Université L2 — licence de mathématiques

Suites et séries de fonctions — 10 exercices corrigés L2

Les modes de convergence sont comparés sur des domaines explicitement fixés. Le passage à la limite sous une intégrale ou une dérivée exige un théorème adapté ; la convergence simple seule ne suffit généralement pas.

L'essentiel à retenir

  • La convergence uniforme signifie sup⁡x∈D∣fn(x)−f(x)∣→0\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\to0 ; elle implique la convergence simple.
  • Une limite uniforme de fonctions continues est continue. Sur un segment, la convergence uniforme permet le passage à la limite sous l'intégrale.
  • La convergence normale d'une série, définie par ∑∥un∥∞<∞\sum\|u_n\|_\infty<\infty, implique sa convergence uniforme et absolue ponctuelle.
  • Pour dériver une limite, on peut utiliser la convergence uniforme des dérivées et la convergence des fonctions en un point, sur un segment.

Exercice 1 — Une couche limite au bord

Soit fn(x)=xnf_n(x)=x^n sur [0,1][0,1].
  1. Déterminer la limite simple et les segments [0,a][0,a], 0≤a<10\leq a<1, où la convergence est uniforme.
  2. Étudier la convergence uniforme sur [0,1][0,1] et le passage à la limite des intégrales.
Corrigé détaillé
  1. Pour x<1x<1, xn→0x^n\to0, tandis que fn(1)=1f_n(1)=1. Sur [0,a][0,a] avec 0≤a<10\leq a<1, sup⁡xn=an→0\sup x^n=a^n\to0, donc la convergence est uniforme.
  2. Sur [0,1][0,1], la limite vaut 00 avant 11 et 11 en 11 ; elle est discontinue, donc ne peut être limite uniforme de fonctions continues. Directement, sup⁡x<1xn=1\sup_{x<1}x^n=1. Pourtant ∫01fn=1/(n+1)→0=∫01f\int_0^1f_n=1/(n+1)\to0=\int_0^1f. L'échange est ici valide par convergence dominée, puisque ∣fn∣≤1|f_n|\leq1, et non par convergence uniforme.

Exercice 2 — Pic mobile et défaut d'échange

Sur [0,1][0,1], poser fn(x)=n2x(1−x)nf_n(x)=n^2x(1-x)^n.
  1. Déterminer la limite simple et étudier la convergence uniforme.
  2. Calculer les intégrales et comparer les deux ordres de passage à la limite.
Corrigé détaillé
  1. Aux extrémités, fn=0f_n=0 ; pour 0<x<10<x<1, la décroissance géométrique domine n2n^2, donc fn(x)→0f_n(x)\to0. La dérivée est n2(1−x)n−1[1−(n+1)x]n^2(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x] : le maximum est atteint en 1/(n+1)1/(n+1) et vaut n2/(n+1) (n/(n+1))n∼n/en^2/(n+1)\,(n/(n+1))^n\sim n/e. La convergence n'est pas uniforme.
  2. Avec u=1−xu=1-x, ∫01x(1−x)ndx=1/(n+1)−1/(n+2)=1/[(n+1)(n+2)]\int_0^1x(1-x)^ndx=1/(n+1)-1/(n+2)=1/[(n+1)(n+2)]. Ainsi ∫fn→1\int f_n\to1, alors que l'intégrale de la limite vaut 00.

Exercice 3 — Série rationnelle normalement convergente

Sur R\mathbb R, considérer ∑n≥11/(n2+x2)\sum_{n\geq1}1/(n^2+x^2).
  1. Montrer la convergence normale et la continuité de la somme.
  2. Justifier la dérivation terme à terme et donner la dérivée.
Corrigé détaillé
  1. Pour tout xx, 0≤1/(n2+x2)≤1/n20\leq1/(n^2+x^2)\leq1/n^2. La série numérique majorante converge, donc la convergence est normale sur R\mathbb R ; la somme est continue.
  2. La dérivée du terme est −2x/(n2+x2)2-2x/(n^2+x^2)^2. En écrivant ∣x∣=nu|x|=nu, sa valeur absolue vaut 2u/[n3(1+u2)2]≤2/n32u/[n^3(1+u^2)^2]\leq2/n^3, car u/(1+u2)2≤1u/(1+u^2)^2\leq1. La série des dérivées converge donc normalement. Sur tout segment, le théorème de dérivation s'applique, et S′(x)=−2x∑n≥1(n2+x2)−2S'(x)=-2x\sum_{n\geq1}(n^2+x^2)^{-2}.

Exercice 4 — Série logarithmique à l'extrémité

Sur [0,1][0,1], étudier ∑n≥1(−1)n−1xn/n\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}x^n/n.
  1. Montrer la convergence uniforme et identifier la somme.
  2. Dire si la convergence est normale et si la série des dérivées converge en x=1x=1.
Corrigé détaillé
  1. Pour chaque x∈[0,1]x\in[0,1], les amplitudes xn/nx^n/n décroissent. Le reste alterné est majoré par xN+1/(N+1)≤1/(N+1)x^{N+1}/(N+1)\leq1/(N+1), donc la convergence est uniforme. Sur [0,a][0,a], 0≤a<10\leq a<1, la dérivation donne ∑n≥1(−1)n−1xn−1=1/(1+x)\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}x^{n-1}=1/(1+x). La somme s'annule en zéro, donc vaut log⁡(1+x)\log(1+x) ; la continuité prolonge l'identité en 11.
  2. La somme des normes est ∑1/n\sum1/n, divergente : pas de convergence normale. En 11, les termes dérivés sont (−1)n−1(-1)^{n-1} et ne tendent pas vers zéro.

Exercice 5 — Convergence des fonctions mais pas des dérivées

Soit fn(x)=sin⁡(nx)/nf_n(x)=\sin(nx)/n sur R\mathbb R.
  1. Étudier la convergence uniforme de fnf_n.
  2. Montrer que les dérivées ne convergent pas simplement sur tout R\mathbb R et expliquer l'absence de contradiction.
Corrigé détaillé
  1. ∣fn(x)∣≤1/n|f_n(x)|\leq1/n pour tout xx, donc fn→0f_n\to0 uniformément sur R\mathbb R. La limite est dérivable, de dérivée nulle.
  2. On a fn′(x)=cos⁡(nx)f_n'(x)=\cos(nx). En x=πx=\pi, cette suite vaut (−1)n(-1)^n, donc n'a pas de limite ; en x=0x=0, elle vaut toujours 11, qui n'est pas la dérivée de la limite. Le théorème de dérivation ne dit pas que la convergence uniforme des fonctions entraîne celle des dérivées. Il exige au contraire un contrôle, généralement uniforme sur les segments, de la suite des dérivées.

Exercice 6 — Une série télescopique non normalement convergente

Sur [0,1][0,1], poser un(x)=xn−xn+1u_n(x)=x^n-x^{n+1} pour n≥0n\geq0.
  1. Calculer les sommes partielles et déterminer la convergence simple et uniforme.
  2. Étudier la convergence normale.
Corrigé détaillé
  1. SN(x)=1−xN+1S_N(x)=1-x^{N+1}. Pour x<1x<1, SN→1S_N\to1 ; en 11, SN=0S_N=0. La limite est donc discontinue en 11, et la convergence n'est pas uniforme. Sur [0,a][0,a], 0≤a<10\leq a<1, l'erreur est au plus aN+1a^{N+1}, donc elle est uniforme.
  2. Pour n≥1n\geq1, un=xn(1−x)u_n=x^n(1-x) atteint son maximum en n/(n+1)n/(n+1), de valeur nn/(n+1)n+1∼1/(en)n^n/(n+1)^{n+1}\sim1/(en). La somme des normes diverge par comparaison harmonique. La série n'est pas normalement convergente sur [0,1][0,1].

Exercice 7 — Série d’exponentielles sur une demi-droite

Sur [0,∞)[0,\infty), on pose S(x)=∑n≥1e−nx/n2S(x)=\sum_{n\geq1}e^{-nx}/n^2.
  1. Montrer la convergence normale et la continuité de SS, puis justifier l’intégration terme à terme sur [0,∞)[0,\infty) et exprimer l’intégrale par une série numérique.
  2. Calculer S′(x)S'(x) pour x>0x>0 et déterminer si SS a une dérivée à droite finie en zéro.
Corrigé détaillé
1. Pour x≥0x\geq0, 0≤e−nx/n2≤1/n20\leq e^{-nx}/n^2\leq1/n^2. La majorante converge : la convergence est normale et la somme est continue. Les termes sont positifs, donc Tonelli donne ∫0∞S(x) dx=∑n≥1n−2∫0∞e−nx dx=∑n≥1n−3<∞\int_0^\infty S(x)\,dx=\sum_{n\geq1}n^{-2}\int_0^\infty e^{-nx}\,dx=\sum_{n\geq1}n^{-3}<\infty. Comme SS est continue et positive, son intégrale impropre converge aussi. 2. Pour tout δ>0\delta>0, les dérivées sont majorées sur [δ,∞)[\delta,\infty) par e−nδ/ne^{-n\delta}/n, de série convergente. On peut dériver sur tout segment de (0,∞)(0,\infty) : S′(x)=−∑n≥1e−nx/n=log⁡(1−e−x)S'(x)=-\sum_{n\geq1}e^{-nx}/n=\log(1-e^{-x}). Cette dérivée tend vers −∞-\infty lorsque x↓0x\downarrow0. La continuité en zéro permet le théorème des accroissements finis : (S(h)−S(0))/h=S′(ξh)(S(h)-S(0))/h=S'(\xi_h), avec 0<ξh<h0<\xi_h<h. Ce quotient tend vers −∞-\infty : il n’y a pas de dérivée à droite finie.

Exercice 8 — Convergence uniforme sur un domaine non borné

Pour x≥0x\geq0, poser fn(x)=x/(n+x)f_n(x)=x/(n+x).
  1. Étudier les convergences simple et uniforme sur [0,∞)[0,\infty).
  2. Déterminer une condition sur une suite an≥0a_n\geq0 pour que sup⁡0≤x≤anfn(x)→0\sup_{0\leq x\leq a_n}f_n(x)\to0.
Corrigé détaillé
  1. Pour xx fixé, fn(x)→0f_n(x)\to0. Mais fnf_n est croissante en xx, puisque fn′(x)=n/(n+x)2>0f_n'(x)=n/(n+x)^2>0, et tend vers 11 quand x→∞x\to\infty. Ainsi sup⁡x≥0fn(x)=1\sup_{x\geq0}f_n(x)=1 : pas de convergence uniforme. Sur tout segment fixe [0,A][0,A], le supremum est A/(n+A)→0A/(n+A)\to0.
  2. Sur le segment variable, le supremum est an/(n+an)a_n/(n+a_n). En posant rn=an/nr_n=a_n/n, il vaut rn/(1+rn)r_n/(1+r_n), qui tend vers zéro si et seulement si rn→0r_n\to0. La condition exacte est donc an=o(n)a_n=o(n).

Exercice 9 — Reconstruction par convergence des dérivées

Sur [0,1][0,1], soient fn∈C1f_n\in C^1 tels que fn(0)→ℓf_n(0)\to\ell et fn′→gf_n'\to g uniformément.
  1. Montrer que fnf_n converge uniformément et identifier sa limite.
  2. Appliquer à fn(x)=∫0x(1+t/n)ndtf_n(x)=\int_0^x(1+t/n)^n dt.
Corrigé détaillé
  1. La limite uniforme gg est continue. Posons f(x)=ℓ+∫0xg(t)dtf(x)=\ell+\int_0^xg(t)dt. Alors ∣fn(x)−f(x)∣≤∣fn(0)−ℓ∣+∥fn′−g∥∞|f_n(x)-f(x)|\leq|f_n(0)-\ell|+\|f_n'-g\|_\infty, uniformément en xx. Donc fn→ff_n\to f uniformément et f′=gf'=g.
  2. Ici fn(0)=0f_n(0)=0 et fn′=(1+x/n)nf_n'=(1+x/n)^n. Le développement uniforme nlog⁡(1+x/n)=x+O(1/n)n\log(1+x/n)=x+O(1/n) sur [0,1][0,1] donne fn′→exf_n'\to e^x uniformément. Ainsi fn→∫0xetdt=ex−1f_n\to\int_0^xe^tdt=e^x-1 uniformément, et la dérivée de la limite est bien exe^x.

Exercice 10 — Série alternée de fonctions et défaut de normalité

Pour x≥0x\geq0, considérer ∑n≥1(−1)n−1/(n+x)\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}/(n+x).
  1. Montrer la convergence uniforme sur [0,∞)[0,\infty).
  2. Montrer que sa somme est dérivable et strictement décroissante.
Corrigé détaillé
  1. Le critère alterné donne un reste majoré par 1/(N+1+x)≤1/(N+1)1/(N+1+x)\leq1/(N+1) : la convergence est uniforme. Elle n'est pas normale, puisque les normes des termes sont 1/n1/n.
  2. Les dérivées sont (−1)n/(n+x)2(-1)^n/(n+x)^2, et leur série converge normalement car elles sont majorées par 1/n21/n^2. La dérivation est donc permise sur chaque segment. En regroupant par paires, S′(x)=∑k≥1[−1/(2k−1+x)2+1/(2k+x)2]S'(x)=\sum_{k\geq1}[-1/(2k-1+x)^2+1/(2k+x)^2]. Chaque paire est strictement négative et la série converge absolument ; ainsi S′(x)<0S'(x)<0.

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