Université L2 — licence de mathématiques

Séries entières — 10 exercices corrigés L2

On étudie le rayon de convergence, les opérations à l'intérieur du disque et les comportements aux extrémités réelles. Les identités obtenues à l'intérieur ne sont prolongées au bord qu'après une justification spécifique.

L'essentiel à retenir

Pour $\sum a_nz^n$ , le rayon est donné par $1/R=\limsup|a_n|^{1/n}$ , avec les conventions usuelles pour $0$ et l'infini.
Une série entière converge normalement sur tout disque fermé de rayon strictement inférieur à $R$ et peut y être dérivée ou intégrée terme à terme.
Les séries dérivées ont le même rayon, mais leur convergence aux points du bord peut être différente.
Le théorème d'Abel permet, lorsqu'une série numérique au bord converge, d'identifier la limite radiale de la somme avec cette somme au bord.

Exercice 1 — Rayon et deux extrémités différentes

Étudier

\sum_{n\geq1}x^n/n

Déterminer le rayon et la somme pour $|x|<1$ .
Étudier séparément $x=1$ et $x=-1$ .

Corrigé détaillé

Le quotient des coefficients consécutifs vaut $n/(n+1)\to1$ , donc $R=1$ . À l'intérieur, la dérivée vaut $\sum_{n\geq1}x^{n-1}=1/(1-x)$ . La somme s'annule en zéro, donc elle vaut $-\log(1-x)$ .
En $1$ , on obtient la série harmonique, divergente. En $-1$ , la série $\sum(-1)^n/n$ converge par le critère alterné, sans convergence absolue. Abel donne sa somme comme $\lim_{x\downarrow-1}-\log(1-x)=-\log2$ . L'intervalle de convergence réel est $[-1,1)$ .

Exercice 2 — Lacunes quadratiques

Considérer

F(z)=\sum_{n\geq0}z^{n^2}

Déterminer son rayon de convergence comme série entière en $z$ .
Étudier la convergence en $z=1$ et $z=-1$ .

Corrigé détaillé

Les coefficients valent $1$ aux indices carrés et $0$ ailleurs. Leur limite supérieure à la puissance $1/k$ vaut $1$ , donc $R=1$ . Directement, pour $|z|<1$ , $|z|^{n^2}\leq|z|^n$ pour $n\geq1$ , assurant la convergence ; pour $|z|>1$ , les termes ne tendent pas vers zéro.
En $1$ , tous les termes sont $1$ . En $-1$ , $(-1)^{n^2}=(-1)^n$ , qui ne tend pas vers zéro. La série diverge donc aux deux extrémités réelles, malgré des comportements oscillatoires différents.

Exercice 3 — Somme pondérée par un polynôme

Pour

|x|<1

, calculer

\sum_{n\geq0}(n+1)(n+2)x^n

Utiliser une dérivation de la série géométrique.
En déduire $\sum_{n\geq0}(n+1)(n+2)/2^n$ .

Corrigé détaillé

On part de $\sum_{m\geq0}x^m=(1-x)^{-1}$ . Deux dérivations donnent $\sum_{m\geq2}m(m-1)x^{m-2}=2/(1-x)^3$ . En posant $n=m-2$ , on obtient exactement $\sum_{n\geq0}(n+1)(n+2)x^n=2/(1-x)^3$ . Les dérivations sont valables pour $|x|<1$ .
Avec $x=1/2$ , la somme vaut $2/(1/2)^3=16$ . Le terme initial est $2$ , ce qui est bien inclus dans cette valeur.

Exercice 4 — Une équation différentielle par coefficients

Chercher une solution entière de

y'=2xy

y(0)=1

Établir la récurrence des coefficients.
Déterminer la série, son rayon et la solution.

Corrigé détaillé

Écrivons $y=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ . L'identification donne $a_1=0$ et, pour $n\geq1$ , $(n+1)a_{n+1}=2a_{n-1}$ , avec $a_0=1$ . Tous les coefficients impairs sont nuls. Pour les pairs, $2ka_{2k}=2a_{2k-2}$ , donc $a_{2k}=1/k!$ .
La série est $\sum_{k\geq0}x^{2k}/k!$ . Pour tout $x$ , le quotient des termes absolus successifs est $x^2/(k+1)\to0$ ; le rayon est infini. Cette série vaut $e^{x^2}$ , qui vérifie directement l'équation et la condition initiale.

Exercice 5 — Intégration d'une série géométrique alternée

Développer $\arctan x$ en série entière et déterminer le rayon.
Justifier la convergence en $x=1$ et calculer la somme correspondante.

Corrigé détaillé

Pour $|x|<1$ , $1/(1+x^2)=\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{2n}$ . L'intégration de $0$ à $x$ donne $\arctan x=\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)$ . Les singularités complexes en $\pm i$ , ou le critère sur les coefficients non nuls, donnent $R=1$ .
En $1$ , les amplitudes $1/(2n+1)$ décroissent vers zéro, donc la série converge. Le théorème d'Abel identifie sa somme à $\lim_{x\uparrow1}\arctan x=\pi/4$ . La convergence n'est pas absolue car la série des inverses des entiers impairs diverge.

Exercice 6 — Produit de deux développements

Soit

F(x)=e^x/(1-x)

pour

|x|<1

Donner le coefficient de $x^n$ .
Déterminer le rayon exact de la série obtenue et le comportement des coefficients.

Corrigé détaillé

Les séries $e^x=\sum x^k/k!$ et $(1-x)^{-1}=\sum x^j$ sont absolument convergentes pour $|x|<1$ . Leur produit de Cauchy donne $a_n=\sum_{k=0}^n1/k!$ . Ainsi $F(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ .
On a $a_n\to e$ , donc $a_n^{1/n}\to1$ et le rayon vaut exactement $1$ . En particulier, les coefficients restent bornés mais ne tendent pas vers zéro. Au point $x=1$ , les termes $a_n$ ne tendent pas vers zéro ; la série y diverge.

Exercice 7 — Une série à rayon infini non exponentielle

Poser

F(x)=\sum_{n\geq0}x^n/(n!)^2

Montrer que $F$ est définie pour tout réel et établir $xF''+F'-F=0$ .
Calculer $F(0)$ , $F'(0)$ et montrer que $F$ est strictement croissante sur $[0,\infty)$ .

Corrigé détaillé

Le quotient des termes absolus vaut $|x|/(n+1)^2\to0$ , donc $R=\infty$ . Le coefficient de $x^n$ dans $xF''+F'$ est $(n+1)^2/((n+1)!)^2=1/(n!)^2$ , y compris pour $n=0$ . Il coïncide avec celui de $F$ , d'où l'équation.
Les coefficients donnent $F(0)=1$ et $F'(0)=1$ . Pour $x\geq0$ , $F'(x)=\sum_{n\geq1}n x^{n-1}/(n!)^2\geq1$ , donc $F$ est strictement croissante. Toutes les dérivations sont licites grâce au rayon infini.

Exercice 8 — Développement d'une fraction rationnelle

Développer

f(x)=1/[(1-x)(1-2x)]

au voisinage de zéro.

Calculer les coefficients par décomposition en éléments simples.
Retrouver une récurrence et le rayon de convergence.

Corrigé détaillé

On résout $1=A(1-2x)+B(1-x)$ : $A+B=1$ et $2A+B=0$ , donc $A=-1$ , $B=2$ . Ainsi $f=-1/(1-x)+2/(1-2x)=\sum_{n\geq0}(2^{n+1}-1)x^n$ pour $|x|<1/2$ .
Comme $(1-3x+2x^2)\sum a_nx^n=1$ , on a $a_0=1$ , $a_1=3$ , puis $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ . La formule explicite vérifie cette récurrence. Enfin $|a_n|^{1/n}\to2$ , donc $R=1/2$ .

Exercice 9 — Rayon après modification des coefficients

Soit

\sum a_nz^n

de rayon

R\in(0,\infty)

Montrer que $\sum n^3a_nz^n$ a le même rayon.
Déterminer le rayon de $\sum a_nz^{2n}$ et expliquer le changement de variable.

Corrigé détaillé

Pour $n\geq1$ , $|n^3a_n|^{1/n}=n^{3/n}|a_n|^{1/n}$ et $n^{3/n}\to1$ . La limite supérieure reste donc $1/R$ ; le coefficient initial, éventuellement annulé, n'influence pas le rayon.
En posant $w=z^2$ , la série est la série initiale évaluée en $w$ . Elle converge absolument si $|z|^2<R$ et diverge si $|z|^2>R$ . Son rayon est donc $\sqrt R$ . Aucune conclusion uniforme n'est possible sur le cercle $|z|=\sqrt R$ sans information supplémentaire sur la série initiale.

Exercice 10 — Une somme intégrée deux fois

Pour

|x|<1

, poser

S(x)=\sum_{n\geq1}x^n/[n(n+1)]

Calculer $S(x)$ pour $x\ne0$ et prolonger en zéro.
Étudier la convergence uniforme sur $[0,1]$ et calculer $S(1)$ .

Corrigé détaillé

Avec $1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)$ , on obtient $S=-\log(1-x)-[-\log(1-x)-x]/x=1+(1-x)\log(1-x)/x$ . En zéro, la série donne $S(0)=0$ , ce qui est aussi la limite de cette expression.
Sur $[0,1]$ , le terme est majoré par $1/[n(n+1)]$ , dont la somme télescopique vaut $1$ . La convergence est normale, donc uniforme. En $1$ , $S(1)=\sum(1/n-1/(n+1))=1$ , conforme à la limite de la formule puisque $(1-x)\log(1-x)\to0$ .

Séries entières — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Rayon et deux extrémités différentes

Exercice 2 — Lacunes quadratiques

Exercice 3 — Somme pondérée par un polynôme

Exercice 4 — Une équation différentielle par coefficients

Exercice 5 — Intégration d'une série géométrique alternée

Exercice 6 — Produit de deux développements

Exercice 7 — Une série à rayon infini non exponentielle

Exercice 8 — Développement d'une fraction rationnelle

Exercice 9 — Rayon après modification des coefficients

Exercice 10 — Une somme intégrée deux fois

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