3ème / Brevet

Trigonométrie dans le triangle rectangle — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser trigonométrie dans le triangle rectangle avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Sinus = opposé/hypoténuse.
  • Cosinus = adjacent/hypoténuse.
  • Tangente = opposé/adjacent.
  • Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
  • Identifier l'hypoténuse avant le calcul.

Exercice 1 — Calculer un angle dans un triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en B, AB=3,9AB=3{,}9 m, BC=5,2BC=5{,}2 m et AC=6,5AC=6{,}5 m.
  1. Calculer cos⁡(ACB^)\cos(\widehat{ACB}).
  2. Donner ACB^\widehat{ACB} au degré près.
  3. Donner le deuxième angle aigu.
Triangle ABC rectangle en B formé par le câble et le poteau
On peut employer le cosinus pour déterminer l'angle au sommet C.
Corrigé détaillé
  1. Au sommet C, le côté adjacent est BC et l'hypoténuse est AC : cos⁡(ACB^)=5,2/6,5=0,8\cos(\widehat{ACB})=5{,}2/6{,}5=0{,}8.
  2. ACB^=arccos⁡(0,8)≈37∘\widehat{ACB}=\arccos(0{,}8)\approx\boxed{37^\circ}.
  3. Comme l'autre angle aigu complète à 90°, BAC^≈53∘\widehat{BAC}\approx\boxed{53^\circ}.

Exercice 2 — Longueur inconnue par le cosinus

Dans le triangle LOS rectangle en O, LS=5,5LS=5{,}5 cm et LSO^=27∘\widehat{LSO}=27^\circ.
  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire la formule du cosinus de l'angle en S.
  3. Calculer OS, arrondi au dixième.
Triangle LOS rectangle en O avec LS 5,5 cm et angle en S 27 degrés
Trouver OS à l'aide du cosinus.
Corrigé détaillé
  1. L'hypoténuse est LS, opposée à l'angle droit.
  2. cos⁡(27∘)=OS/5,5\cos(27^\circ)=OS/5{,}5.
  3. OS=5,5cos⁡(27∘)≈4,9005OS=5{,}5\cos(27^\circ)\approx4{,}9005, donc 4,9 cm\boxed{4{,}9\text{ cm}}.

Exercice 3 — Utiliser la tangente

Une échelle s'appuie contre un mur vertical. Son pied est à 3 m du mur, et son sommet touche le mur à 4 m du sol.
  1. Calculer la longueur de l'échelle.
  2. Calculer la tangente de l'angle entre l'échelle et le sol.
  3. Donner cet angle au degré près.
Corrigé détaillé
  1. Par Pythagore : 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=5 m.
  2. tan⁡(α)=4/3\tan(\alpha)=4/3.
  3. α=arctan⁡(4/3)≈53∘\alpha=\arctan(4/3)\approx\boxed{53^\circ}.

Exercice 4 — Tyrolienne : pente autorisée

Un câble descend de 5,50 m sur une distance horizontale de 20 m. La réglementation exige un angle strictement inférieur à 30∘30^\circ avec l'horizontale.
  1. Donner le rapport trigonométrique qui convient.
  2. Calculer l'angle avec l'horizontale.
  3. Dire si la réglementation est respectée.
Schéma d'une tyrolienne au-dessus d'une piscine avec hauteur 5,50 mètres et distance horizontale 20 mètres
Le câble relie A à C, et le triangle ABC est rectangle en B.
Corrigé détaillé
  1. La tangente relie côté opposé et côté adjacent : tan⁡(α)=5,5/20=0,275\tan(\alpha)=5{,}5/20=0{,}275.
  2. α=arctan⁡(0,275)≈15,38∘\alpha=\arctan(0{,}275)\approx\boxed{15{,}38^\circ}.
  3. Oui : 15,38∘<30∘15{,}38^\circ<30^\circ.

Exercice 5 — Angle et côté opposé

Un triangle RST est rectangle en R. On donne RS=7RS=7 cm et l'angle RST^=56∘\widehat{RST}=56^\circ.
  1. Calculer la longueur RT au dixième.
  2. Exprimer ST à l'aide du cosinus.
  3. Calculer ST au dixième.
Corrigé détaillé
  1. tan⁡(56∘)=RT/RS\tan(56^\circ)=RT/RS, donc RT=7tan⁡(56∘)≈10,4 cmRT=7\tan(56^\circ)\approx\boxed{10{,}4\text{ cm}}.
  2. cos⁡(56∘)=RS/ST\cos(56^\circ)=RS/ST, donc ST=RS/cos⁡(56∘)ST=RS/\cos(56^\circ).
  3. ST=7/cos⁡(56∘)≈12,5 cmST=7/\cos(56^\circ)\approx\boxed{12{,}5\text{ cm}}.

Exercice 6 — Câble de sécurité

Une rampe monte de 1,2 m sur 4,5 m horizontalement.
  1. Déterminer son inclinaison au degré près.
  2. Calculer sa longueur.
  3. Le câble de 5 m suffit-il pour suivre toute la rampe ?
Corrigé détaillé
  1. tan⁡α=1,2/4,5\tan\alpha=1{,}2/4{,}5, donc α≈15∘\alpha\approx\boxed{15^\circ}.
  2. Par Pythagore, L=4,52+1,22=21,69≈4,66L=\sqrt{4{,}5^2+1{,}2^2}=\sqrt{21{,}69}\approx4{,}66 m.
  3. Oui, 5>4,665>4{,}66 : il reste environ 0,340{,}34 m.

Exercice 7 — Tangente d'un angle de 57°

IRM est un triangle rectangle en I. On donne IR=2,3IR=2{,}3 cm et IRM^=57∘\widehat{IRM}=57^\circ.
  1. Identifier le côté opposé à l'angle R.
  2. Écrire la tangente de cet angle.
  3. Déterminer IM au centième.
Corrigé détaillé
  1. Le côté opposé à l'angle R est [IM].
  2. tan⁡(57∘)=IM/IR=IM/2,3\tan(57^\circ)=IM/IR=IM/2{,}3.
  3. IM=2,3tan⁡(57∘)≈3,54 cmIM=2{,}3\tan(57^\circ)\approx\boxed{3{,}54\text{ cm}}.

Exercice 8 — Calcul d'un angle avec la tangente

EPR est rectangle en P. On donne PE=8,9PE=8{,}9 cm et PR=11,5PR=11{,}5 cm.
  1. Donner le côté opposé à l'angle PRE.
  2. Écrire tan⁡(PRE^)\tan(\widehat{PRE}).
  3. Calculer cet angle au degré près.
Corrigé détaillé
  1. Le côté opposé à l'angle au point R est [PE].
  2. tan⁡(PRE^)=PE/PR=8,9/11,5\tan(\widehat{PRE})=PE/PR=8{,}9/11{,}5.
  3. PRE^=arctan⁡(8,9/11,5)≈38∘\widehat{PRE}=\arctan(8{,}9/11{,}5)\approx\boxed{38^\circ}.

Exercice 9 — Cosinus et côté adjacent

DYC est un triangle rectangle en Y. On donne CD=4CD=4 cm et YCD^=23∘\widehat{YCD}=23^\circ.
  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire la relation du cosinus de l'angle en C.
  3. Calculer YC au centième.
Corrigé détaillé
  1. L'hypoténuse est CD = 4 cm.
  2. cos⁡(23∘)=YC/CD\cos(23^\circ)=YC/CD.
  3. YC=4cos⁡(23∘)≈3,68 cmYC=4\cos(23^\circ)\approx\boxed{3{,}68\text{ cm}}.

Exercice 10 — Sinus, cosinus et tangente

ABC est rectangle en A, AB=3AB=3 cm, AC=4AC=4 cm et BC=5BC=5 cm.
  1. Donner sin⁡(ABC^)\sin(\widehat{ABC}).
  2. Donner cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ABC}).
  3. Donner tan⁡(ABC^)\tan(\widehat{ABC}).
  4. Calculer l'angle au sommet B, au degré près.
Corrigé détaillé
  1. Côté opposé à l'angle B : AC=4 ; donc sin⁡(ABC^)=4/5\sin(\widehat{ABC})=\boxed{4/5}.
  2. Côté adjacent : AB=3 ; cos⁡(ABC^)=3/5\cos(\widehat{ABC})=\boxed{3/5}.
  3. tan⁡(ABC^)=4/3\tan(\widehat{ABC})=\boxed{4/3}.
  4. ABC^≈53∘\widehat{ABC}\approx\boxed{53^\circ}.

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