3ème / Brevet

Transformations : translations, rotations et homothéties — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser transformations : translations, rotations et homothéties avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Un agrandissement de rapport kk multiplie les longueurs par kk.
  • Les aires sont multipliées par k2k^2.
  • La forme d'une figure est conservée par homothétie.
  • AB→=(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).
  • Coordonnées du milieu : moyennes des coordonnées.

Exercice 1 — Homothétie et aire

Un rectangle a une aire de 10 cm² et subit une homothétie de rapport 3.
  1. Quel est le coefficient multiplicateur des aires ?
  2. Quelle est la nouvelle aire ?
Corrigé détaillé
  1. Le coefficient est 32=93^2=9.
  2. L'aire devient 10×9=9010\times9=90 cm².

Exercice 2 — Réduction et aire

Une figure de 100 cm² est réduite par une homothétie de rapport positif kk. Son aire devient 25 cm². Calculer kk.
Corrigé détaillé
On a 100k2=25100k^2=25, soit k2=1/4k^2=1/4. Puisque k>0k>0, k=1/2k=1/2.

Exercice 3 — Triangles semblables

Les côtés d'un petit triangle mesurent 2,1 cm, 2,4 cm et 2,5 cm ; ceux d'un triangle semblable mesurent 6,3 cm, 7,2 cm et 7,5 cm. Par combien faut-il multiplier l'aire du petit triangle pour obtenir celle du grand ?
Corrigé détaillé
Le rapport des longueurs vaut 6,3/2,1=36{,}3/2{,}1=3 (idem pour les autres côtés). Le rapport des aires est 32=93^2=9.

Exercice 4 — Hexagone : symétries et rotation

On considère l'hexagone régulier ABCDEF de centre O, dessiné sur la figure.
  1. Déterminer l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie centrale de centre O.
  2. Donner l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF).
  3. Une rotation de centre O envoie A sur C et B sur D. Donner l'image du triangle BOC.
Hexagone régulier ABCDEF de centre O, divisé en six triangles
Symétries et rotation d'un hexagone régulier.
Corrigé détaillé
  1. Par symétrie centrale : C→F, D→A, E→B et O→O. L'image est FABO\boxed{FABO}.
  2. L'axe (CF) est horizontal : A→E et O→O. Le segment [AO] a pour image [EO]\boxed{[EO]}.
  3. La rotation fait avancer chaque sommet de deux positions (sens horaire) : B→D, O→O, C→E. L'image de BOC est DOE\boxed{DOE}.

Exercice 5 — Translation sur un quadrillage

Dans un repère, A(1 ; 2), B(4 ;
  1. et C(2 ; 5). La translation de vecteur (3;−2)(3;-2) transforme A, B, C en A', B', C'.
  1. Donner les coordonnées de A', B' et C'.
  2. Comparer AB et A'B'.
  3. Les triangles ABC et A'B'C' ont-ils la même aire ?
Corrigé détaillé
  1. On ajoute 3 à l'abscisse et −2 à l'ordonnée : A′(4;0)A'(4;0), B′(7;0)B'(7;0) et C′(5;3)C'(5;3).
  2. Une translation conserve les longueurs : AB=A′B′=3AB=A'B'=3 unités.
  3. Oui, une translation est une isométrie : elle conserve les aires.

Exercice 6 — Rotation d'un point

Dans un repère orthonormé, O(0 ;
  1. et A(3 ; 1). On effectue une rotation de centre O de 90∘90^\circ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
  1. Déterminer l'image A' de A.
  2. Calculer OA.
  3. Vérifier que OA'=OA.
Corrigé détaillé
  1. La rotation de 90∘90^\circ en sens direct transforme (x;y)(x;y) en (−y;x)(-y;x), d'où A′(−1;3)A'(-1;3).
  2. OA=32+12=10OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.
  3. OA′=(−1)2+32=10OA'=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10} : longueur conservée.

Exercice 7 — Aires et rapport négatif

Une figure d'aire 24 cm² subit une homothétie de rapport −2-2.
  1. Quel est le rapport des longueurs ?
  2. Quel est le coefficient de multiplication des aires ?
  3. Calculer la nouvelle aire.
Corrigé détaillé
  1. La valeur absolue du rapport vaut 2 : les longueurs sont doublées.
  2. Les aires sont multipliées par (−2)2=4(-2)^2=4.
  3. Nouvelle aire 24×4=96 cm224\times4=\boxed{96\text{ cm}^2}.

Exercice 8 — Retrouver le coefficient

Un triangle de 15 cm² est transformé en un triangle semblable de 135 cm² par une homothétie de rapport positif kk.
  1. Écrire l'équation liant les aires.
  2. Trouver kk.
  3. Par combien le périmètre a-t-il été multiplié ?
Corrigé détaillé
  1. 135=15k2135=15k^2.
  2. k2=9k^2=9 et k>0k>0, donc k=3\boxed{k=3}.
  3. Les périmètres, comme les longueurs, sont multipliés par 33.

Exercice 9 — Pavage : agrandissement d'un motif

Un motif de pavage occupe une aire de 12 cm². Un second motif est obtenu en divisant toutes ses longueurs par 2.
  1. Quel est le rapport de réduction ?
  2. Calculer l'aire du second motif.
  3. Expliquer pourquoi l'aire n'est pas divisée par 2.
Corrigé détaillé
  1. k=12k=\frac12.
  2. Le rapport des aires est k2=14k^2=\frac14 ; la nouvelle aire est 12/4=3 cm212/4=\boxed{3\text{ cm}^2}.
  3. Une aire dépend de deux dimensions : toutes deux sont divisées par 2, ce qui produit 1/2×1/2=1/41/2\times1/2=1/4.

Exercice 10 — Reconnaître une translation

Le triangle ABC de la figure est translaté pour obtenir A'B'C'.
  1. Une translation conserve-t-elle les longueurs ?
  2. Que peut-on dire des droites (AB) et (A'B') ?
  3. Comparer les aires des triangles ABC et A'B'C'.
Deux triangles congruents ABC et A'B'C' sur un quadrillage avec flèche de translation
Une translation déplace tous les points d'un même vecteur.
Corrigé détaillé
  1. Oui : AB=A′B′AB=A'B', BC=B′C′BC=B'C' et AC=A′C′AC=A'C'.
  2. Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles car la translation conserve les directions.
  3. Les aires sont identiques : une translation conserve les distances, les angles et les surfaces.

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