3ème / Brevet

Théorème de Thalès et configurations — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser théorème de thalès et configurations avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Le théorème de Thalès exige un parallélisme.
  • Écrire correctement les rapports correspondants.
  • Utiliser les produits en croix.
  • Un agrandissement de rapport kk multiplie les longueurs par kk.
  • Les aires sont multipliées par k2k^2.

Exercice 1 — Deux triangles en configuration de Thalès

Sur la figure, les points A, M, B sont alignés, A, N, C également, et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On donne AB=5AB=5 cm, AM=3AM=3 cm, AC=7,5AC=7{,}5 cm et BC=6BC=6 cm.
  1. Écrire les rapports de Thalès.
  2. Déterminer AN.
  3. Déterminer MN.
Triangles ABC et AMN avec MN parallèle à BC
Configuration de Thalès avec un triangle à l'intérieur d'un triangle.
Corrigé détaillé
  1. Les hypothèses de Thalès sont vérifiées : AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}.
  2. 35=AN7,5\dfrac35=\dfrac{AN}{7{,}5}, d'où AN=7,5×3/5=4,5 cmAN=7{,}5\times3/5=\boxed{4{,}5\text{ cm}}.
  3. 35=MN6\dfrac35=\dfrac{MN}{6}, d'où MN=6×3/5=3,6 cmMN=6\times3/5=\boxed{3{,}6\text{ cm}}.

Exercice 2 — Réciproque de Thalès

Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C.
  1. Pour AM=4AM=4, AB=10AB=10, AN=6AN=6 et AC=15AC=15, démontrer que (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
  2. Que peut-on dire si AM=3AM=3, AB=8AB=8, AN=4AN=4, AC=10AC=10 ?
  3. Préciser les deux propriétés utilisées.
Corrigé détaillé
  1. AMAB=410=0,4\dfrac{AM}{AB}=\dfrac4{10}=0{,}4 et ANAC=615=0,4\dfrac{AN}{AC}=\dfrac6{15}=0{,}4. Les points sont alignés dans le même ordre ; d'après la réciproque de Thalès, les droites sont parallèles.
  2. 38=0,375≠0,4=410\dfrac38=0{,}375\neq0{,}4=\dfrac4{10} : d'après la contraposée, elles ne sont pas parallèles.
  3. On emploie la réciproque lorsque les rapports sont égaux, et la contraposée lorsque les rapports diffèrent.

Exercice 3 — Triangle agrandi

Deux triangles semblables ont des côtés correspondants. Le petit possède des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le grand possède un côté de 12 cm correspondant au côté de 4 cm.
  1. Calculer le coefficient d'agrandissement.
  2. Déterminer les autres côtés du grand triangle.
  3. Comparer les périmètres des deux triangles.
Corrigé détaillé
  1. Le rapport est k=12/4=3k=12/4=3.
  2. Les côtés correspondants mesurent 3×3=93\times3=9 cm et 5×3=155\times3=15 cm.
  3. Petit périmètre : 1212 cm ; grand : 9+12+15=369+12+15=36 cm, soit trois fois plus.

Exercice 4 — Ombre d'un arbre

Un bâton vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m. Au même instant, un arbre projette une ombre de 12 m. On suppose les rayons du soleil parallèles.
  1. Justifier l'utilisation de Thalès.
  2. Calculer la hauteur de l'arbre.
  3. Que deviendrait l'ombre de l'arbre s'il mesurait 12 m au même instant ?
Corrigé détaillé
  1. Le bâton et l'arbre sont verticaux, et les rayons solaires parallèles : les triangles sont semblables.
  2. h1,5=122=6\dfrac h{1{,}5}=\dfrac{12}{2}=6. Donc h=9 mh=\boxed{9\text{ m}}.
  3. Pour un arbre de 12 m : L2=121,5=8\dfrac L2=\dfrac{12}{1{,}5}=8, donc L=16L=16 m.

Exercice 5 — Thalès et Pythagore réunis

Dans un triangle ABC, les points M et N sont respectivement sur [AB] et [AC], et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). AB=10AB=10 cm, AC=8AC=8 cm, BC=6BC=6 cm et AM=5AM=5 cm.
  1. Montrer que ABC est rectangle.
  2. Calculer AN et MN.
  3. Calculer le périmètre de AMN.
Corrigé détaillé
  1. 82+62=64+36=100=1028^2+6^2=64+36=100=10^2 : le triangle ABC est rectangle en C.
  2. Le rapport de réduction est AM/AB=5/10=1/2AM/AB=5/10=1/2. Donc AN=8/2=4AN=8/2=4 cm, MN=6/2=3MN=6/2=3 cm.
  3. P=AM+AN+MN=5+4+3=12 cmP=AM+AN+MN=5+4+3=\boxed{12\text{ cm}}.

Exercice 6 — Un pont de deux berges

Sur un plan, deux segments [AB] et [CD] sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) se croisent en O. On donne OA=6OA=6 m, OC=9OC=9 m, OB=4OB=4 m et AB=8AB=8 m.
  1. Écrire l'égalité de Thalès.
  2. Calculer OD.
  3. Calculer CD.
Corrigé détaillé
  1. OAOC=OBOD=ABCD\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}.
  2. 6/9=4/OD6/9=4/OD, donc OD=4×9/6=6 mOD=4\times9/6=\boxed{6\text{ m}}.
  3. 6/9=8/CD6/9=8/CD, donc CD=8×9/6=12 mCD=8\times9/6=\boxed{12\text{ m}}.

Exercice 7 — Rapport de réduction

Dans le triangle ABC, on place M sur [AB] et N sur [AC] avec (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On donne AB=12AB=12 cm, AM=4AM=4 cm, AC=15AC=15 cm, BC=18BC=18 cm.
  1. Calculer le rapport de réduction.
  2. Calculer AN.
  3. Calculer MN.
Corrigé détaillé
  1. k=AM/AB=4/12=1/3k=AM/AB=4/12=\boxed{1/3}.
  2. AN=k×AC=5 cmAN=k\times AC=\boxed{5\text{ cm}}.
  3. MN=k×BC=6 cmMN=k\times BC=\boxed{6\text{ cm}}.

Exercice 8 — Décider si deux droites sont parallèles

Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre. On donne AM=3AM=3 cm, MB=5MB=5 cm, AN=4,5AN=4{,}5 cm et NC=7,5NC=7{,}5 cm.
  1. Calculer AB et AC.
  2. Comparer AM/ABAM/AB et AN/ACAN/AC.
  3. Conclure quant au parallélisme de (MN) et (BC).
Corrigé détaillé
  1. AB=3+5=8AB=3+5=8 cm ; AC=4,5+7,5=12AC=4{,}5+7{,}5=12 cm.
  2. AM/AB=3/8=0,375AM/AB=3/8=0{,}375 et AN/AC=4,5/12=0,375AN/AC=4{,}5/12=0{,}375.
  3. Les points sont dans le même ordre et les rapports égaux ; d'après la réciproque de Thalès, (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).

Exercice 9 — Le triangle et sa parallèle

Dans ABC, M est sur [AB], N sur [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On connaît AM=6AM=6 cm, MB=3MB=3 cm, AN=8AN=8 cm et BC=12BC=12 cm.
  1. Calculer AB.
  2. Déterminer AC.
  3. Déterminer MN.
Corrigé détaillé
  1. AB=6+3=9 cmAB=6+3=\boxed{9\text{ cm}}.
  2. AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, donc 6/9=8/AC6/9=8/AC ; AC=8×9/6=12 cmAC=8\times9/6=\boxed{12\text{ cm}}.
  3. MN/BC=6/9=2/3MN/BC=6/9=2/3 donc MN=12×2/3=8 cmMN=12\times2/3=\boxed{8\text{ cm}}.

Exercice 10 — Comparer des segments proportionnels

Les triangles ABC et AMN sont en configuration de Thalès et (MN) // (BC). On sait AB=15AB=15 cm, AM=9AM=9 cm, BC=10BC=10 cm.
  1. Calculer le rapport de réduction.
  2. Calculer MN.
  3. Si AC=12AC=12 cm, calculer AN.
Corrigé détaillé
  1. k=9/15=3/5k=9/15=\boxed{3/5}.
  2. MN=k×10=6 cmMN=k\times10=\boxed{6\text{ cm}}.
  3. AN=k×12=7,2 cmAN=k\times12=\boxed{7{,}2\text{ cm}}.

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