes — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser fonctions carré, inverse et courbes avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • La fonction carré est paire : f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
  • La fonction inverse est définie sur R∗\mathbb R^*.
  • La fonction inverse est impaire.
  • L'image de xx est f(x)f(x).
  • Un antécédent résout une équation f(x)=yf(x)=y.

Exercice 1 — La fonction carré : images et antécédents

Soit f(x)=x2f(x)=x^2.
  1. Calculer f(−4)f(-4) et f(3)f(3).
  2. Résoudre f(x)=9f(x)=9.
  3. Résoudre f(x)=−2f(x)=-2.
Corrigé détaillé
f(−4)=16f(-4)=\boxed{16} et f(3)=9f(3)=\boxed9. x2=9x^2=9 donne x=−3 ou 3\boxed{x=-3\text{ ou }3}. x2=−2x^2=-2 n'a pas de solution réelle.

Exercice 2 — Variations de la fonction carré

  1. Décrire les variations de f(x)=x2f(x)=x^2.
  2. Calculer son minimum.
  3. Donner un encadrement de f(x)f(x) si x∈[−4;−1]x\in[-4;-1].
Corrigé détaillé
Sur ]−∞;0]]-\infty;0], ff décroît ; sur [0;+∞[[0;+\infty[, elle croît. Le minimum est 0\boxed0 en x=0x=0. Si x∈[−4;−1]x\in[-4;-1], alors 1≤x2≤16\boxed{1\le x^2\le16}.

Exercice 3 — Fonction inverse et domaine

Pour g(x)=1/xg(x)=1/x, 1. déterminer son domaine.
  1. Calculer g(−4)g(-4) et g(2)g(2).
  2. Résoudre g(x)=3g(x)=3.
Corrigé détaillé
Dg=R∖{0}D_g=\boxed{\mathbb R\setminus\{0\}}. g(−4)=−1/4g(-4)=\boxed{-1/4}, g(2)=1/2g(2)=\boxed{1/2}. 1/x=31/x=3 avec x≠0x\ne0 donne x=1/3\boxed{x=1/3}.

Exercice 4 — Variations de la fonction inverse

  1. Étudier la variation de g(x)=1/xg(x)=1/x sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
  2. Comparer g(2)g(2) et g(5)g(5).
  3. Comparer g(−5)g(-5) et g(−2)g(-2).
Corrigé détaillé
Sur chaque intervalle ]−∞;0[]-\infty;0[ et ]0;+∞[]0;+\infty[, gg est strictement décroissante. 2<52<5 implique g(2)=1/2>1/5=g(5)g(2)=1/2>1/5=g(5). Pour −5<−2-5<-2, g(−5)=−1/5>−1/2=g(−2)g(-5)=-1/5>-1/2=g(-2).

Exercice 5 — Fonction racine carrée

On définit h(x)=xh(x)=\sqrt{x}.
  1. Donner son domaine.
  2. Calculer h(49)h(49) et h(1/4)h(1/4).
  3. Résoudre h(x)=5h(x)=5.
Corrigé détaillé
La racine carrée impose x≥0x\ge0, d'où [0;+∞[\boxed{[0;+\infty[}. h(49)=7h(49)=\boxed7 ; h(1/4)=1/2h(1/4)=\boxed{1/2}. x=5\sqrt x=5 donne x=25\boxed{x=25}.

Exercice 6 — Courbes de référence

Sur le graphique, reconnaître la courbe de la fonction carré et celle de la fonction inverse. Pour chacune, indiquer une propriété de symétrie et le domaine.
Courbes de référence
Corrigé détaillé
La parabole est la courbe de x↦x2x\mapsto x^2, définie sur R\mathbb R et symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'hyperbole est la courbe de x↦1/xx\mapsto1/x, définie sur R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} et symétrique par rapport à l'origine. La deuxième courbe n'a pas de point d'abscisse 0.

Exercice 7 — Comparer carré et fonction affine

On considère f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=x+2g(x)=x+2.
  1. Résoudre f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  2. Donner les deux points d'intersection.
  3. Étudier le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x).
Corrigé détaillé
x2=x+2x^2=x+2 donne x2−x−2=(x−2)(x+1)=0x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0 ; x=−1 ou 2\boxed{x=-1\text{ ou }2}. Intersections : (−1;1)\boxed{(-1;1)} et (2;4)\boxed{(2;4)}. Le produit (x−2)(x+1)(x-2)(x+1) est positif sur ]−∞;−1[∪]2;+∞[]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[ et négatif sur ]−1;2[]-1;2[.

Exercice 8 — Fonction cube

Soit f(x)=x3f(x)=x^3.
  1. Calculer f(−2)f(-2) et f(3)f(3).
  2. Déterminer l'antécédent de 8.
  3. Expliquer pourquoi la fonction cube est croissante sur R\mathbb R.
Corrigé détaillé
f(−2)=−8f(-2)=\boxed{-8} et f(3)=27f(3)=\boxed{27}. L'antécédent de 8 est 2\boxed2 car 23=82^3=8. La fonction cube est strictement croissante sur R\mathbb R : l'ordre de deux réels distincts est conservé par le cube.

Exercice 9 — Fonction carré translatée

On considère f(x)=(x−3)2+1f(x)=(x-3)^2+1.
  1. Calculer f(3)f(3).
  2. Déterminer son minimum.
  3. Résoudre f(x)=5f(x)=5.
Corrigé détaillé
f(3)=1f(3)=\boxed1. Un carré est positif ou nul, donc minimum 1\boxed1 atteint en x=3x=3. (x−3)2=4(x-3)^2=4 entraîne x−3=±2x-3=\pm2 et x=1 ou 5\boxed{x=1\text{ ou }5}.

Exercice 10 — Encadrer une fonction de référence

On sait que x∈[2;5]x\in[2;5].
  1. Encadrer x2x^2.
  2. Encadrer 1/x1/x.
  3. Encadrer x\sqrt x. Justifier par le sens de variation.
Corrigé détaillé
Sur les réels positifs, le carré et la racine sont croissants : 4≤x2≤25\boxed{4\le x^2\le25} et 2≤x≤5\boxed{\sqrt2\le\sqrt x\le\sqrt5}. Sur ]0;+∞[]0;+\infty[, l'inverse décroît : 1/5≤1/x≤1/2\boxed{1/5\le1/x\le1/2}.

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