Seconde

Repérage et coordonnées — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser repérage et coordonnées avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • AB→=(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).
  • Coordonnées du milieu : moyennes des coordonnées.
  • Distance en repère orthonormé : formule de Pythagore.
  • La symétrie axiale conserve les distances.
  • En repère, une symétrie d'axe vertical change le signe de xx.

Exercice 1 — Parallélogramme et milieu

Soient A(−2;3)A(-2;3), B(4;5)B(4;5), C(6;1)C(6;1) et D(0;−1)D(0;-1).
  1. Calculer AB⃗\vec{AB} et DC⃗\vec{DC}.
  2. En déduire la nature de ABCD.
  3. Trouver le milieu K de [AC] et vérifier qu'il est milieu de [BD].
Corrigé détaillé
AB⃗=(4−(−2);5−3)=(6;2)\vec{AB}=(4-(-2);5-3)=\boxed{(6;2)} et DC⃗=(6−0;1−(−1))=(6;2)\vec{DC}=(6-0;1-(-1))=\boxed{(6;2)}. Les vecteurs opposés correspondants étant égaux, ABCD est un parallélogramme. Milieu de [AC] : K=(−2+62;3+12)=(2;2)K=(\frac{-2+6}{2};\frac{3+1}{2})=\boxed{(2;2)}. Milieu de [BD] : (4+02;5−12)=(2;2)(\frac{4+0}{2};\frac{5-1}{2})=\boxed{(2;2)}.

Exercice 2 — Coordonnées du milieu

Soient A(−3;5)A(-3;5) et B(7;−1)B(7;-1).
  1. Calculer les coordonnées du milieu I.
  2. Calculer la longueur AB exacte.
  3. Vérifier AI=AB/2AI=AB/2.
Corrigé détaillé
I=(−3+72;5−12)=(2;2)I=(\frac{-3+7}{2};\frac{5-1}{2})=\boxed{(2;2)}. AB=102+(−6)2=234AB=\sqrt{10^2+(-6)^2}=\boxed{2\sqrt{34}}. AI=52+(−3)2=34=AB/2AI=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\boxed{\sqrt{34}}=AB/2.

Exercice 3 — Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, A(−2;3)A(-2;3) et B(4;−1)B(4;-1).
  1. Donner le vecteur AB.
  2. Calculer la distance exacte AB.
  3. Donner un arrondi au centième.
Corrigé détaillé
AB⃗=(6;−4)\vec{AB}=(6;-4). AB=62+(−4)2=52=213AB=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=\boxed{2\sqrt{13}}. Au centième, 7,21\boxed{7{,}21}.

Exercice 4 — Le cercle dans un repère

Le cercle a pour centre Ω(1;−2)\Omega(1;-2) et rayon 55.
  1. Calculer ΩP\Omega P pour P(4;2)P(4;2).
  2. Le point P appartient-il au cercle ?
  3. Le point Q(1;4) appartient-il au cercle ?
Corrigé détaillé
ΩP=(4−1)2+(2+2)2=9+16=5\Omega P=\sqrt{(4-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{9+16}=\boxed5 : P appartient au cercle. ΩQ=02+62=6\Omega Q=\sqrt{0^2+6^2}=\boxed6 : Q n'est pas sur le cercle.

Exercice 5 — Centre de gravité

Dans le triangle A(0;1)A(0;1), B(4;3)B(4;3), C(2;5)C(2;5), donner les coordonnées du centre de gravité GG, moyenne des trois coordonnées. Vérifier que GG est situé sur la médiane issue de A.
Corrigé détaillé
xG=(0+4+2)/3=2x_G=(0+4+2)/3=\boxed2 ; yG=(1+3+5)/3=3y_G=(1+3+5)/3=\boxed3. Milieu M de BC : (3;4)(3;4). Alors AG⃗=(2;2)\vec{AG}=(2;2) et AM⃗=(3;3)\vec{AM}=(3;3) sont colinéaires : G est bien sur la médiane issue de A.

Exercice 6 — Coordonnées à partir d'une figure

Sur le repère orthonormé, les points sont A(−3;2)A(-3;2), B(2;4)B(2;4) et C(4;−1)C(4;-1).
  1. Lire leurs abscisses et ordonnées.
  2. Calculer les coordonnées du milieu de [AB].
  3. Déterminer les coordonnées de AC⃗\vec{AC}.
Coordonnées à partir d'une figure
Corrigé détaillé
A a pour abscisse −3 et ordonnée 2 ; B(2;4) et C(4;−1). Milieu de AB : (−3+22;2+42)=(−1/2;3)(\frac{-3+2}{2};\frac{2+4}{2})=\boxed{(-1/2;3)}. AC⃗=(4+3;−1−2)=(7;−3)\vec{AC}=(4+3;-1-2)=\boxed{(7;-3)}.

Exercice 7 — Point symétrique d'un autre

Soit A(3;−5)A(3;-5).
  1. Déterminer son symétrique B par rapport à l'origine.
  2. Son symétrique C par rapport à l'axe des abscisses.
  3. Son symétrique D par rapport à l'axe des ordonnées.
Corrigé détaillé
Symétrie centrale de centre O : B(−3;5)\boxed{B(-3;5)}. Réflexion dans l'axe des abscisses : on inverse seulement l'ordonnée, C(3;5)\boxed{C(3;5)}. Réflexion dans l'axe des ordonnées : on inverse seulement l'abscisse, D(−3;−5)\boxed{D(-3;-5)}.

Exercice 8 — Retrouver une extrémité par le milieu

Le point I(2;−1)(2;-1) est le milieu de [AB] et on connaît A(−4;5)A(-4;5). Trouver les coordonnées de B.
Corrigé détaillé
xI=(xA+xB)/2x_I=(x_A+x_B)/2 donne 2=(−4+xB)/22=(-4+x_B)/2, donc xB=8x_B=8. yI=(5+yB)/2=−1y_I=(5+y_B)/2=-1 donne yB=−7y_B=-7. Ainsi B(8;−7)\boxed{B(8;-7)}.

Exercice 9 — Quadrilatère dans un repère

Soient A(−1;1)A(-1;1), B(3;2)B(3;2), C(4;−2)C(4;-2), D(0;−3)D(0;-3).
  1. Calculer les milieux des diagonales.
  2. Calculer les longueurs AB et BC.
  3. Classer ABCD.
Corrigé détaillé
Milieu de AC : (−1+42;1−22)=(3/2;−1/2)(\frac{-1+4}{2};\frac{1-2}{2})=(3/2;-1/2) ; de BD : (3+02;2−32)=(3/2;−1/2)(\frac{3+0}{2};\frac{2-3}{2})=(3/2;-1/2). Parallélogramme. AB=42+12=17AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}, BC=12+(−4)2=17BC=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17} ; AB⃗⋅BC⃗=4−4=0\vec{AB}\cdot\vec{BC}=4-4=0, donc c'est un carré.

Exercice 10 — Distance et nature d'un triangle

Soient C(1;2)C(1;2), D(4;6)D(4;6) et E(−3;5)E(-3;5).
  1. Calculer CD2CD^2, CE2CE^2 et DE2DE^2.
  2. En déduire la nature de CDE.
Corrigé détaillé
CD2=(3)2+(4)2=25CD^2=(3)^2+(4)^2=\boxed{25}. CE2=(−4)2+(3)2=25CE^2=(-4)^2+(3)^2=\boxed{25}. DE2=(−7)2+(−1)2=50DE^2=(-7)^2+(-1)^2=\boxed{50}. Donc CD=CECD=CE et CD2+CE2=DE2CD^2+CE^2=DE^2 : triangle rectangle isoceˋle en C\boxed{\text{triangle rectangle isocèle en C}}.

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