4ème

Théorème de Pythagore — 10 exercices corrigés de 4ème

Réviser théorème de pythagore avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme de 4e actuellement applicable en 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
  • Identifier l'hypoténuse avant le calcul.
  • La longueur obtenue est la racine carrée positive.
  • La réciproque de Pythagore permet de reconnaître un triangle rectangle.
  • Comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

Exercice 1 — Construire un triangle rectangle et calculer l'hypoténuse

1. Construis le triangle TGV rectangle en G avec GT=54GT=54 mm et GV=72GV=72 mm. 2. Écris l'égalité de Pythagore permettant de déterminer TV. 3. Calcule la longueur exacte TV.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Tracer deux segments perpendiculaires en G, de longueurs 54 et 72 mm, puis joindre T et V. Étape 2 — Question 2. Puisque le triangle est rectangle en G : TV2=GT2+GV2=542+722=2 916+5 184=8 100TV^2=GT^2+GV^2=54^2+72^2=2\,916+5\,184=8\,100. Étape 3 — Question 3. TV=8 100=90 mmTV=\sqrt{8\,100}=\boxed{90\text{ mm}}.

Exercice 2 — Retrouver un côté de l'angle droit

1. Le triangle TER est rectangle en E, avec ER=60ER=60 mm et TR=65TR=65 mm. Quel côté est l'hypoténuse ? 2. Exprime le carré de ET. 3. Calcule ET.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. L'hypoténuse est [TR], opposée à l'angle droit en E. Étape 2 — Question 2. ET2=TR2−ER2=652−602=4 225−3 600=625ET^2=TR^2-ER^2=65^2-60^2=4\,225-3\,600=\boxed{625}. Étape 3 — Question 3. ET=625=25 mmET=\sqrt{625}=\boxed{25\text{ mm}}.

Exercice 3 — La réciproque de Pythagore

1. Un triangle YUV a pour côtés YU=65YU=65 mm, YV=72YV=72 mm et UV=97UV=97 mm. Quel est le plus grand côté ? 2. Compare YU2+YV2YU^2+YV^2 et UV2UV^2. 3. Peut-on conclure que le triangle est rectangle ? Précise le sommet.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Le côté le plus long est UV=97UV=97 mm. Étape 2 — Question 2. 652+722=4 225+5 184=9 40965^2+72^2=4\,225+5\,184=\boxed{9\,409} et 972=9 40997^2=\boxed{9\,409}. Étape 3 — Question 3. Oui, les carrés sont égaux : par réciproque du théorème, le triangle est rectangle en Y.

Exercice 4 — La hauteur d'un triangle ABC

1. Sur la figure, AH est perpendiculaire à BC ; AB = 10 cm, BH = 8 cm et HC = 2,5 cm. Calcule AH. 2. Calcule AC. 3. Le triangle ABC est-il rectangle ? Compare les carrés de ses côtés.
Triangle ABC, hauteur AH, AB 10 cm, BH 8 cm, HC 2,5 cm.
Les mesures sont à utiliser indépendamment de l'échelle du dessin.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Dans ABH rectangle en H, AH2=AB2−BH2=100−64=36AH^2=AB^2-BH^2=100-64=36, donc AH=6 cm\boxed{AH=6\text{ cm}}. Étape 2 — Question 2. Dans AHC, AC2=AH2+HC2=36+6,25=42,25AC^2=AH^2+HC^2=36+6,25=42,25 ; AC=6,5 cm\boxed{AC=6,5\text{ cm}}. Étape 3 — Question 3. BC=8+2,5=10,5BC=8+2,5=10,5 cm (le plus grand côté). BC2=110,25BC^2=110,25 et AB2+AC2=100+42,25=142,25AB^2+AC^2=100+42,25=142,25. Non, ABC n'est pas rectangle.

Exercice 5 — La diagonale d'un terrain de football

1. Un terrain rectangulaire mesure 95 m de long et 72 m de large. Fais un schéma avec sa diagonale. 2. Calcule le carré de la longueur de cette diagonale. 3. Donne la longueur de la diagonale au centième de mètre.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Dessiner un rectangle de côtés 95 m et 72 m, puis tracer une diagonale : elle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Étape 2 — Question 2. d2=952+722=9 025+5 184=14 209d^2=95^2+72^2=9\,025+5\,184=\boxed{14\,209}. Étape 3 — Question 3. d=14 209≈119,20 md=\sqrt{14\,209}\approx\boxed{119,20\text{ m}} au centième.

Exercice 6 — Comparer des longueurs pour exclure l'angle droit

1. Un triangle a pour côtés 6 cm, 6,5 cm et 8,7 cm. Identifie son plus grand côté. 2. Compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Le triangle est-il rectangle ? Justifie avec la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Le plus grand côté mesure 8,7 cm. Étape 2 — Question 2. 8,72=75,698,7^2=75,69 et 62+6,52=36+42,25=78,256^2+6,5^2=36+42,25=\boxed{78,25}. Étape 3 — Question 3. Comme 75,69≠78,2575,69\neq78,25, le triangle n'est pas rectangle : si c'était le cas, l'égalité de Pythagore serait vraie.

Exercice 7 — Deux applications successives dans un pavé droit

1. Un pavé droit mesure 12 cm de long, 4 cm de large et 3 cm de haut. Calcule la diagonale d'une face de 12 cm par 4 cm. 2. Utilise cette diagonale pour déterminer la diagonale de l'espace. 3. Donne la valeur exacte de la diagonale de l'espace.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Dans la face rectangle, d2=122+42=160d^2=12^2+4^2=160, donc d=160d=\sqrt{160}. Étape 2 — Question 2. La diagonale de l'espace DD vérifie D2=d2+32=160+9=169D^2=d^2+3^2=160+9=169. Étape 3 — Question 3. D=169=13 cmD=\sqrt{169}=\boxed{13\text{ cm}}.

Exercice 8 — Un carré dont la diagonale est connue

1. Un carré a pour diagonale 10 cm. Pose x sa longueur de côté. Écris une égalité avec Pythagore. 2. Calcule x2x^2. 3. Déduis la longueur exacte du côté, puis son aire.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. Les deux côtés du triangle rectangle formé par la diagonale sont égaux : 102=x2+x2=2x210^2=x^2+x^2=2x^2. Étape 2 — Question 2. 100=2x2100=2x^2, donc x2=50\boxed{x^2=50}. Étape 3 — Question 3. x=50=52x=\sqrt{50}=5\sqrt2 cm ; l'aire est x2=50 cm2x^2=\boxed{50\text{ cm}^2}.

Exercice 9 — L'échelle pour rejoindre un mur

1. Une échelle de 5 m est appuyée sur un mur vertical, son pied se trouve à 3 m du mur. Quel côté forme l'hypoténuse ? 2. À quelle hauteur atteint-elle le mur, si le sol est horizontal ? 3. Le pied est déplacé à 4 m du mur sans changer l'échelle. Quelle hauteur atteint-on alors ?
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. L'échelle est l'hypoténuse de 5 m ; mur et sol forment l'angle droit. Étape 2 — Question 2. h2=52−32=25−9=16h^2=5^2-3^2=25-9=16, donc h=4 m\boxed{h=4\text{ m}}. Étape 3 — Question 3. h′2=52−42=9h'^2=5^2-4^2=9 ; h′=3 m\boxed{h'=3\text{ m}}.

Exercice 10 — Quel triangle est rectangle ?

1. Le triangle A a pour côtés 5, 12 et 13 cm. Est-il rectangle ? 2. Le triangle B a pour côtés 7, 9 et 12 cm. Est-il rectangle ? 3. Explique comment décider rapidement pour un triangle à trois longueurs données.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Question 1. 52+122=25+144=169=1325^2+12^2=25+144=169=13^2 : oui, il est rectangle, avec l'angle droit opposé à 13 cm. Étape 2 — Question 2. 72+92=49+81=1307^2+9^2=49+81=130, contre 122=14412^2=144 : non. Étape 3 — Question 3. On identifie le plus grand côté, puis on compare son carré à la somme des carrés des deux plus petits ; l'égalité caractérise un triangle rectangle.

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