3ème / Brevet

Programmes de calcul en 3ème — 10 exercices corrigés

Une fiche supplémentaire de révision pour maîtriser les programmes de calcul et préparer le Brevet, sans remplacer les exercices des 17 leçons de 3ème. Les exercices 1 à 5 reprennent le contrôle de 4ème transmis (bases du calcul littéral). Les exercices 6 à 10 sont des approfondissements de 3ème : comparaison de programmes, identités remarquables et équations produit.

L'essentiel à retenir

Choisir un nombre de départ et le noter $x$ permet de traduire chaque instruction en expression littérale.
Respecter l'ordre des opérations : « ajouter 4 puis multiplier par 3 » donne $3(x+4)$ , et non $3x+4$ .
Développer et réduire une expression facilite la comparaison de deux programmes.
Pour trouver un nombre de départ donnant un résultat précis, résoudre l'équation puis vérifier le résultat.
Pour une équation produit nul, $A\times B=0$ signifie $A=0$ ou $B=0$ .

Exercice 1 — Programme A — ajouter, multiplier et retirer

Programme A :

Choisir un nombre de départ.
Ajouter 4.
Multiplier par 3.
Retirer le double du nombre de départ.

1. Vérifier qu'en choisissant 2 comme nombre de départ, on obtient 14 avec ce programme. 2. On note

x

le nombre choisi au départ. a. Montrer que le résultat final s'exprime sous la forme

x+12

. b. Quel nombre de départ faut-il choisir pour obtenir un résultat égal à 5 ?

Corrigé détaillé

1. Pour 2 :

(2+4)\times3-2\times2=6\times3-4=18-4=\boxed{14}

. 2.a. On part de

x

. Après l'ajout de 4, on a

x+4

; après la multiplication par 3, on a

3(x+4)

. On retire ensuite le double du nombre initial :

3(x+4)-2x=3x+12-2x=\boxed{x+12}

. 2.b. On résout

x+12=5

x=5-12=\boxed{-7}

. Vérification :

-7+12=5

Exercice 2 — Programme B — attention aux parenthèses

Programme B :

Choisir un nombre de départ.
Multiplier par 4.
Soustraire 5.
Multiplier le tout par 2.

1. Vérifier qu'en choisissant 3 comme nombre de départ, on obtient 14. 2. On note

x

le nombre choisi au départ. a. Montrer que l'expression littérale associée est

8x-10

. b. Quel nombre de départ donne le résultat 6 ?

Corrigé détaillé

1. Avec 3, le calcul est

(4\times3-5)\times2=(12-5)\times2=7\times2=\boxed{14}

. 2.a. À partir de

x

, on obtient successivement

4x

, puis

4x-5

, puis

2(4x-5)=8x-10

. Donc le programme renvoie

\boxed{8x-10}

. 2.b.

8x-10=6

, soit

8x=16

, donc

\boxed{x=2}

. Vérification :

8\times2-10=6

Exercice 3 — Programme C — un résultat sous forme de produit

Programme C :

Choisir un nombre de départ.
Soustraire 3.
Multiplier le résultat par le nombre de départ.

1. Calculer le résultat si le nombre de départ est 5. 2. En désignant le nombre de départ par

x

, montrer que le résultat est

x^2-3x

. 3. Tester le programme avec

x=0

puis avec

x=3

. Que remarque-t-on ?

Corrigé détaillé

1. Pour 5, on obtient

(5-3)\times5=2\times5=\boxed{10}

. 2. Après la soustraction, on dispose de

x-3

. On multiplie par le nombre de départ

x

, d'où

x(x-3)=\boxed{x^2-3x}

. 3. Pour

x=0

0(0-3)=0

. Pour

x=3

3(3-3)=0

. Les deux nombres 0 et 3 donnent 0 : ce sont les deux valeurs annulant le produit

x(x-3)

Exercice 4 — Programme D — calcul littéral et résultat négatif

Programme D :

Choisir un nombre de départ.
Multiplier par 3.
Ajouter 7.
Soustraire le nombre de départ.

1. Vérifier qu'en choisissant 4 au départ, on obtient 15. 2. On note

x

le nombre choisi. a. Écrire l'expression littérale correspondant à chaque étape. b. Montrer que le résultat se simplifie en

2x+7

. 3. Parmi

-5

0

3

, quel nombre permet d'obtenir

-3

? Justifier par un calcul.

Corrigé détaillé

1. Pour 4 :

3\times4+7-4=12+7-4=\boxed{15}

. 2.a. Étapes : nombre choisi

x

; triple

3x

; ajout de 7 :

3x+7

; retrait du nombre initial :

3x+7-x

. 2.b. On réduit les termes semblables :

3x+7-x=(3x-x)+7=\boxed{2x+7}

. 3. Avec

-5

2(-5)+7=-10+7=\boxed{-3}

. Avec 0 :

7

; avec 3 :

13

. Le nombre recherché est donc

\boxed{-5}

Exercice 5 — Comparer deux programmes P1 et P2

On considère les deux programmes suivants. Programme P1 :

Choisir un nombre.
Multiplier par 5.
Ajouter 2.

Programme P2 :

Choisir un nombre.
Ajouter 1.
Multiplier par 3.

1. Écrire les expressions littérales des deux programmes, en notant

x

le nombre de départ. 2. Déterminer pour quel nombre de départ les programmes donnent exactement le même résultat.

Corrigé détaillé

1. Pour P1, on multiplie

x

par 5 et on ajoute 2 :

\boxed{P_1(x)=5x+2}

. Pour P2, on ajoute 1 avant de multiplier par 3 :

\boxed{P_2(x)=3(x+1)=3x+3}

. 2. On cherche

5x+2=3x+3

. En soustrayant

3x

, puis 2 :

2x=1

. Ainsi

\boxed{x=\frac12}

. Vérification :

P_1(\frac12)=\frac52+2=\frac92

P_2(\frac12)=3(\frac32)=\frac92

. Les deux résultats valent 4,5.

Exercice 6 — Approfondissement Brevet — deux programmes concurrents

Deux élèves proposent des programmes de calcul. Programme E : choisir

x

, soustraire 2, multiplier par 4, puis ajouter 7. Programme F : choisir

x

, ajouter 3, multiplier par 2, puis ajouter le nombre de départ. 1. Exprimer le résultat de chaque programme en fonction de

x

. 2. Déterminer le nombre de départ pour lequel les résultats coïncident. 3. Vérifier en calculant les deux résultats.

Corrigé détaillé

1. Programme E :

E(x)=4(x-2)+7=4x-8+7=\boxed{4x-1}

. Programme F :

F(x)=2(x+3)+x=2x+6+x=\boxed{3x+6}

. 2. On résout

4x-1=3x+6

, donc

x=\boxed7

. 3.

E(7)=4\times7-1=\boxed{27}

F(7)=3\times7+6=\boxed{27}

Exercice 7 — Approfondissement Brevet — soustraire deux carrés

Programme G :

Choisir un nombre $x$ .
Ajouter 3.
Mettre le résultat au carré.
Soustraire le carré du nombre de départ.

1. Calculer le résultat pour

x=2

. 2. Montrer que le résultat s'écrit

6x+9

. 3. Déterminer le nombre qui donne un résultat nul.

Corrigé détaillé

1. Avec 2 :

(2+3)^2-2^2=25-4=\boxed{21}

. 2. Le résultat général est

(x+3)^2-x^2

. L'identité

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

donne

x^2+6x+9-x^2=\boxed{6x+9}

. 3.

6x+9=0

entraîne

6x=-9

puis

\boxed{x=-\frac32}

. Vérification :

6(-\frac32)+9=0

Exercice 8 — Approfondissement Brevet — résoudre un produit nul

Programme H :

Choisir un nombre $x$ .
Multiplier par 2 et soustraire 1.
Multiplier le résultat obtenu par le nombre de départ augmenté de 3.

1. Exprimer le résultat sous forme factorisée puis développer. 2. Calculer le résultat pour

x=0

. 3. Déterminer tous les nombres donnant un résultat nul.

Corrigé détaillé

1. Le premier facteur est

2x-1

; le second

x+3

. Donc

\boxed{H(x)=(2x-1)(x+3)}

. En développant :

H(x)=2x^2+6x-x-3=\boxed{2x^2+5x-3}

. 2.

H(0)=(-1)\times3=\boxed{-3}

. 3.

(2x-1)(x+3)=0

. Un produit est nul lorsqu'un de ses facteurs est nul :

2x-1=0

x+3=0

. Les solutions sont

\boxed{x=\frac12\text{ ou }x=-3}

Exercice 9 — Approfondissement Brevet — deux scripts équivalents

Deux scripts calculent un résultat à partir d'un nombre

x

. Script 1 : ajouter 2 à

x

, puis élever le résultat au carré. Script 2 : élever

x

au carré, ajouter quatre fois

x

, puis ajouter 4. 1. Exprimer les deux résultats en fonction de

x

. 2. Démontrer que les scripts donnent toujours le même nombre. 3. Déterminer toutes les valeurs de

x

qui produisent le résultat 9.

Corrigé détaillé

1. Le premier script renvoie

\boxed{S_1(x)=(x+2)^2}

; le deuxième

\boxed{S_2(x)=x^2+4x+4}

. 2. En développant,

(x+2)^2=x^2+4x+4

: donc

\boxed{S_1(x)=S_2(x)}

pour tout nombre

x

. 3.

(x+2)^2=9

équivaut à

x+2=3

x+2=-3

, donc

\boxed{x=1\text{ ou }x=-5}

. Vérification :

(1+2)^2=9

(-5+2)^2=9

Exercice 10 — Défi Brevet — égalité et produit nul

On utilise les programmes suivants à partir d'un nombre

x

. Programme I : ajouter 3, puis multiplier le résultat par le nombre de départ diminué de 1. Programme J : élever le nombre de départ au carré, puis soustraire 3. 1. Écrire les expressions

I(x)

J(x)

. 2. Développer et réduire

I(x)

. 3. Quel nombre de départ rend les deux programmes égaux ? 4. Quels nombres de départ donnent 0 avec le programme I ?

Corrigé détaillé

\boxed{I(x)=(x+3)(x-1)}

\boxed{J(x)=x^2-3}

. 2.

I(x)=x^2-x+3x-3=\boxed{x^2+2x-3}

. 3. Égalité

x^2+2x-3=x^2-3

. Après simplification

2x=0

, donc

\boxed{x=0}

. Vérification : les deux programmes donnent

-3

. 4.

(x+3)(x-1)=0

donne

x+3=0

x-1=0

, donc

\boxed{x=-3\text{ ou }x=1}

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