3ème / Brevet

Entraînement type Brevet : problèmes transversaux — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser entraînement type brevet : problèmes transversaux avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
Identifier l'hypoténuse avant le calcul.
La longueur obtenue est la racine carrée positive.
Le coefficient de proportionnalité est constant.
On peut passer par l'unité.

Exercice 1 — Brevet : la tyrolienne et la piscine

Lya utilise une tyrolienne dont le câble relie le point A, situé à 5,50 m du sol au-dessus de B, au point C au sol. De B à C, on mesure 12,20 m jusqu'à la piscine, 6 m de piscine, puis 1,80 m jusqu'à C. À l'arrivée E au-dessus de la piscine, Lya est suspendue verticalement sur 1,50 m. Le triangle ABC est rectangle en B.

Vérifier que $BC=20$ m.
L'angle du câble avec le sol doit être inférieur à 30°. Est-ce le cas ?
Calculer la longueur du câble AC, arrondie au mètre.
Déterminer la distance horizontale DC du peuplier à laquelle ses pieds touchent l'eau.
Calculer le volume de la piscine, longue de 6 m, large de 6 m et profonde de 1,60 m.

Schéma de la tyrolienne au-dessus de la piscine avec points A B C D E — Problème transversal de brevet : trigonométrie, Pythagore, Thalès et volumes.

Corrigé détaillé

$BC=12{,}20+6+1{,}80=\boxed{20\text{ m}}$ .
$\tan(\widehat{ACB})=AB/BC=5{,}5/20=0{,}275$ , d'où $\widehat{ACB}\approx15{,}38^\circ<30^\circ$ . Oui, l'installation respecte cette condition.
Pythagore : $AC=\sqrt{20^2+5{,}5^2}=\sqrt{430{,}25}\approx20{,}74$ m, soit $\boxed{21\text{ m}}$ à l'unité.
Les triangles EDC et ABC sont semblables (leurs côtés verticaux sont parallèles) ; $\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{DE}{AB}$ . Donc $DC=20\times1{,}50/5{,}50\approx\boxed{5{,}45\text{ m}}$ . Ce point se situe bien au-dessus de la piscine.
$V=6\times6\times1{,}60=\boxed{57{,}6\text{ m}^3}$ .

Exercice 2 — Brevet : deux araignées et un poteau

Un poteau vertical BC mesure 5,2 m, son pied B étant à 3,9 m de A. Un câble joint A au sommet C. La première araignée descend directement le câble à 0,2 m/s. La seconde suit le câble de C à F, avec

AF=4

m, descend verticalement de F à H, puis rejoint A au sol à 0,2 m/s sur CF et HA et 0,8 m/s sur FH.

Calculer AC.
Calculer l'angle ACB au degré près.
Vérifier que le temps de la première araignée est 32,5 s.
Calculer FH et HA.
Quelle araignée arrive la première ?

Poteau électrique et câble, point F sur AC et projection verticale H — Pythagore, cosinus, Thalès et problèmes de vitesse.

Corrigé détaillé

$AC=\sqrt{3{,}9^2+5{,}2^2}=\sqrt{42{,}25}=\boxed{6{,}5\text{ m}}$ .
$\cos(\widehat{ACB})=BC/AC=5{,}2/6{,}5=0{,}8$ . Donc $\widehat{ACB}\approx\boxed{37^\circ}$ .
$t_1=6{,}5/0{,}2=\boxed{32{,}5\text{ s}}$ .
Les triangles AFH et ACB sont semblables, car FH est parallèle à BC. Le rapport est $AF/AC=4/6{,}5$ . Ainsi $FH=5{,}2\times4/6{,}5=\boxed{3{,}2\text{ m}}$ et $HA=3{,}9\times4/6{,}5=\boxed{2{,}4\text{ m}}$ .
$CF=6{,}5-4=2{,}5$ m, donc $t_2=2{,}5/0{,}2+3{,}2/0{,}8+2{,}4/0{,}2=12{,}5+4+12=\boxed{28{,}5\text{ s}}$ . La seconde araignée arrive 4 secondes avant la première.

Exercice 3 — Brevet : briques de jus

Partie A — Contrôle qualité. Une entreprise prélève 24 briques de jus de pomme. Les volumes observés (en mL) et leurs effectifs sont :

Volume	344	347	348	349	350	351	352	353	354	356	357
Effectif	1	2	4	4	2	3	1	2	3	1	1

Déterminer la médiane et l'étendue.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 350 mL.
Quel pourcentage est compris entre 345 et 355 mL inclus ?

Partie B — Géométrie. Une nouvelle brique de jus est un pavé droit de base 6,4 cm sur 5 cm.

Calculer l'aire de sa base.
Calculer sa hauteur pour un volume de 400 cm³.

Corrigé détaillé

Les 12e et 13e données valent 350 ; médiane $\boxed{350\text{ mL}}$ . Étendue $357-344=\boxed{13\text{ mL}}$ .
Deux briques sur 24 : $P=2/24=\boxed{1/12}$ .
Trois briques sont hors de l'intervalle (une de 344, une de 356, une de 357) : $21/24\times100=\boxed{87{,}5\%}$ .
$\mathcal A=6{,}4\times5=\boxed{32\text{ cm}^2}$ .
$V=\mathcal A\times h$ , donc $h=400/32=\boxed{12{,}5\text{ cm}}$ .

Exercice 4 — Brevet : programme à deux branches

On choisit un nombre

x

. La première branche ajoute 5 puis multiplie par 5. La seconde branche multiplie

x

par 2 puis soustrait 3. À l'arrivée, les deux résultats sont multipliés.

Vérifier que pour $x=5$ , le résultat est 350.
Calculer le résultat pour $x=-4$ .
Donner l'expression littérale finale sous forme factorisée.
Déterminer les nombres de départ qui donnent 0.
Développer et réduire le résultat.

Corrigé détaillé

Première branche : $(5+5)\times5=50$ ; seconde : $2\times5-3=7$ , donc $50\times7=\boxed{350}$ .
Pour $x=-4$ , première branche $5(1)=5$ ; seconde $-8-3=-11$ . Produit $\boxed{-55}$ .
$R=5(x+5)(2x-3)$ .
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x+5=0$ ou $2x-3=0$ , d'où $\boxed{x=-5\text{ ou }x=3/2}$ .
$(x+5)(2x-3)=2x^2+7x-15$ , donc $R=\boxed{10x^2+35x-75}$ .

Exercice 5 — Brevet : transformations d'un hexagone

On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O.

Par symétrie centrale de centre O, quelle est l'image du quadrilatère CDEO ?
Quelle est l'image de [AO] par la symétrie axiale d'axe (CF) ?
La rotation de centre O envoie le triangle OAB sur OCD. Quelle est l'image de BOC ?
Une translation envoie le point O sur C : de quel vecteur s'agit-il ?

Hexagone ABCDEF et centre O avec rayons — Transformations géométriques : symétries, rotations et translations.

Corrigé détaillé

C→F, D→A, E→B et O reste O. L'image est $\boxed{FABO}$ .
Par symétrie autour de l'axe (CF), A→E et O→O, donc [AO] devient $\boxed{[EO]}$ .
La rotation transforme B→D, O→O, C→E : le triangle devient $\boxed{DOE}$ .
La translation est celle de vecteur $\boxed{\overrightarrow{OC}}$ .

Exercice 6 — Brevet : loterie et probabilités

Une roue comporte six secteurs de même taille : petite voiture, sucette, ballon, bonbons, poupée, chocolat. Les lancers sont indépendants.

Probabilité d'obtenir un ballon ?
Probabilité de gagner une sucrerie ?
Probabilité d'obtenir chocolat puis voiture ?
Quelle est la probabilité de ne pas gagner de jouet au premier lancer ?

Roue équilibrée à six lots, dont trois jouets et trois sucreries — Les six issues sont équiprobables.

Corrigé détaillé

Un secteur favorable sur six : $\boxed{1/6}$ .
Sucette, bonbons, chocolat : $3/6=\boxed{1/2}$ .
$(1/6)\times(1/6)=\boxed{1/36}$ .
« Pas de jouet » signifie une des trois sucreries ; probabilité $\boxed{1/2}$ .

Exercice 7 — Brevet : puissances, étoiles et sable

On estime qu'il existe 300 milliards de galaxies, chacune comportant environ 200 milliards d'étoiles. Le sable terrestre représenterait environ 10 km³, avec 200 000 millions de grains par m³. On admet

1\text{ km}^3=10^9\text{ m}^3

Donner le nombre approximatif d'étoiles en écriture scientifique.
Calculer le nombre approximatif de grains de sable.
Déterminer le quotient « étoiles / grains de sable ».
Interpréter ce quotient.

Corrigé détaillé

$300\text{ milliards}=3\times10^{11}$ et $200\text{ milliards}=2\times10^{11}$ ; étoiles : $(3\times10^{11})(2\times10^{11})=\boxed{6\times10^{22}}$ .
$10\text{ km}^3=10^{10}\text{ m}^3$ . Il y a $2\times10^{11}$ grains par m³. Total : $\boxed{2\times10^{21}}$ grains.
$\dfrac{6\times10^{22}}{2\times10^{21}}=3\times10^1=\boxed{30}$ .
Selon ces estimations, il y aurait environ trente fois plus d'étoiles que de grains de sable.

Exercice 8 — Brevet : Scratch et équations

Un élève choisit un nombre

x

. Le programme A calcule

3(x+1)-3

. Le programme B calcule

(x+3)(x-5)

. Le programme C multiplie le nombre par 7, ajoute 3, puis soustrait le nombre initial.

Pour $x=2$ , calculer A, B et C.
Déterminer quel programme calcule le triple de $x$ .
Résoudre l'équation $B(x)=0$ .
Déterminer pour quel $x$ les programmes A et C affichent le même résultat.

Trois programmes Scratch avec opérations A B C — Programme de calcul et résolution d'équations.

Corrigé détaillé

$A(2)=3(3)-3=\boxed6$ , $B(2)=5\times(-3)=\boxed{-15}$ , $C(2)=7\times2+3-2=\boxed{15}$ .
$A(x)=3x+3-3=\boxed{3x}$ .
$(x+3)(x-5)=0$ , donc $\boxed{x=-3\text{ ou }x=5}$ .
$3x=6x+3$ , donc $x=\boxed{-1}$ .

Exercice 9 — Brevet : fonctions et aire maximale

On admet que l'aire

A(x)

d'un rectangle dépend de la longueur

x

selon

A(x)=\dfrac34x(14-x)

, avec

0\le x\le14

Calculer $A(4)$ et $A(10)$ .
Vérifier que $A(x)=36{,}75-0{,}75(x-7)^2$ .
En déduire l'aire maximale et la valeur de $x$ correspondante.
Expliquer pourquoi $A(4)=A(10)$ .

Corrigé détaillé

$A(4)=\frac34\times4\times10=\boxed{30\text{ cm}^2}$ , et $A(10)=\frac34\times10\times4=\boxed{30\text{ cm}^2}$ .
$36{,}75-0{,}75(x-7)^2=36{,}75-0{,}75(x^2-14x+49)=10{,}5x-0{,}75x^2=\frac34x(14-x)$ .
Un carré est toujours positif ou nul ; $A(x)$ est donc maximal pour $(x-7)^2=0$ , soit $\boxed{x=7}$ et $\boxed{A_{\max}=36{,}75\text{ cm}^2}$ .
Le produit $x(14-x)$ est inchangé en échangeant les facteurs $4$ et $10$ .

Exercice 10 — Brevet : Thalès puis Pythagore

Dans un triangle ABC,

AB=10

cm,

AC=8

cm et

BC=6

cm. M est sur [AB] avec

AM=5

cm et N est sur [AC] avec

(MN)\parallel(BC)

Montrer que ABC est rectangle en C.
Calculer AN.
Calculer MN.
En déduire le périmètre du triangle AMN.

Triangles emboîtés ABC et AMN avec un segment parallèle — Réciproque de Pythagore et théorème de Thalès.

Corrigé détaillé

$8^2+6^2=64+36=100=10^2$ ; par la réciproque de Pythagore, ABC est rectangle en C.
Le rapport de réduction est $AM/AB=1/2$ , donc $AN=AC/2=\boxed{4\text{ cm}}$ .
$MN=BC/2=\boxed{3\text{ cm}}$ .
$P=AM+AN+MN=5+4+3=\boxed{12\text{ cm}}$ .

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