Seconde

Géométrie plane et distances — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser géométrie plane et distances avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • AB→=(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).
  • Coordonnées du milieu : moyennes des coordonnées.
  • Distance en repère orthonormé : formule de Pythagore.
  • Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
  • Identifier l'hypoténuse avant le calcul.

Exercice 1 — Triangle rectangle et isocèle

On donne P(1;2)(1;2), Q(4;6)(4;6), R(8;3)(8;3).
  1. Calculer les longueurs PQ, QR, PR.
  2. Montrer que PQR est rectangle isocèle en Q.
  3. Trouver S tel que PQRS soit un carré.
Corrigé détaillé
PQ=32+42=5PQ=\sqrt{3^2+4^2}=\boxed5, QR=42+(−3)2=5QR=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\boxed5, PR=72+12=50=52PR=\sqrt{7^2+1^2}=\boxed{\sqrt{50}=5\sqrt2}. Les côtés issus de Q sont égaux, et QP⃗=(−3;−4)\vec{QP}=(-3;-4), QR⃗=(4;−3)\vec{QR}=(4;-3) ont pour produit scalaire −12+12=0-12+12=0, donc angle droit en Q. Pour le carré S=P+R−Q=(5;−1)S=P+R-Q=\boxed{(5;-1)}.

Exercice 2 — Nature d'un triangle

Les points A(0;0)A(0;0), B(6;0)B(6;0) et C(3;33)C(3;3\sqrt3) forment un triangle.
  1. Calculer AB, AC, BC.
  2. Quelle est sa nature ?
  3. Donner son périmètre.
Corrigé détaillé
AB=6AB=6. AC=32+(33)2=9+27=6AC=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=\boxed6. BC=(−3)2+(33)2=6BC=\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt3)^2}=\boxed6. Trois côtés égaux : triangle équilatéral, de périmètre 18\boxed{18}.

Exercice 3 — Rectangle, losange ou carré ?

On donne A(−1;1)(-1;1), B(3;2)(3;2), C(4;−2)(4;-2), D(0;−3)(0;-3). Démontrer la nature précise du quadrilatère.
Corrigé détaillé
AB⃗=(4;1)\vec{AB}=(4;1), BC⃗=(1;−4)\vec{BC}=(1;-4), CD⃗=(−4;−1)\vec{CD}=(-4;-1), DA⃗=(−1;4)\vec{DA}=(-1;4) : parallélogramme. AB=17=BCAB=\sqrt{17}=BC et AB⃗⋅BC⃗=4−4=0\vec{AB}\cdot\vec{BC}=4-4=0. Un parallélogramme avec côtés consécutifs égaux et angle droit est un carreˊ\boxed{\text{carré}}.

Exercice 4 — Parallélogramme rectangle

Soient L(−4;1)(-4;1), M(2;4)(2;4), N(4;0)(4;0) et P(−2;−3)(-2;-3).
  1. Démontrer LMNP parallélogramme.
  2. Calculer LM⃗⋅MN⃗\vec{LM}\cdot\vec{MN}.
  3. Conclure.
Corrigé détaillé
LM⃗=(6;3)=PN⃗\vec{LM}=(6;3)=\vec{PN} ; parallélogramme. LM⃗⋅MN⃗=(6;3)⋅(2;−4)=12−12=0\vec{LM}\cdot\vec{MN}=(6;3)\cdot(2;-4)=12-12=\boxed0. Deux côtés consécutifs sont perpendiculaires, donc rectangle\boxed{\text{rectangle}}.

Exercice 5 — Aire d'un triangle dans un repère

A(0;0)(0;0), B(6;0)(6;0), C(2;5)(2;5).
  1. Calculer l'aire de ABC.
  2. Calculer le pied H de la hauteur issue de C sur (AB).
  3. En déduire CH.
Corrigé détaillé
AB est horizontal, de longueur 6. Le pied H a les coordonnées (2;0)(2;0). Hauteur CH=5, donc A=12×6×5=15\mathcal A=\frac12\times6\times5=\boxed{15} unités².

Exercice 6 — Le cercle et une corde

Un cercle de centre O(0;0)(0;0) a pour rayon 5.
  1. Les points A(3;4)(3;4) et B(−3;4)(-3;4) sont-ils sur le cercle ?
  2. Calculer AB.
  3. Calculer la distance du centre O à la corde [AB].
Corrigé détaillé
OA=32+42=5OA=\sqrt{3^2+4^2}=\boxed5 ; OB=(−3)2+42=5OB=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\boxed5 : les deux points sont sur le cercle. AB=∣3−(−3)∣=6AB=|3-(-3)|=\boxed6. La corde horizontale est sur y=4y=4 ; distance de O à cette droite 4\boxed4.

Exercice 7 — Équation d'un cercle

Un cercle a pour centre Ω(2;−1)\Omega(2;-1) et rayon 33.
  1. Donner son équation.
  2. Tester le point A(2;2)(2;2).
  3. Tester B(0;0)(0;0).
Corrigé détaillé
Équation (x−2)2+(y+1)2=9\boxed{(x-2)^2+(y+1)^2=9}. Pour A, 02+32=90^2+3^2=9 : A appartient au cercle. Pour B, (−2)2+12=5≠9(-2)^2+1^2=5\ne9 : B n'est pas sur le cercle.

Exercice 8 — Distance minimale à une droite horizontale

On considère le point A(3;7)(3;7) et la droite d:y=2d:y=2.
  1. Déterminer le point H de d ayant la même abscisse que A.
  2. Calculer AH.
  3. Justifier pourquoi AH est la distance minimale.
Corrigé détaillé
H=(3;2)H=\boxed{(3;2)} et AH=∣7−2∣=5AH=|7-2|=\boxed5. Le segment AH est vertical, donc perpendiculaire à la droite horizontale d ; la distance d'un point à une droite est la longueur du segment perpendiculaire.

Exercice 9 — Triangle isocèle et médiatrice

Soient A(−2;0)(-2;0), B(2;0)(2;0) et C(0;5)(0;5).
  1. Calculer CA et CB.
  2. Déterminer le milieu de [AB].
  3. Justifier que C se trouve sur la médiatrice de [AB].
Corrigé détaillé
CA=22+52=29CA=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29} et CB=(−2)2+52=29CB=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{29}. Milieu I de AB : (0;0)\boxed{(0;0)}. C a la même abscisse que I, donc sur la perpendiculaire à AB passant par son milieu ; c'est la médiatrice.

Exercice 10 — Pythagore et distances dans le plan

Dans un repère orthonormé, A(−3;−2)A(-3;-2) et B(5;4)B(5;4).
  1. Calculer les variations en x et y.
  2. Calculer AB exacte.
  3. Donner une valeur approchée au dixième.
Corrigé détaillé
Δx=5−(−3)=8\Delta x=5-(-3)=8, Δy=4−(−2)=6\Delta y=4-(-2)=6. Par Pythagore, AB=82+62=100=10AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=\boxed{10}. L'arrondi au dixième est 10,0\boxed{10{,}0}.

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