Université L2 — licence de mathématiques

Extrema de fonctions de plusieurs variables — 10 exercices corrigés L2

On distingue extrema locaux, extrema globaux et extrema sous contrainte. Les arguments utilisent les points critiques, la Hessienne, la compacité et les multiplicateurs de Lagrange avec vérification des hypothèses de régularité.

L'essentiel à retenir

Pour une fonction différentiable sur un ouvert, un extremum local intérieur impose un gradient nul.
À un point critique, une Hessienne définie positive donne un minimum local strict ; définie négative, un maximum local strict ; indéfinie, un point selle.
Une Hessienne seulement semi-définie ne permet pas de conclure sans étude supplémentaire.
Sous une contrainte régulière $g=0$ , les extrema vérifient $\nabla f=\lambda\nabla g$ . Sur un compact, la continuité assure l'existence d'extrema globaux.

Exercice 1 — Un minimum global quadratique

Soit

f(x,y)=x^2+xy+y^2-2x-4y

Déterminer et classifier les points critiques.
Calculer le minimum global par translation au point critique.

Corrigé détaillé

Le gradient nul donne $2x+y=2$ , $x+2y=4$ , donc $(x,y)=(0,2)$ . La Hessienne $H=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1,3>0$ , donc le point est un minimum local strict.
Posons $u=x$ , $v=y-2$ . Alors $f=-4+u^2+uv+v^2=-4+(u+v/2)^2+3v^2/4$ . Le dernier terme est positif sauf pour $u=v=0$ . Ainsi le minimum global unique est $-4$ , atteint en $(0,2)$ ; il n'existe pas de maximum car $f(x,2)\to\infty$ .

Exercice 2 — Deux points critiques de natures différentes

Étudier

f(x,y)=x^3-3x+y^2

Déterminer les points critiques et leur nature.
Dire si des extrema globaux existent.

Corrigé détaillé

$\nabla f=(3x^2-3,2y)$ s'annule en $(1,0)$ et $(-1,0)$ . La Hessienne est $\operatorname{diag}(6x,2)$ . En $(1,0)$ , elle est définie positive : minimum local strict de valeur $-2$ . En $(-1,0)$ , ses signes sont opposés : point selle de valeur $2$ .
Sur l'axe $y=0$ , $f(x,0)=x^3-3x$ tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ et vers $-\infty$ quand $x\to-\infty$ . La fonction n'a donc ni minimum global ni maximum global. Le minimum local ne doit pas être confondu avec un minimum absolu.

Exercice 3 — Hessienne nulle et termes d'ordre quatre

Comparer

f(x,y)=x^4+y^4

g(x,y)=x^4-y^4

Calculer leurs gradients et Hessiennes en zéro.
Classifier zéro pour chacune en utilisant directement les signes.

Corrigé détaillé

Les gradients sont $(4x^3,4y^3)$ et $(4x^3,-4y^3)$ ; ils s'annulent en zéro. Les Hessiennes y sont toutes deux nulles. Le test quadratique est donc muet dans les deux cas.
Pour $f$ , $f(x,y)>0=f(0,0)$ dès que $(x,y)\ne0$ , donc zéro est un minimum global strict. Pour $g$ , sur l'axe horizontal $g(t,0)=t^4>0$ , tandis que sur l'axe vertical $g(0,t)=-t^4<0$ . Chaque voisinage de zéro contient donc des valeurs plus grandes et plus petites : zéro est un point selle.

Exercice 4 — Extrema sur un disque fermé

Déterminer les extrema de

f(x,y)=x^2+2y^2

sur

D=\{x^2+y^2\leq1\}

Étudier l'intérieur et la frontière.
Donner toutes les valeurs et tous les points d'atteinte des extrema globaux.

Corrigé détaillé

Le seul point critique intérieur est $(0,0)$ , de valeur $0$ . Sur le cercle, les multiplicateurs donnent $(2x,4y)=\lambda(2x,2y)$ . Si $x,y$ étaient tous deux non nuls, on aurait simultanément $\lambda=1$ et $\lambda=2$ , impossible. Les candidats sont donc $(\pm1,0)$ et $(0,\pm1)$ .
Leurs valeurs sont respectivement $1$ et $2$ . La continuité sur le disque compact assure l'existence des extrema. Le minimum global vaut $0$ , uniquement à l'origine ; le maximum vaut $2$ , atteint exactement en $(0,1)$ et $(0,-1)$ .

Exercice 5 — Produit sous contrainte elliptique

Optimiser

f(x,y)=xy

sous

x^2+4y^2=4

Résoudre les équations de Lagrange.
Vérifier les valeurs extrêmes par une inégalité directe.

Corrigé détaillé

Le gradient de la contrainte $(2x,8y)$ ne s'annule pas sur l'ellipse. Les équations sont $y=2\lambda x$ , $x=8\lambda y$ . Aucun des deux nombres ne peut être nul à un candidat, donc $16\lambda^2=1$ . On obtient $x=\pm2y$ ; la contrainte donne $y^2=1/2$ et $x^2=2$ . Les produits valent $\pm1$ .
L'inégalité $2|x\cdot2y|\leq x^2+4y^2=4$ donne $|xy|\leq1$ . L'égalité exige $|x|=2|y|$ , exactement les candidats. Le maximum est $1$ , le minimum $-1$ .

Exercice 6 — Fonction coercive à plusieurs minima

Soit

f(x,y)=x^4+y^4-2xy

Déterminer les points critiques et leur nature.
Calculer le minimum global et justifier son existence.

Corrigé détaillé

Les équations sont $y=2x^3$ , $x=2y^3$ . Elles donnent l'origine ou $x^8=1/16$ , donc $x=y=\pm1/\sqrt2$ . À l'origine, la Hessienne $\begin{pmatrix}0&-2\\-2&0\end{pmatrix}$ est indéfinie : selle. Aux deux autres points, elle vaut $\begin{pmatrix}6&-2\\-2&6\end{pmatrix}$ , de valeurs propres $4,8>0$ : minima stricts.
La partie quartique domine le terme quadratique, donc $f$ est coercive et atteint un minimum. Plus précisément, $f=(x^2-y^2)^2+2(xy-1/2)^2-1/2$ . Le minimum global est $-1/2$ , exactement aux deux points trouvés.

Exercice 7 — Optimisation sur un triangle

Sur

T=\{x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}

, étudier

f(x,y)=xy(1-x-y)

Trouver les points critiques intérieurs.
Déterminer les extrema globaux en traitant la frontière.

Corrigé détaillé

$f_x=y(1-2x-y)$ et $f_y=x(1-x-2y)$ . À l'intérieur, $x,y>0$ , donc $2x+y=1$ et $x+2y=1$ , d'où $(1/3,1/3)$ . La valeur est $1/27$ . La Hessienne en ce point est $\begin{pmatrix}-2/3&-1/3\\-1/3&-2/3\end{pmatrix}$ , définie négative.
Sur les trois côtés, l'un des facteurs $x,y,1-x-y$ est nul, donc $f=0$ . Dans tout le triangle, les trois facteurs sont positifs ou nuls. Ainsi le minimum global est $0$ sur toute la frontière ; le maximum global unique est $1/27$ au point intérieur trouvé.

Exercice 8 — Contrainte non régulière

Minimiser

f(x,y)=x

sous la contrainte

g(x,y)=y^2-x^3=0

Déterminer directement le minimum.
Montrer pourquoi les équations ordinaires de Lagrange ne repèrent pas le minimiseur.

Corrigé détaillé

La contrainte impose $x^3=y^2\geq0$ , donc $x\geq0$ . La valeur minimale de $f$ est $0$ , atteinte uniquement en $(0,0)$ , puisque $x=0$ impose $y=0$ . La paramétrisation $(x,y)=(t^2,t^3)$ donne aussi $f=t^2$ .
Au minimiseur, $\nabla f=(1,0)$ et $\nabla g=(-3x^2,2y)=(0,0)$ . Aucun scalaire $\lambda$ ne peut satisfaire $\nabla f=\lambda\nabla g$ . L'hypothèse de régularité de la contrainte manque ; le théorème de Lagrange n'affirme donc rien ici.

Exercice 9 — Distance minimale à un hyperplan

Minimiser

x^2+y^2+z^2

sous

x+2y+2z=3

Utiliser les multiplicateurs.
Prouver globalement l'optimalité et calculer la distance de l'origine au plan.

Corrigé détaillé

Les équations donnent $(2x,2y,2z)=\lambda(1,2,2)$ , donc $(x,y,z)=(\lambda/2,\lambda,\lambda)$ . La contrainte devient $9\lambda/2=3$ , d'où $\lambda=2/3$ et le point $(1/3,2/3,2/3)$ . Sa norme carrée vaut $1$ .
Cauchy-Schwarz donne $9=(x+2y+2z)^2\leq(1+4+4)(x^2+y^2+z^2)=9\|x\|^2$ , donc $\|x\|^2\geq1$ . L'égalité exige un vecteur proportionnel à $(1,2,2)$ , ce qui impose le point précédent. La distance est donc $1$ .

Exercice 10 — Infimum non atteint sur un domaine non compact

Étudier

f(x,y)=e^x+y^2

sur

\mathbb R^2

Rechercher les points critiques et déterminer l'infimum.
Comparer avec la minimisation sur $[-A,A]\times\mathbb R$ , où $A>0$ .

Corrigé détaillé

Le gradient est $(e^x,2y)$ et ne s'annule jamais. La fonction est strictement positive, tandis que $f(-n,0)=e^{-n}\to0$ . Son infimum est donc $0$ , non atteint. Elle n'a pas de maximum puisqu'elle tend vers l'infini sur $(x,0)$ lorsque $x\to\infty$ .
Sur la bande, $e^x\geq e^{-A}$ et $y^2\geq0$ , donc le minimum unique est $e^{-A}$ en $(-A,0)$ . Le domaine n'est toujours pas compact, mais les inégalités explicites assurent l'atteinte du minimum. Le minimum est situé sur la frontière, sans gradient nul.

Extrema de fonctions de plusieurs variables — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Un minimum global quadratique

Exercice 2 — Deux points critiques de natures différentes

Exercice 3 — Hessienne nulle et termes d'ordre quatre

Exercice 4 — Extrema sur un disque fermé

Exercice 5 — Produit sous contrainte elliptique

Exercice 6 — Fonction coercive à plusieurs minima

Exercice 7 — Optimisation sur un triangle

Exercice 8 — Contrainte non régulière

Exercice 9 — Distance minimale à un hyperplan

Exercice 10 — Infimum non atteint sur un domaine non compact

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