Université L2 — licence de mathématiques

Déterminants et applications — 10 exercices corrigés L2

Au-delà du calcul élémentaire, les déterminants sont utilisés pour étudier des familles de matrices, des systèmes, l'interpolation et des identités structurelles. Les opérations sur les lignes ou colonnes sont accompagnées de leur effet sur le déterminant.

L'essentiel à retenir

Le déterminant est multilinéaire et alterné en les colonnes ; il vaut $1$ sur l'identité.
On a $\det(AB)=\det A\det B$ , $\det(A^T)=\det A$ et $A$ est inversible exactement lorsque $\det A\ne0$ .
Une addition d'un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant ; un échange de lignes change son signe.
Pour une matrice triangulaire par blocs carrés, le déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux.

Exercice 1 — Matrice à diagonale constante

Soit

A_t=\begin{pmatrix}t&1&1\\1&t&1\\1&1&t\end{pmatrix}

Calculer son déterminant en exploitant ses sous-espaces invariants.
Déterminer son rang aux valeurs singulières.

Corrigé détaillé

Écrivons $A_t=(t-1)I+J$ , où $J$ a tous ses coefficients égaux à $1$ . Sur la droite engendrée par $(1,1,1)$ , $J$ vaut $3I$ ; sur le plan $x+y+z=0$ , $J$ est nul. Dans une base adaptée, $A_t$ est diagonale de coefficients $t+2,t-1,t-1$ . Donc $\det A_t=(t+2)(t-1)^2$ .
Pour $t=1$ , $A_t=J$ a une image de dimension $1$ . Pour $t=-2$ , elle est nulle sur la droite précédente et vaut $-3I$ sur le plan : son rang est $2$ . Aux autres valeurs, le rang est $3$ .

Exercice 2 — Vandermonde et interpolation

Soient

a,b,c

trois réels distincts.

Calculer le déterminant de $V=\begin{pmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{pmatrix}$ .
En déduire l'unicité d'un polynôme de degré au plus $2$ prenant trois valeurs prescrites, puis trouver celui prenant $1,2,5$ en $0,1,2$ .

Corrigé détaillé

Soustraire la première ligne aux deux autres fait apparaître les facteurs $b-a$ et $c-a$ . Le déterminant restant est celui de $\begin{pmatrix}1&a&a^2\\0&1&a+b\\0&1&a+c\end{pmatrix}$ , soit $c-b$ . Donc $\det V=(b-a)(c-a)(c-b)\ne0$ .
Le système sur les trois coefficients est inversible. Pour les données proposées, $P=ux^2+vx+w$ vérifie $w=1$ , $u+v=1$ , $4u+2v=4$ . Ainsi $u=1$ , $v=0$ , et $P(x)=x^2+1$ .

Exercice 3 — Récurrence d'un déterminant tridiagonal

Soit

D_n

le déterminant de la matrice

n\times n

ayant

2

sur la diagonale et

-1

sur les deux diagonales voisines.

Établir une récurrence avec $D_0=1$ .
Calculer $D_n$ et conclure sur l'inversibilité.

Corrigé détaillé

Un développement suivant la dernière ligne donne $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$ pour $n\geq2$ , avec $D_0=1$ et $D_1=2$ . Le second terme provient des deux coefficients voisins $-1$ , avec le signe du cofacteur.
La récurrence équivaut à $D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}$ . Toutes les différences valent $D_1-D_0=1$ , donc $D_n=n+1$ . En particulier, le déterminant est strictement positif pour tout $n\geq1$ et chaque matrice est inversible.

Exercice 4 — Perturbation de rang un

Soient

u,v\in\mathbb R^n

Montrer que $\det(I+uv^T)=1+v^Tu$ .
Appliquer à $u=(1,2,0)^T$ , $v=(2,-1,3)^T$ et calculer l'inverse de $I+uv^T$ .

Corrigé détaillé

Si $u=0$ , la formule est immédiate. Sinon, compléter $u$ en une base. Pour tout $x$ , $(I+uv^T)x=x+u(v^Tx)$ : dans cette base, la matrice est triangulaire, avec première entrée diagonale $1+v^Tu$ et toutes les autres égales à $1$ . Le produit donne la formule.
Ici $v^Tu=2-2=0$ , donc le déterminant vaut $1$ . De plus $(uv^T)^2=u(v^Tu)v^T=0$ . Ainsi $(I+uv^T)^{-1}=I-uv^T=\begin{pmatrix}-1&1&-3\\-4&3&-6\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Exercice 5 — Déterminant par complément de Schur

Soit

M=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&1\\1&1&c\end{pmatrix}

Calculer $\det M$ par élimination par blocs.
Lorsque le déterminant s'annule, donner un vecteur non nul du noyau.

Corrigé détaillé

Le bloc supérieur gauche est $A=\operatorname{diag}(2,3)$ et $b=(1,1)^T$ . L'opération par blocs qui remplace la dernière ligne par elle-même moins $b^TA^{-1}$ fois les deux premières donne le dernier coefficient $c-b^TA^{-1}b=c-1/2-1/3=c-5/6$ . Ainsi $\det M=6(c-5/6)=6c-5$ .
Pour $c=5/6$ , les premières équations du noyau imposent $x=-z/2$ , $y=-z/3$ . Avec $z=6$ , on obtient $(-3,-2,6)$ ; la dernière équation vaut $-3-2+5=0$ .

Exercice 6 — Déterminant d'une exponentielle

Soit

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}

Calculer explicitement $e^{tA}$ .
Vérifier sur cet exemple l'identité $\det(e^{tA})=e^{t\operatorname{tr}A}$ .

Corrigé détaillé

La seconde composante du système $X'=AX$ vérifie $y=e^{-t}y_0$ . La première donne $x=e^{2t}x_0+e^{2t}y_0\int_0^te^{-3s}ds=e^{2t}x_0+(e^{2t}-e^{-t})y_0/3$ . Donc $e^{tA}=\begin{pmatrix}e^{2t}&(e^{2t}-e^{-t})/3\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$ .
Cette matrice est triangulaire, donc son déterminant vaut $e^{2t}e^{-t}=e^t$ . Or $\operatorname{tr}A=1$ , d'où bien $e^{t\operatorname{tr}A}=e^t$ . Le déterminant est toujours positif, même si $\det A=-2$ .

Exercice 7 — Déterminant et dépendance polynomiale

Pour

A\in M_n(\mathbb R)

, poser

p(t)=\det(I+tA)

Montrer que $p$ est un polynôme de degré au plus $n$ , dont le coefficient de $t$ est $\operatorname{tr}A$ .
Calculer $p$ pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

Corrigé détaillé

La colonne $j$ de $I+tA$ est $e_j+ta_j$ . La multilinéarité développe le déterminant en puissances de $t$ jusqu'à $n$ . Les termes linéaires remplacent exactement une colonne $e_j$ par $a_j$ ; leur déterminant vaut $a_{jj}$ . Leur somme est donc la trace.
$I+tA=\begin{pmatrix}1+t&2t\\3t&1+4t\end{pmatrix}$ , d'où $p(t)=(1+t)(1+4t)-6t^2=1+5t-2t^2$ . On retrouve la trace $5$ au premier degré et $\det A=-2$ au second.

Exercice 8 — Matrice antisymétrique de dimension impaire

Prouver que toute matrice réelle antisymétrique d'ordre impair a un déterminant nul.
Pour $A=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}$ avec $(a,b,c)\ne0$ , déterminer son noyau et son rang.

Corrigé détaillé

Si $A^T=-A$ et $n$ est impair, alors $\det A=\det A^T=\det(-A)=(-1)^n\det A=-\det A$ . Sur $\mathbb R$ , cela impose $\det A=0$ .
On calcule $A(a,b,c)^T=0$ . Si $a\ne0$ , le mineur des lignes et colonnes $2,3$ vaut $a^2>0$ ; si $b$ ou $c$ est non nul, un mineur analogue convient. Le rang est donc au moins $2$ et, par le déterminant nul, exactement $2$ . Le noyau est de dimension $1$ et vaut $\mathbb R(a,b,c)$ .

Exercice 9 — Système à paramètre et compatibilité

Étudier

x+y=1

x+ty=2

Résoudre pour les valeurs régulières de $t$ par les déterminants de Cramer.
Traiter la valeur singulière et expliquer géométriquement le résultat.

Corrigé détaillé

Le déterminant de la matrice est $t-1$ . Pour $t\ne1$ , le déterminant remplaçant la première colonne vaut $t-2$ et celui remplaçant la seconde vaut $1$ . Donc $x=(t-2)/(t-1)$ , $y=1/(t-1)$ . La substitution donne bien $x+y=1$ et $x+ty=2$ .
Pour $t=1$ , les deux équations exigent simultanément $x+y=1$ et $x+y=2$ : aucune solution. Géométriquement, les deux droites sont alors parallèles et distinctes ; pour $t\ne1$ , leurs vecteurs normaux sont indépendants, et elles se coupent en un point unique.

Exercice 10 — Déterminant d'une matrice par blocs échangés

Soient

A,B\in M_n(\mathbb R)

M=\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}

Montrer que $\det M=\det(A+B)\det(A-B)$ sans supposer $AB=BA$ .
Calculer ce déterminant pour $A=2I_2$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Corrigé détaillé

Les sous-espaces $E_+=\{(x,x)\}$ et $E_-=\{(x,-x)\}$ sont supplémentaires. Sur le premier, $M$ agit comme $A+B$ ; sur le second, comme $A-B$ . La matrice dans une base adaptée est donc diagonale par blocs, donnant l'identité. Aucun produit $AB$ n'intervient.
$A+B=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ et $A-B=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ ont chacun le déterminant $3$ . Ainsi $\det M=9$ .

Déterminants et applications — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Matrice à diagonale constante

Exercice 2 — Vandermonde et interpolation

Exercice 3 — Récurrence d'un déterminant tridiagonal

Exercice 4 — Perturbation de rang un

Exercice 5 — Déterminant par complément de Schur

Exercice 6 — Déterminant d'une exponentielle

Exercice 7 — Déterminant et dépendance polynomiale

Exercice 8 — Matrice antisymétrique de dimension impaire

Exercice 9 — Système à paramètre et compatibilité

Exercice 10 — Déterminant d'une matrice par blocs échangés

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