Université L2 — licence de mathématiques

Diagonalisation et calcul matriciel — 10 exercices corrigés L2

La diagonalisation est distinguée de la triangularisation et des formes à blocs de Jordan. Les critères sont appliqués sur le corps indiqué, puis exploités pour calculer puissances, récurrences et fonctions de matrices.

L'essentiel à retenir

Une matrice est diagonalisable si elle possède une base de vecteurs propres, ou si la somme des dimensions de ses espaces propres vaut sa taille.
Un polynôme annulateur scindé à racines simples assure la diagonalisation sur le corps considéré.
Des valeurs propres toutes distinctes suffisent à diagonaliser, mais ne sont pas nécessaires.
Si $A=PDP^{-1}$ , alors $A^n=PD^nP^{-1}$ et $e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}$ .

Exercice 1 — Diagonalisation triangulaire et puissances

Soit

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}

Donner une matrice de passage et son inverse pour diagonaliser $A$ .
En déduire $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$ .

Corrigé détaillé

1. Les valeurs propres sont

1,2,3

. Des vecteurs propres sont

(1,0,0)

(1,1,0)

(1,2,2)

. Avec

P=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&2\end{pmatrix}

P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1/2\\0&1&-1\\0&0&1/2\end{pmatrix}

, les produits vérifient

PP^{-1}=I_3

AP=P\operatorname{diag}(1,2,3)

. Donc

A=PDP^{-1}

. 2. Les facteurs intérieurs se simplifient :

A^n=PD^nP^{-1}=\begin{pmatrix}1&2^n-1&(3^n-2^{n+1}+1)/2\\0&2^n&3^n-2^n\\0&0&3^n\end{pmatrix}

. Pour

n=0

, les termes hors diagonale sont nuls et on retrouve

I_3

; pour

n=1

, on retrouve

A

Exercice 2 — Valeur propre double sans diagonalisation

Soit

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Montrer qu'elle n'est pas diagonalisable.
Calculer $A^n$ pour $n\geq0$ malgré cet échec.

Corrigé détaillé

La valeur propre $2$ a multiplicité algébrique $2$ , mais $(A-2I)x=0$ impose $y=z=0$ , donc son espace propre est de dimension $1$ . Celui de $3$ est $\mathbb Re_3$ ; les dimensions totalisent $2<3$ .
Le premier bloc est $2I_2+N$ , avec $N^2=0$ . Pour $n\geq1$ , le binôme donne $(2I_2+N)^n=2^nI_2+n2^{n-1}N$ . Donc $A^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}&0\\0&2^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}$ . Pour $n=0$ , on prend séparément $A^0=I_3$ .

Exercice 3 — Famille toujours diagonalisable

Soit

A_t=\begin{pmatrix}1&t\\0&2\end{pmatrix}

t\in\mathbb R

Construire une diagonalisation valable pour tout $t$ .
Calculer $A_t^n$ et vérifier le cas $t=0$ .

Corrigé détaillé

Les valeurs propres $1,2$ sont distinctes. Pour $1$ , choisir $e_1$ ; pour $2$ , les équations donnent $x=ty$ , donc choisir $(t,1)$ . Ainsi $P_t=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ et $P_t^{-1}=\begin{pmatrix}1&-t\\0&1\end{pmatrix}$ , avec $A_t=P_t\operatorname{diag}(1,2)P_t^{-1}$ .
La multiplication donne $A_t^n=\begin{pmatrix}1&t(2^n-1)\\0&2^n\end{pmatrix}$ pour tout $n\geq0$ . Si $t=0$ , on retrouve les puissances de la matrice diagonale $\operatorname{diag}(1,2)$ .

Exercice 4 — Diagonalisation réelle ou complexe : une structure non orthogonale

Soit

K=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}

Est-elle diagonalisable sur $\mathbb R$ , puis sur $\mathbb C$ ?
Calculer $K^{2m}$ , $K^{2m+1}$ pour $m\in\mathbb N$ et $e^{tK}$ pour $t\in\mathbb R$ .

Corrigé détaillé

1. Le polynôme caractéristique est

X^2+2

, sans racine réelle ; aucune diagonalisation réelle n’est possible. Sur

\mathbb C

, les deux valeurs propres distinctes sont

i\sqrt2

-i\sqrt2

, avec vecteurs propres

(i\sqrt2,1)

(-i\sqrt2,1)

; ils forment une base. 2.

K^2=-2I

, donc

K^{2m}=(-2)^mI

K^{2m+1}=(-2)^mK

. La série de l’exponentielle est absolument convergente ; on sépare ses termes pairs et impairs :

e^{tK}=I\cos(\sqrt2t)+(K/\sqrt2)\sin(\sqrt2t)

. Au temps zéro, on obtient

I

, et la dérivée en zéro vaut

K

Exercice 5 — Récurrence de Fibonacci

Soit

F_0=0

F_1=1

F_{n+2}=F_{n+1}+F_n

Diagonaliser la matrice de transition.
En déduire une formule explicite et la limite de $F_{n+1}/F_n$ .

Corrigé détaillé

Pour $U_n=(F_{n+1},F_n)^T$ , $U_{n+1}=AU_n$ avec $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Les racines de $t^2-t-1$ sont $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ et $\psi=(1-\sqrt5)/2$ , avec vecteurs propres $(\varphi,1)$ et $(\psi,1)$ .
Puisque $U_0=(1,0)=[(\varphi,1)-(\psi,1)]/\sqrt5$ , on obtient $F_n=(\varphi^n-\psi^n)/\sqrt5$ . Comme $|\psi/\varphi|<1$ , le quotient pour $n\geq1$ tend vers $\varphi$ .

Exercice 6 — Diagonalisation simultanée

Soient

A,B

deux endomorphismes diagonalisables d'un espace de dimension finie sur un même corps, avec

AB=BA

Montrer que chaque espace propre de $A$ est stable par $B$ .
En déduire une base commune de vecteurs propres.

Corrigé détaillé

Si $Ax=\lambda x$ , alors $A(Bx)=B(Ax)=\lambda Bx$ , donc $Bx\in E_\lambda(A)$ .
Puisque $B$ est diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, par exemple le produit des $t-\mu$ sur son spectre. Ce même polynôme annule la restriction de $B$ à chaque espace stable $E_\lambda(A)$ ; chaque restriction est donc diagonalisable. Choisir une base propre de cette restriction dans chaque $E_\lambda(A)$ , puis réunir ces bases. La somme des espaces propres de $A$ étant directe et totale, on obtient la base commune annoncée.

Exercice 7 — Projecteurs spectraux et fonction de matrice

Soit

A

diagonalisable avec spectre inclus dans

\{1,3\}

Construire les projecteurs spectraux en fonction de $A$ .
Exprimer $A^n$ et $e^{tA}$ sans matrice de passage.

Corrigé détaillé

Le polynôme $(X-1)(X-3)$ annule $A$ . Posons $P_1=(3I-A)/2$ et $P_3=(A-I)/2$ . Sur $E_1$ , ils valent respectivement $I,0$ ; sur $E_3$ , ils valent $0,I$ . Ainsi $P_1+P_3=I$ , $P_1P_3=0$ , et ce sont les projecteurs sur les espaces propres correspondants.
On a $A=P_1+3P_3$ , donc $A^n=P_1+3^nP_3$ pour tout $n\geq0$ , et $e^{tA}=e^tP_1+e^{3t}P_3$ . Ces formules restent valables si l'un des deux espaces propres est nul.

Exercice 8 — Une involution

Soit

S\in M_n(\mathbb R)

tel que

S^2=I

Prouver sa diagonalisation et décrire les deux composantes de tout vecteur.
Si $n=5$ et $\operatorname{tr}S=1$ , déterminer les dimensions des espaces propres et $\det S$ .

Corrigé détaillé

Le polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1)$ est scindé à racines simples, donc $S$ est diagonalisable. Tout $x$ s'écrit $x=(x+Sx)/2+(x-Sx)/2$ ; les deux termes appartiennent respectivement à $E_1$ et $E_{-1}$ . Leur intersection est nulle.
Si les dimensions sont $p,q$ , on a $p+q=5$ et $p-q=\operatorname{tr}S=1$ . Donc $p=3$ , $q=2$ . Le déterminant est le produit des valeurs propres : $1^3(-1)^2=1$ .

Exercice 9 — Matrice stochastique à deux états

Soit

P=\begin{pmatrix}3/4&1/4\\1/2&1/2\end{pmatrix}

Diagonaliser $P$ et calculer $P^n$ .
Déterminer la limite des distributions lignes $\mu P^n$ .

Corrigé détaillé

Les valeurs propres sont $1$ et $1/4$ . Des vecteurs propres droits sont $(1,1)$ et $(1,-2)$ . Avec $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}$ , $Q^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ . En posant $r=4^{-n}$ , on obtient $P^n=\frac13\begin{pmatrix}2+r&1-r\\2-2r&1+2r\end{pmatrix}$ .
Cette matrice tend vers celle dont chaque ligne est $(2/3,1/3)$ . Pour toute distribution ligne $\mu=(a,1-a)$ , la somme des coefficients vaut $1$ , donc $\mu P^n\to(2/3,1/3)$ . On vérifie directement que cette limite est stationnaire.

Exercice 10 — Un carré diagonalisable ne suffit pas toujours

Donner une matrice réelle non diagonalisable dont le carré est diagonalisable.
Montrer en revanche que si $A$ est inversible et $A^2$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ , alors $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ .

Corrigé détaillé

La matrice $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable : son seul espace propre est de dimension $1$ . Pourtant $N^2=0$ , matrice diagonale.
Soient $\mu_1,\ldots,\mu_r$ les valeurs propres distinctes de $A^2$ . Elles sont non nulles puisque $A$ est inversible. Le polynôme $p(X)=\prod_j(X-\mu_j)$ annule $A^2$ , donc $q(X)=\prod_j(X^2-\mu_j)$ annule $A$ . Sur $\mathbb C$ , chaque facteur a deux racines distinctes non nulles ; deux facteurs différents n'ont aucune racine commune. Ainsi $q$ est scindé à racines simples, ce qui diagonalise $A$ .

Diagonalisation et calcul matriciel — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Diagonalisation triangulaire et puissances

Exercice 2 — Valeur propre double sans diagonalisation

Exercice 3 — Famille toujours diagonalisable

Exercice 4 — Diagonalisation réelle ou complexe : une structure non orthogonale

Exercice 5 — Récurrence de Fibonacci

Exercice 6 — Diagonalisation simultanée

Exercice 7 — Projecteurs spectraux et fonction de matrice

Exercice 8 — Une involution

Exercice 9 — Matrice stochastique à deux états

Exercice 10 — Un carré diagonalisable ne suffit pas toujours

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