Seconde

Vecteurs et colinéarité — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser vecteurs et colinéarité avec 10 exercices de types variés. Chaque exercice contient plusieurs questions et un corrigé détaillé, aéré et vérifiable. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
  • Le déterminant de (a,b)(a,b) et (c,d)(c,d) vaut ad−bcad-bc.
  • Des vecteurs colinéaires ont la même direction.
  • AB→=(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).
  • Coordonnées du milieu : moyennes des coordonnées.

Exercice 1 — Coordonnées de vecteurs

Avec A(−2;3)A(-2;3), B(4;5)B(4;5), C(6;1)C(6;1) et D(0;−1)D(0;-1), calculer AB⃗\vec{AB}, BC⃗\vec{BC}, CD⃗\vec{CD} et DA⃗\vec{DA}. Que peut-on dire des côtés opposés ?
Corrigé détaillé
AB⃗=(6;2)\vec{AB}=(6;2), BC⃗=(2;−4)\vec{BC}=(2;-4), CD⃗=(−6;−2)\vec{CD}=(-6;-2), DA⃗=(−2;4)\vec{DA}=(-2;4). AB⃗=−CD⃗\vec{AB}=-\vec{CD} et BC⃗=−DA⃗\vec{BC}=-\vec{DA} : côtés opposés parallèles et de même longueur, donc ABCD est un parallélogramme.

Exercice 2 — Alignement et déterminant

On considère E(−1;2)E(-1;2), F(3;4)F(3;4) et G(11;8)G(11;8).
  1. Trouver EF⃗\vec{EF} et EG⃗\vec{EG}.
  2. Calculer leur déterminant.
  3. Conclure sur l'alignement.
  4. Trouver H(x;0)H(x;0) tel que (EF)∥(GH)(EF)\parallel(GH).
Corrigé détaillé
EF⃗=(4;2)\vec{EF}=(4;2) et EG⃗=(12;6)\vec{EG}=(12;6) ; det⁡=4×6−2×12=0\det=4\times6-2\times12=\boxed0 : les points sont alignés. GH⃗=(x−11;−8)\vec{GH}=(x-11;-8) ; det⁡(EF⃗,GH⃗)=4(−8)−2(x−11)=−2x−10=0\det(\vec{EF},\vec{GH})=4(-8)-2(x-11)=-2x-10=0 d'où x=−5\boxed{x=-5}.

Exercice 3 — Vecteurs colinéaires et point hors segment

On donne U(2;−3)U(2;-3), V(−1;1)V(-1;1), W(8;−11)W(8;-11).
  1. Calculer UV⃗\vec{UV} et UW⃗\vec{UW}.
  2. Démontrer leur colinéarité.
  3. V appartient-il au segment [UW] ?
Corrigé détaillé
UV⃗=(−3;4)\vec{UV}=(-3;4) et UW⃗=(6;−8)\vec{UW}=(6;-8) ; UV⃗=−12UW⃗\vec{UV}=-\frac12\vec{UW}. Les trois points sont alignés. Mais V n'appartient pas au segment [UW] : le coefficient −12-\frac12 est négatif, V est situé de l'autre côté de U par rapport à W. Ceci corrige la consigne contradictoire de l'image.

Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère

On considère L(−4;1)L(-4;1), M(2;4)M(2;4), N(4;0)N(4;0), P(−2;−3)P(-2;-3).
  1. Vérifier LMNP parallélogramme.
  2. Calculer LM et MN.
  3. Est-il un losange ou un rectangle ?
Corrigé détaillé
LM⃗=(6;3)=PN⃗\vec{LM}=(6;3)=\vec{PN} et MN⃗=(2;−4)=LP⃗\vec{MN}=(2;-4)=\vec{LP} : parallélogramme. LM=45=35LM=\sqrt{45}=3\sqrt5 et MN=20=25MN=\sqrt{20}=2\sqrt5 : côtés inégaux, pas de losange. Produit scalaire 6×2+3×(−4)=06\times2+3\times(-4)=0 : angle droit, donc rectangle non carreˊ\boxed{\text{rectangle non carré}}.

Exercice 5 — Relation de Chasles

Simplifier les expressions vectorielles :
  1. AB⃗+BC⃗\vec{AB}+\vec{BC} ;
  2. AB⃗−CB⃗\vec{AB}-\vec{CB} ;
  3. AB⃗+BC⃗+CA⃗\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA} ;
  4. EF⃗+FE⃗\vec{EF}+\vec{FE}.
Corrigé détaillé
  1. Par Chasles AC⃗\boxed{\vec{AC}}.
  2. −CB⃗=BC⃗-\vec{CB}=\vec{BC}, donc AC⃗\boxed{\vec{AC}}.
  3. AC⃗+CA⃗=0⃗\vec{AC}+\vec{CA}=\boxed{\vec0}.
  4. Deux vecteurs opposés, somme 0⃗\boxed{\vec0}.

Exercice 6 — Construire une somme de vecteurs

Sur la figure du triangle ABC, construire le point M défini par AM⃗=AB⃗+AC⃗\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}.
  1. Donner la construction.
  2. Identifier un parallélogramme.
  3. Trouver les coordonnées de M si A(0;0)(0;0), B(4;0)(4;0) et C(1;3)(1;3).
Construire une somme de vecteurs
Corrigé détaillé
  1. Construire à partir de B un vecteur égal à AC⃗\vec{AC} ; son extrémité est M.
  2. ABMCABMC est un parallélogramme.
  3. AB⃗=(4;0)\vec{AB}=(4;0) et AC⃗=(1;3)\vec{AC}=(1;3), donc AM⃗=(5;3)\vec{AM}=(5;3) ; M(5;3)\boxed{M(5;3)}.

Exercice 7 — Vecteur et droite parallèle

On a AE⃗=12AB⃗+BC⃗\vec{AE}=\frac12\vec{AB}+\vec{BC} et AF⃗=32AC⃗+BA⃗\vec{AF}=\frac32\vec{AC}+\vec{BA}.
  1. Exprimer EF⃗\vec{EF} avec AB⃗\vec{AB} et BC⃗\vec{BC}.
  2. Montrer que (EF)∥(BC)(EF)\parallel(BC).
Corrigé détaillé
EF⃗=AF⃗−AE⃗=32(AB⃗+BC⃗)−AB⃗−12AB⃗−BC⃗=12BC⃗\vec{EF}=\vec{AF}-\vec{AE}=\frac32(\vec{AB}+\vec{BC})-\vec{AB}-\frac12\vec{AB}-\vec{BC}=\boxed{\frac12\vec{BC}}. Les vecteurs sont colinéaires et BC n'est pas nul dans un triangle, donc (EF)∥(BC)\boxed{(EF)\parallel(BC)}.

Exercice 8 — Alignement vectoriel

Dans ABC, BD⃗=13BC⃗\vec{BD}=\frac13\vec{BC} et AE⃗=AC⃗+2AB⃗\vec{AE}=\vec{AC}+2\vec{AB}. Montrer que A, D et E sont alignés.
Corrigé détaillé
AD⃗=AB⃗+BD⃗=AB⃗+13BC⃗\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{AB}+\frac13\vec{BC}. Or BC⃗=AC⃗−AB⃗\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}, donc AD⃗=23AB⃗+13AC⃗\vec{AD}=\frac23\vec{AB}+\frac13\vec{AC}. Ainsi 3AD⃗=2AB⃗+AC⃗=AE⃗3\vec{AD}=2\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AE}, donc les vecteurs AD et AE sont colinéaires : A,D,E aligneˊs\boxed{A,D,E\text{ alignés}}.

Exercice 9 — Déterminant et paramètre

On considère u⃗=(3;2)\vec u=(3;2) et v⃗=(x+4;−3)\vec v=(x+4;-3).
  1. Calculer det⁡(u⃗,v⃗)\det(\vec u,\vec v).
  2. Trouver x pour que les vecteurs soient colinéaires.
  3. Déterminer v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u.
Corrigé détaillé
det⁡(u⃗,v⃗)=3(−3)−2(x+4)=−2x−17\det(\vec u,\vec v)=3(-3)-2(x+4)=-2x-17. Colinéarité si −2x−17=0-2x-17=0, d'où x=−17/2\boxed{x=-17/2}. Alors v⃗=(−9/2;−3)=−32u⃗\vec v=(-9/2;-3)=\boxed{-\frac32\vec u}.

Exercice 10 — Repérer un milieu grâce aux vecteurs

Soient A(1;2)(1;2), B(5;8)(5;8) et C(3;5)(3;5).
  1. Calculer AC⃗\vec{AC} et CB⃗\vec{CB}.
  2. C est-il le milieu de [AB] ?
  3. Vérifier avec la formule du milieu.
Corrigé détaillé
AC⃗=(2;3)\vec{AC}=(2;3) et CB⃗=(2;3)\vec{CB}=(2;3) : ces vecteurs sont égaux, C est donc milieu de [AB]. Par la formule, le milieu de AB vaut ((1+5)/2;(2+8)/2)=(3;5)=C((1+5)/2;(2+8)/2)=\boxed{(3;5)}=C.

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