3ème / Brevet

Théorème de Pythagore et réciproque — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser théorème de pythagore et réciproque avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
  • Identifier l'hypoténuse avant le calcul.
  • La longueur obtenue est la racine carrée positive.
  • La réciproque de Pythagore permet de reconnaître un triangle rectangle.
  • Comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

Exercice 1 — Un poteau retenu par un câble

Un poteau vertical mesure 5,25{,}2 m, et son pied est à 3,93{,}9 m de l'ancrage au sol. Le câble relie le sommet du poteau à cet ancrage.
  1. Justifier que le triangle est rectangle.
  2. Calculer la longueur du câble.
  3. Vérifier le résultat par le calcul inverse.
Poteau vertical BC de 5,2 m, distance AB de 3,9 m et câble AC
Le triangle ABC est rectangle en B.
Corrigé détaillé
  1. Le poteau est vertical, le sol horizontal : l'angle au pied du poteau est droit.
  2. D'après Pythagore, AC2=5,22+3,92=27,04+15,21=42,25AC^2=5{,}2^2+3{,}9^2=27{,}04+15{,}21=42{,}25. Donc AC=42,25=6,5 mAC=\sqrt{42{,}25}=\boxed{6{,}5\text{ m}}.
  3. 6,52=42,25=5,22+3,926{,}5^2=42{,}25=5{,}2^2+3{,}9^2 : le résultat est cohérent.

Exercice 2 — Terrain de football : diagonale

Un terrain rectangulaire mesure 95 m de long et 72 m de large.
  1. Tracer un schéma indiquant ses dimensions.
  2. Calculer la longueur d'une diagonale au centième.
  3. Peut-on tendre un câble de 118 m sur toute cette diagonale ?
Corrigé détaillé
  1. La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles.
  2. d2=952+722=9025+5184=14209d^2=95^2+72^2=9025+5184=14209, donc d=14209≈119,20 md=\sqrt{14209}\approx\boxed{119{,}20\text{ m}}.
  3. Non, car 118<119,20118<119{,}20 : il manque environ 1,201{,}20 m.

Exercice 3 — Reconnaître un triangle rectangle

On considère deux triangles.
  1. Un triangle mesure 5 cm, 12 cm et 13 cm : est-il rectangle ?
  2. Un autre mesure 7 cm, 8 cm et 10 cm : est-il rectangle ?
  3. Donner la propriété utilisée.
Corrigé détaillé
  1. 52+122=25+144=169=1325^2+12^2=25+144=169=13^2. Par la réciproque de Pythagore, il est rectangle.
  2. 72+82=113≠100=1027^2+8^2=113\neq100=10^2 : il n'est pas rectangle.
  3. Si le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle ; sinon il ne l'est pas.

Exercice 4 — Diagonale d'un pavé droit

Un pavé droit mesure 4 cm sur 3 cm sur 12 cm.
  1. Calculer la diagonale du rectangle de base de côtés 4 cm et 3 cm.
  2. Calculer la grande diagonale de l'espace.
  3. Expliquer les deux utilisations de Pythagore.
Corrigé détaillé
  1. Dans la base rectangulaire, d2=42+32=25d^2=4^2+3^2=25, donc d=5d=5 cm.
  2. Dans le triangle rectangle formé par cette diagonale et la hauteur : D2=52+122=169D^2=5^2+12^2=169, donc D=13 cmD=\boxed{13\text{ cm}}.
  3. On utilise une première fois Pythagore dans la base, puis dans un triangle rectangle vertical.

Exercice 5 — Losange et diagonales

Un losange possède des diagonales de 20 cm et 48 cm qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.
  1. Calculer les demi-diagonales.
  2. Calculer la longueur d'un côté.
  3. En déduire son périmètre.
Corrigé détaillé
  1. Les demi-diagonales valent 10 cm et 24 cm.
  2. Le côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle : c2=102+242=676c^2=10^2+24^2=676, donc c=26c=26 cm.
  3. P=4×26=104 cmP=4\times26=\boxed{104\text{ cm}}.

Exercice 6 — Corde d'un triangle rectangle

Dans un triangle ABC rectangle en A, AB=6AB=6 cm et AC=8AC=8 cm. On note H le pied de la hauteur issue de A sur [BC].
  1. Calculer BC.
  2. Calculer l'aire du triangle en utilisant AB et AC.
  3. En déduire la hauteur AH.
Corrigé détaillé
  1. BC=62+82=100=10BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 cm.
  2. A=6×82=24\mathcal A=\dfrac{6\times8}{2}=24 cm².
  3. A=BC×AH2\mathcal A=\dfrac{BC\times AH}{2}, donc AH=2×2410=4,8 cmAH=\dfrac{2\times24}{10}=\boxed{4{,}8\text{ cm}}.

Exercice 7 — Une échelle dans un triangle

Le pied d'une échelle est à 8 m d'un mur, et son sommet est à 15 m du sol.
  1. Pourquoi le triangle est-il rectangle ?
  2. Calculer la longueur de l'échelle.
  3. Vérifier le résultat.
Corrigé détaillé
  1. Le mur est perpendiculaire au sol.
  2. Par Pythagore, L=82+152=289=17 mL=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=\boxed{17\text{ m}}.
  3. 172=289=64+225=82+15217^2=289=64+225=8^2+15^2.

Exercice 8 — Vérifier la réciproque de Pythagore

Un triangle possède pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm.
  1. Quel côté est le plus long ?
  2. Comparer son carré avec la somme des carrés des deux autres.
  3. Conclure.
Corrigé détaillé
  1. Le plus long côté mesure 10 cm.
  2. 102=10010^2=100 et 62+82=36+64=1006^2+8^2=36+64=100.
  3. Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle ; son hypoténuse mesure 10 cm.

Exercice 9 — Diagonale d'un carré de tissu

Un carré de tissu mesure 60 cm de côté.
  1. Écrire l'égalité de Pythagore pour une diagonale d.
  2. Exprimer d exactement.
  3. Arrondir d au dixième.
Corrigé détaillé
  1. d2=602+602=7200d^2=60^2+60^2=7200.
  2. d=7200=602 cmd=\sqrt{7200}=\boxed{60\sqrt2\text{ cm}}.
  3. d≈84,9 cmd\approx\boxed{84{,}9\text{ cm}}.

Exercice 10 — Hauteur d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a un côté de 4 cm. H est le pied de la hauteur issue du sommet A.
  1. Justifier que H est le milieu du côté opposé BC.
  2. Calculer la hauteur AH exactement.
  3. Donner AH au centième.
Corrigé détaillé
  1. Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi médiane : BH=2BH=2 cm.
  2. AH2=42−22=12AH^2=4^2-2^2=12, donc AH=23 cmAH=\boxed{2\sqrt3\text{ cm}}.
  3. AH≈3,46 cmAH\approx\boxed{3{,}46\text{ cm}}.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths 3ème / Brevet