Seconde

Fonctions : images, antécédents et lecture — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser fonctions : images, antécédents et lecture avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • L'image de xx est f(x)f(x).
  • Un antécédent résout une équation f(x)=yf(x)=y.
  • Une fonction affine se représente par une droite.
  • Les crochets indiquent si une borne appartient à l'intervalle.
  • L'intersection garde les points communs.

Exercice 1 — Images et antécédents d'une fonction

Soit f(x)=x2+2x+7f(x)=x^2+2x+7.
  1. Calculer f(4)f(4) et f(−4)f(-4).
  2. Le point A(4;31)(4;31) appartient-il à la courbe ?
  3. Le point B(−4;−17)(-4;-17) y appartient-il ?
Corrigé détaillé
f(4)=16+8+7=31f(4)=16+8+7=\boxed{31} : A est sur la courbe. f(−4)=16−8+7=15≠−17f(-4)=16-8+7=\boxed{15}\ne-17 : B n'est pas sur la courbe.

Exercice 2 — Domaine de définition : racines et quotient

Déterminer les ensembles de définition de f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=3x−4g(x)=\frac3{x-4} et h(x)=x−1x2+1h(x)=\frac{x-1}{x^2+1}.
Corrigé détaillé
La racine impose x+2≥0x+2\ge0 : Df=[−2;+∞[\boxed{D_f=[-2;+\infty[}. Le quotient impose x−4≠0x-4\ne0 : Dg=R∖{4}\boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{4\}}. Comme x2+1>0x^2+1>0 pour tout réel : Dh=R\boxed{D_h=\mathbb R}.

Exercice 3 — Tableau d'images

On donne f(x)=x2−4f(x)=x^2-4.
  1. Calculer les images de −3,−2,−1,0,1,2,3-3,-2,-1,0,1,2,3.
  2. Déterminer les antécédents de 0.
  3. Donner les antécédents de 5.
Corrigé détaillé
Images dans l'ordre : 5,0,−3,−4,−3,0,5\boxed{5,0,-3,-4,-3,0,5}. Pour f(x)=0f(x)=0, x2=4x^2=4 donc x=−2 ou 2\boxed{x=-2\text{ ou }2}. Pour f(x)=5f(x)=5, x2=9x^2=9 donc x=−3 ou 3\boxed{x=-3\text{ ou }3}.

Exercice 4 — Lecture d'une courbe

Le graphique illustre la fonction f(x)=x2−4f(x)=x^2-4 pour xx entre −3 et 3.
  1. Lire f(−2)f(-2), f(0)f(0) et f(3)f(3).
  2. Donner les antécédents de 0.
  3. Donner le minimum et l'endroit où il est atteint.
Lecture d'une courbe
Corrigé détaillé
  1. f(−2)=0f(-2)=\boxed0, f(0)=−4f(0)=\boxed{-4}, f(3)=5f(3)=\boxed5.
  2. −2 et 2\boxed{-2\text{ et }2}.
  3. La parabole a son sommet au point (0;−4)(0;-4) ; le minimum est −4\boxed{-4} pour x=0\boxed{x=0}.

Exercice 5 — Tableau de variations

La fonction ff décroît de 55 à −2-2 sur [−4;1][-4;1], puis croît de −2-2 à 44 sur [1;6][1;6].
  1. Donner le minimum.
  2. Peut-on affirmer f(0)≥f(1)f(0)\ge f(1) ?
  3. Comparer f(2)f(2) et f(5)f(5).
Corrigé détaillé
  1. Le minimum vaut −2\boxed{-2} atteint en x=1x=1.
  2. Oui, ff décroît jusqu'à 1 : f(0)≥f(1)f(0)\ge f(1).
  3. Sur [1;6][1;6], ff est croissante ; 2<52<5 entraîne f(2)≤f(5)\boxed{f(2)\le f(5)}.

Exercice 6 — Maximum d'une aire

On considère A(x)=x(10−x)A(x)=x(10-x) pour 0≤x≤100\le x\le10.
  1. Calculer A(2)A(2) et A(8)A(8).
  2. Montrer A(x)=25−(x−5)2A(x)=25-(x-5)^2.
  3. En déduire le maximum.
Corrigé détaillé
  1. A(2)=2×8=16A(2)=2\times8=\boxed{16}, A(8)=8×2=16A(8)=8\times2=\boxed{16}.
  2. 25−(x−5)2=25−(x2−10x+25)=10x−x225-(x-5)^2=25-(x^2-10x+25)=10x-x^2.
  3. Un carré est positif : A(x)≤25A(x)\le25 ; maximum 25\boxed{25} pour x=5\boxed{x=5}.

Exercice 7 — Symétrie d'une fonction

Pour f(x)=x2f(x)=x^2, 1. comparer f(−3)f(-3) et f(3)f(3).
  1. Montrer f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
  2. Quelle symétrie observe-t-on sur le graphique ?
Corrigé détaillé
  1. f(−3)=f(3)=9f(-3)=f(3)=\boxed9.
  2. f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x) : la fonction est paire.
  3. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 8 — Étude d'une fonction inverse

Soit g(x)=1/xg(x)=1/x pour x≠0x\ne0.
  1. Calculer g(−2)g(-2) et g(4)g(4).
  2. Trouver l'antécédent de −1/3-1/3.
  3. Expliquer pourquoi g(0)g(0) n'existe pas.
Corrigé détaillé
  1. g(−2)=−1/2g(-2)=\boxed{-1/2} et g(4)=1/4g(4)=\boxed{1/4}.
  2. 1/x=−1/31/x=-1/3 conduit à x=−3\boxed{x=-3}.
  3. La division par 0 est impossible.

Exercice 9 — Comparer une fonction et une valeur

Soit f(x)=(x−1)2+2f(x)=(x-1)^2+2.
  1. Déterminer f(1)f(1) et f(−1)f(-1).
  2. Résoudre f(x)=2f(x)=2.
  3. Montrer que f(x)≥2f(x)\ge2 pour tout réel.
Corrigé détaillé
  1. f(1)=2f(1)=\boxed2 et f(−1)=4+2=6f(-1)=4+2=\boxed6.
  2. (x−1)2=0(x-1)^2=0, donc x=1\boxed{x=1}.
  3. Un carré est toujours positif ou nul ; donc (x−1)2+2≥2(x-1)^2+2\ge2.

Exercice 10 — Recherche d'antécédents par factorisation

Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3.
  1. Vérifier que f(x)=(x−1)(x−3)f(x)=(x-1)(x-3).
  2. Donner les antécédents de 0.
  3. Déterminer l'image de 2.
Corrigé détaillé
  1. (x−1)(x−3)=x2−4x+3(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.
  2. Produit nul : 1 et 3\boxed{1\text{ et }3}.
  3. f(2)=4−8+3=−1f(2)=4-8+3=\boxed{-1}.

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