Université L2 — licence de mathématiques

Espaces normés et applications linéaires continues — 10 exercices corrigés L2

Ce chapitre étudie les normes, la topologie associée, la complétude et la continuité linéaire. Les espaces sont réels sauf indication contraire ; les arguments portant sur les suites de fonctions précisent toujours la norme utilisée.

L'essentiel à retenir

Une norme $N$ vérifie la séparation, l'homogénéité $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$ et l'inégalité triangulaire.
Deux normes sont équivalentes s'il existe $a,b>0$ tels que $aN_1(x)\leq N_2(x)\leq bN_1(x)$ pour tout $x$ . En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Une application linéaire $T$ est continue si et seulement s'il existe $C\geq0$ tel que $\|Tx\|\leq C\|x\|$ . Sa norme est $\|T\|=\sup_{\|x\|\leq1}\|Tx\|$ .
Un espace de Banach est un espace normé complet. Un sous-espace fermé d'un espace de Banach est complet pour la norme induite.

Exercice 1 — Une norme définie par un changement de coordonnées

Sur

\mathbb R^2

, on pose

N(x,y)=|x+y|+|x-y|

Montrer que $N$ est une norme et la comparer exactement à $\|\cdot\|_\infty$ .
Déterminer sa boule unité fermée et comparer $N$ à la norme euclidienne.

Corrigé détaillé

L'application $A(x,y)=(x+y,x-y)$ est linéaire et inversible, car $\det A=-2$ . Ainsi $N=\|A(\cdot)\|_1$ est une norme. Si $|x|\geq|y|$ , les deux nombres $x+y,x-y$ ont le signe de $x$ , d'où $N=2|x|$ ; le cas opposé donne $N=2|y|$ . Donc $N=2\|\cdot\|_\infty$ .
La boule est le carré $[-1/2,1/2]^2$ . Comme $\|z\|_\infty\leq\|z\|_2\leq\sqrt2\|z\|_\infty$ , on obtient $\sqrt2\|z\|_2\leq N(z)\leq2\|z\|_2$ . Les égalités sont atteintes respectivement pour $(1,1)$ et $(1,0)$ .

Exercice 2 — Deux normes non équivalentes sur les fonctions continues

Sur

C([0,1])

, considérer

\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|\,dt

\|f\|_\infty=\max|f|

Établir une comparaison et montrer que les normes ne sont pas équivalentes.
Montrer que l'évaluation $f\mapsto f(1)$ est continue pour l'une mais pas pour l'autre.

Corrigé détaillé

On a $\|f\|_1\leq\|f\|_\infty$ . Pour $f_n(t)=t^n$ , $\|f_n\|_\infty=1$ et $\|f_n\|_1=1/(n+1)$ . Une estimation $\|f\|_\infty\leq C\|f\|_1$ imposerait $1\leq C/(n+1)$ , impossible.
Pour la norme uniforme, $|f(1)|\leq\|f\|_\infty$ et la norme de l'évaluation vaut $1$ , atteinte sur la constante $1$ . Pour la norme intégrale, $f_n\to0$ mais $f_n(1)=1$ : l'évaluation n'est donc pas continue.

Exercice 3 — Norme d'un opérateur matriciel

Soit

T(x,y)=(x+2y,-x+y)

Calculer sa norme opératorielle lorsque départ et arrivée portent la norme infinie.
Faire le même calcul pour la norme $1$ et vérifier l'optimalité des constantes.

Corrigé détaillé

Si $M=\max(|x|,|y|)$ , alors $|x+2y|\leq3M$ et $|-x+y|\leq2M$ , donc $\|T\|_{\infty\to\infty}\leq3$ . Avec $(x,y)=(1,1)$ , l'image vaut $(3,0)$ : la norme est $3$ .
On a $|x+2y|+|-x+y|\leq2|x|+3|y|\leq3(|x|+|y|)$ . Le vecteur $(0,1)$ a pour image $(2,1)$ , de norme $1$ égale à $3$ . Ainsi $\|T\|_{1\to1}=3$ . Les deux valeurs correspondent aux maxima des sommes absolues des lignes puis des colonnes.

Exercice 4 — Distance à un sous-espace fermé

Dans

C([0,1])

muni de la norme uniforme, soit

F=\{g:g(0)=0\}

Montrer que $F$ est fermé et calculer $d(f,F)$ .
Montrer que $C([0,1])=F\oplus\mathbb R\mathbf1$ et calculer la norme de la projection sur les constantes.

Corrigé détaillé

L'évaluation en $0$ est continue puisque $|g(0)|\leq\|g\|_\infty$ ; son noyau $F$ est fermé. Pour $g\in F$ , $\|f-g\|_\infty\geq|f(0)|$ . Le choix $g=f-f(0)\mathbf1$ donne l'égalité, donc $d(f,F)=|f(0)|$ .
La décomposition $f=(f-f(0)\mathbf1)+f(0)\mathbf1$ existe. Son unicité vient de $F\cap\mathbb R\mathbf1=\{0\}$ . La projection est $P(f)=f(0)\mathbf1$ ; $\|P(f)\|_\infty=|f(0)|\leq\|f\|_\infty$ , avec égalité pour $f=\mathbf1$ . Donc $\|P\|=1$ .

Exercice 5 — Complétude et norme intégrale

Pour

n\geq2

, définir

f_n

sur

[0,1]

par

0

sur

[0,1/2]

, par

n(t-1/2)

sur

[1/2,1/2+1/n]

, puis par

1

Montrer que $(f_n)$ est de Cauchy pour $\|\cdot\|_1$ .
Prouver qu'elle n'a pas de limite dans $C([0,1])$ pour cette norme.

Corrigé détaillé

Soit $h=\mathbf1_{(1/2,1]}$ . Le seul écart est le triangle de base $1/n$ et de hauteur $1$ , donc $\int_0^1|f_n-h|=1/(2n)$ . Ainsi $\|f_n-f_m\|_1\leq1/(2n)+1/(2m)$ : la suite est de Cauchy.
Si une fonction continue $f$ vérifiait $\|f_n-f\|_1\to0$ , l'inégalité triangulaire donnerait $\int|f-h|=0$ . Sur $(0,1/2)$ , la continuité imposerait $f=0$ ; sur $(1/2,1)$ , elle imposerait $f=1$ . Les limites à gauche et à droite en $1/2$ seraient incompatibles. Cet espace normé n'est donc pas complet.

Exercice 6 — Opérateur de Volterra

Sur

C([0,1])

avec la norme uniforme, poser

(Vf)(x)=\int_0^x f(t)\,dt

Calculer $\|V\|$ .
Montrer que $V^nf(x)=\frac1{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)\,dt$ et en déduire $\|V^n\|$ .

Corrigé détaillé

$|Vf(x)|\leq x\|f\|_\infty\leq\|f\|_\infty$ . Pour $f=1$ , $Vf(x)=x$ , donc $\|V\|=1$ .
La formule est vraie pour $n=1$ . En intégrant une fois de plus et en échangeant les intégrales sur $0\leq t\leq s\leq x$ , le noyau devient $\int_t^x(s-t)^{n-1}/(n-1)!\,ds=(x-t)^n/n!$ , ce qui donne l'induction. Par conséquent $|V^nf(x)|\leq\|f\|_\infty x^n/n!$ . Pour $f=1$ , $V^nf=x^n/n!$ ; ainsi $\|V^n\|=1/n!$ .

Exercice 7 — Équation intégrale par contraction

Résoudre dans

C([0,1])

l'équation

f(x)=1+\frac12\int_0^x f(t)\,dt

Justifier l'existence et l'unicité par un théorème de point fixe.
Calculer la solution et une borne d'erreur pour les itérations partant de $f_0=1$ .

Corrigé détaillé

L'espace muni de $\|\cdot\|_\infty$ est complet. Pour $\Phi(f)=1+Vf/2$ , $\|\Phi(f)-\Phi(g)\|_\infty\leq\frac12\|f-g\|_\infty$ . Le théorème de contraction donne un unique point fixe.
L'équation rend $f$ dérivable et donne $f'=f/2$ , $f(0)=1$ , donc $f(x)=e^{x/2}$ . L'itération fournit $f_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k/(2^kk!)$ . La borne générale vaut $\|f-f_n\|_\infty\leq(1/2)^n\|f_1-f_0\|_\infty/(1-1/2)=2^{-n}$ . La formule de Taylor fournit aussi $e^{1/2}/(2^{n+1}(n+1)!)$ .

Exercice 8 — Compacité dans un espace de suites

Dans

\ell^2(\mathbb N)

, soit

e_n

la suite unité de rang

n

Montrer que la boule unité fermée n'est pas compacte.
Étudier la compacité de $K=\{0\}\cup\{e_n/n:n\geq1\}$ .

Corrigé détaillé

Pour $n\ne m$ , $\|e_n-e_m\|_2^2=2$ . Aucune sous-suite de $(e_n)$ n'est de Cauchy, donc aucune n'est convergente. Dans un espace métrique, la compacité implique que toute suite possède une sous-suite convergente ; la boule unité n'est donc pas compacte.
On a $\|e_n/n\|_2=1/n\to0$ . Pour une suite dans $K$ , soit une valeur apparaît infiniment souvent, donnant une sous-suite constante, soit on peut extraire des indices tendant vers l'infini, donnant une sous-suite convergeant vers $0$ . Ainsi $K$ est séquentiellement compact, donc compact.

Exercice 9 — Norme pondérée et opérateur de décalage

Sur

\mathbb R^3

, poser

N(x,y,z)=|x|+2|y|+4|z|

S(x,y,z)=(y,z,0)

Calculer $\|S\|$ pour cette norme.
Calculer $(I-S)^{-1}$ et donner une majoration de sa norme.

Corrigé détaillé

$N(S(x,y,z))=|y|+2|z|\leq\frac12N(x,y,z)$ . Pour $(0,1,0)$ , le quotient vaut $1/2$ , donc $\|S\|=1/2$ .
Comme $S^3=0$ , $(I-S)(I+S+S^2)=I$ . Ainsi $(I-S)^{-1}(x,y,z)=(x+y+z,y+z,z)$ . La sous-multiplicativité donne une borne $1+1/2+1/4=7/4$ . Elle est exacte : sur $(0,0,1)$ , le quotient vaut $(1+2+4)/4=7/4$ . Donc $\|(I-S)^{-1}\|=7/4$ .

Exercice 10 — Équivalence des normes en dimension finie

Soit

N

une norme sur

\mathbb R^d

Montrer directement que $N(x)\leq C\|x\|_2$ pour une constante explicite en fonction des $N(e_i)$ .
En déduire, par compacité, une minoration $N(x)\geq c\|x\|_2$ avec $c>0$ .

Corrigé détaillé

Par décomposition dans la base canonique, $N(x)\leq\sum_i|x_i|N(e_i)$ . Cauchy-Schwarz donne $N(x)\leq C\|x\|_2$ , où $C=(\sum_iN(e_i)^2)^{1/2}$ . De plus $|N(x)-N(y)|\leq N(x-y)\leq C\|x-y\|_2$ : $N$ est continue pour la topologie euclidienne.
La sphère euclidienne est compacte, donc $N$ y atteint un minimum $c$ . Ce minimum est strictement positif puisque la sphère ne contient pas $0$ . Pour $x\ne0$ , l'homogénéité donne $N(x)=\|x\|_2N(x/\|x\|_2)\geq c\|x\|_2$ ; le cas $x=0$ est immédiat.

Espaces normés et applications linéaires continues — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Une norme définie par un changement de coordonnées

Exercice 2 — Deux normes non équivalentes sur les fonctions continues

Exercice 3 — Norme d'un opérateur matriciel

Exercice 4 — Distance à un sous-espace fermé

Exercice 5 — Complétude et norme intégrale

Exercice 6 — Opérateur de Volterra

Exercice 7 — Équation intégrale par contraction

Exercice 8 — Compacité dans un espace de suites

Exercice 9 — Norme pondérée et opérateur de décalage

Exercice 10 — Équivalence des normes en dimension finie

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