Université L2 — licence de mathématiques

Espaces euclidiens, orthogonalité et formes quadratiques — 10 exercices corrigés L2

On travaille dans des espaces vectoriels réels de dimension finie munis d'un produit scalaire. Les projections, les adjoints et la réduction orthogonale permettent de résoudre des problèmes géométriques et d'approximation.

L'essentiel à retenir

Le complément orthogonal vérifie $E=F\oplus F^\perp$ et $\dim F^\perp=\dim E-\dim F$ .
La projection orthogonale $p_F(x)$ est l'unique élément de $F$ minimisant la distance à $x$ .
Dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint est la transposée. Un endomorphisme autoadjoint réel admet une base orthonormée de vecteurs propres.
Une matrice de Gram est positive ; elle est définie positive exactement lorsque la famille correspondante est libre.

Exercice 1 — Projection sur un plan

Dans

\mathbb R^3

euclidien, soit

F=\{(x,y,z):x+y+z=0\}

Calculer la projection orthogonale de $a=(1,2,4)$ et sa distance à $F$ .
Donner la matrice de la projection et celle de la symétrie orthogonale par rapport à $F$ .

Corrigé détaillé

Un vecteur normal est $n=(1,1,1)$ . La composante normale de $a$ est $(a\cdot n)/(n\cdot n)n=(7/3)n$ . Donc $p_F(a)=(-4/3,-1/3,5/3)$ et $d(a,F)=7/\sqrt3$ .
Si $J$ est la matrice de tous les $1$ , $P=I-J/3$ . La symétrie fixe $F$ et change le signe de la composante normale, donc $S=2P-I=I-2J/3$ . Les identités $J^2=3J$ donnent $P^2=P$ et $S^2=I$ ; les deux matrices sont symétriques.

Exercice 2 — Orthogonalisation de polynômes

Dans

\mathbb R_2[X]

, utiliser

\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt

Orthogonaliser $(1,X,X^2)$ .
Donner une base orthonormée.

Corrigé détaillé

La parité donne $\langle1,X\rangle=\langle X,X^2\rangle=0$ . La projection de $X^2$ sur $1$ vaut $(\int t^2)/(\int1)=1/3$ . Une famille orthogonale est donc $1,X,X^2-1/3$ .
Les normes carrées sont $2$ , $2/3$ , puis $\int_{-1}^1(t^4-2t^2/3+1/9)dt=2/5-4/9+2/9=8/45$ . Une base orthonormée est $1/\sqrt2$ , $\sqrt{3/2}X$ , $\sqrt{5/8}(3X^2-1)$ . Les facteurs sont positifs et normalisent exactement les trois normes.

Exercice 3 — Moindres carrés avec données explicites

On ajuste les points

(0,1)

(1,2)

(2,2)

par une droite

a+bt

Établir et résoudre les équations normales.
Calculer les résidus et l'erreur quadratique minimale.

Corrigé détaillé

On minimise $E=(a-1)^2+(a+b-2)^2+(a+2b-2)^2$ . Les dérivées donnent $3a+3b=5$ et $3a+5b=6$ . En soustrayant, $2b=1$ , donc $b=1/2$ et $a=7/6$ .
Les résidus ajustement moins observation sont $1/6,-1/3,1/6$ . Leur somme est nulle et leur produit scalaire avec $(0,1,2)$ est également nul : le résidu est orthogonal aux colonnes du modèle. L'erreur vaut $1/36+1/9+1/36=1/6$ . Les colonnes étant indépendantes, le minimum est unique.

Exercice 4 — Réduction orthogonale d'une forme quadratique

Soit

q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2

Réduire $q$ dans une base orthonormée.
Décrire l'ellipse $q=1$ et calculer son aire.

Corrigé détaillé

La matrice symétrique est $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ . Les vecteurs orthonormés $u=(1,1)/\sqrt2$ et $v=(1,-1)/\sqrt2$ ont pour valeurs propres $4$ et $2$ . Pour les coordonnées $s=(x+y)/\sqrt2$ , $t=(x-y)/\sqrt2$ , on a $q=4s^2+2t^2$ .
L'ellipse a pour demi-axes $1/2$ dans la direction $u$ et $1/\sqrt2$ dans la direction $v$ . Le changement orthogonal préserve l'aire, donc l'aire intérieure vaut $\pi(1/2)(1/\sqrt2)=\pi/(2\sqrt2)$ .

Exercice 5 — Adjoint pour un produit scalaire pondéré

Sur

\mathbb R^2

, poser

\langle x,y\rangle_G=x^TGy

avec

G=\operatorname{diag}(1,2)

. Soit

A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Calculer son adjoint pour ce produit scalaire.
Dire si $A$ est autoadjointe ou orthogonale pour ce produit.

Corrigé détaillé

L'égalité $\langle Ax,y\rangle_G=\langle x,A^*y\rangle_G$ donne $A^TG=GA^*$ , donc $A^*=G^{-1}A^TG$ . Ici $A^*=\begin{pmatrix}0&2\\1/2&0\end{pmatrix}$ .
Cette matrice diffère de $A$ , donc l'endomorphisme n'est pas autoadjoint pour ce produit, malgré sa symétrie usuelle. Pour être orthogonal, il faudrait $A^TGA=G$ . Or $A^TGA=\operatorname{diag}(2,1)\ne G$ . On peut aussi noter que $e_1$ a norme pondérée $1$ , mais son image $e_2$ a norme $\sqrt2$ .

Exercice 6 — Distance à une droite affine

Soit la droite

D=\{(1,0,1)+t(1,1,0):t\in\mathbb R\}

a=(2,0,3)

Déterminer le point de $D$ le plus proche de $a$ .
Calculer la distance et prouver l'unicité par une identité de Pythagore.

Corrigé détaillé

Avec $b=(1,0,1)$ et $u=(1,1,0)$ , le paramètre optimal est $t_0=(a-b)\cdot u/\|u\|^2=1/2$ . Le point projeté est $p=(3/2,1/2,1)$ .
Le résidu $a-p=(1/2,-1/2,2)$ est orthogonal à $u$ . Sa norme carrée vaut $1/4+1/4+4=9/2$ , donc $d(a,D)=3/\sqrt2$ . Pour tout $t$ , $a-(b+tu)=(a-p)-(t-t_0)u$ ; l'orthogonalité donne $\|a-(b+tu)\|^2=9/2+2(t-1/2)^2$ . Le minimum est donc atteint uniquement en $t=1/2$ .

Exercice 7 — Matrice de Gram et volume

Dans

\mathbb R^3

, prendre

u=(1,1,0)

v=(1,-1,1)

Calculer leur matrice de Gram et l'aire du parallélogramme engendré.
Calculer la projection de $a=(1,0,0)$ sur leur plan.

Corrigé détaillé

$u\cdot u=2$ , $v\cdot v=3$ , $u\cdot v=0$ . La matrice de Gram est $\operatorname{diag}(2,3)$ , de déterminant $6$ . L'aire est donc $\sqrt6$ .
Comme les vecteurs sont orthogonaux, $p(a)=(a\cdot u)u/2+(a\cdot v)v/3=u/2+v/3=(5/6,1/6,1/3)$ . Le résidu $(1/6,-1/6,-1/3)$ est orthogonal aux deux vecteurs. Sa norme carrée vaut $1/36+1/36+1/9=1/6$ , d'où une distance au plan égale à $1/\sqrt6$ .

Exercice 8 — Caractérisation d'une projection orthogonale

Soit

P

un endomorphisme euclidien tel que

P^2=P

Montrer que $P$ est une projection orthogonale si et seulement s'il est autoadjoint.
Si $P\ne0$ est une projection orthogonale, calculer sa norme opératorielle euclidienne.

Corrigé détaillé

Si $P=P^*$ , pour $u=Px$ et $v\in\ker P$ , $\langle u,v\rangle=\langle x,Pv\rangle=0$ . L'image et le noyau sont donc orthogonaux et supplémentaires. Réciproquement, pour les décompositions orthogonales $x=u+v$ et $y=u'+v'$ , $\langle Px,y\rangle=\langle u,u'\rangle=\langle x,Py\rangle$ , donc $P=P^*$ .
Pythagore donne $\|x\|^2=\|Px\|^2+\|x-Px\|^2$ , donc $\|P\|\leq1$ . Un vecteur unitaire de l'image est fixé, d'où $\|P\|=1$ . Pour la projection nulle, la norme vaut $0$ .

Exercice 9 — Composition de deux réflexions

Dans le plan euclidien, soit

s_0

la réflexion par rapport à l'axe horizontal et

s_\alpha

celle par rapport à la droite d'angle

\alpha

Écrire leurs matrices.
Calculer $s_\alpha s_0$ et interpréter le résultat.

Corrigé détaillé

On a $S_0=\operatorname{diag}(1,-1)$ . Si $R_\alpha$ est la rotation d'angle $\alpha$ , alors $S_\alpha=R_\alpha S_0R_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos2\alpha&\sin2\alpha\\\sin2\alpha&-\cos2\alpha\end{pmatrix}$ .
La multiplication donne $S_\alpha S_0=\begin{pmatrix}\cos2\alpha&-\sin2\alpha\\\sin2\alpha&\cos2\alpha\end{pmatrix}=R_{2\alpha}$ . La composition de ces deux réflexions est donc une rotation d'angle $2\alpha$ . L'ordre inverse produit $R_{-2\alpha}$ ; l'ordre de composition est essentiel.

Exercice 10 — Racine carrée d'une matrice définie positive

Soit

A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}

Construire une matrice symétrique définie positive $B$ telle que $B^2=A$ .
Justifier l'unicité de cette racine parmi les matrices symétriques définies positives.

Corrigé détaillé

Les directions $(1,1)$ et $(1,-1)$ ont pour valeurs propres $9$ et $1$ . Prendre les racines positives $3,1$ donne $B=\frac12\begin{pmatrix}3+1&3-1\\3-1&3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ . Son carré vaut bien $A$ , et ses valeurs propres sont positives.
Si $C$ est symétrique définie positive et $C^2=A$ , alors $C$ commute avec $A$ . Il conserve donc les deux droites propres distinctes de $A$ . Sur chacune, son scalaire positif doit avoir pour carré $9$ ou $1$ , donc vaut $3$ ou $1$ . Ainsi $C=B$ .

Espaces euclidiens, orthogonalité et formes quadratiques — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Projection sur un plan

Exercice 2 — Orthogonalisation de polynômes

Exercice 3 — Moindres carrés avec données explicites

Exercice 4 — Réduction orthogonale d'une forme quadratique

Exercice 5 — Adjoint pour un produit scalaire pondéré

Exercice 6 — Distance à une droite affine

Exercice 7 — Matrice de Gram et volume

Exercice 8 — Caractérisation d'une projection orthogonale

Exercice 9 — Composition de deux réflexions

Exercice 10 — Racine carrée d'une matrice définie positive

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