Université L2 — licence de mathématiques

Fonctions de plusieurs variables et calcul différentiel — 10 exercices corrigés L2

Ce chapitre traite continuité, différentiabilité, dérivées composées et théorèmes locaux. La place exacte des fonctions implicites et des changements de coordonnées dans le programme de L2 dépend de l'établissement.

L'essentiel à retenir

La différentiabilité en $a$ signifie $f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$ avec $L$ linéaire ; l'existence des dérivées partielles ne suffit pas.
Une fonction de classe $C^1$ sur un ouvert est différentiable et sa différentielle est représentée par sa matrice jacobienne.
La règle de chaîne s'écrit $D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))Df(a)$ lorsque les applications concernées sont différentiables.
Les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites supposent notamment une régularité $C^1$ et l'inversibilité de la différentielle appropriée.

Exercice 1 — Dérivées directionnelles sans continuité

Définir

f(0,0)=0

f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)

ailleurs.

Étudier la continuité en zéro.
Calculer toutes les dérivées directionnelles en zéro et conclure sur la différentiabilité.

Corrigé détaillé

Sur la parabole $y=x^2$ , pour $x\ne0$ , $f(x,x^2)=1/2$ . La limite n'est donc pas $f(0,0)$ : la fonction est discontinue.
Dans la direction $(a,b)$ avec $b\ne0$ , $f(ta,tb)=t a^2b/(t^2a^4+b^2)$ , donc $f(ta,tb)/t\to a^2/b$ . Si $b=0$ , le quotient est nul. Toutes les dérivées directionnelles existent, mais leur dépendance en $(a,b)$ n'est pas linéaire : celles des directions canoniques sont nulles, tandis que celle de $(1,1)$ vaut $1$ . La fonction n'est pas différentiable.

Exercice 2 — Continuité sans différentiabilité

Poser

f(0,0)=0

f(x,y)=x^2y/(x^2+y^2)

ailleurs.

Montrer la continuité en zéro et calculer les dérivées partielles.
Décider de la différentiabilité en utilisant une droite bien choisie.

Corrigé détaillé

Avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , $|f(x,y)|\leq|y|\leq r$ , donc $f\to0$ . Sur les deux axes, $f$ est nulle ; les deux dérivées partielles en zéro valent donc $0$ .
Si $f$ était différentiable, sa différentielle serait nulle. Mais pour $(x,y)=(t,t)$ , $f(t,t)=t/2$ , donc $|f(t,t)|/\|(t,t)\|=1/(2\sqrt2)$ pour $t\ne0$ . Ce quotient ne tend pas vers zéro, contredisant le reste requis. La fonction est continue mais non différentiable en zéro ; les seules dérivées partielles ne détectent pas ce défaut.

Exercice 3 — Une estimation qui prouve la différentiabilité

Définir

f(0,0)=0

f(x,y)=x^2y^2/(x^2+y^2)

ailleurs.

Prouver la différentiabilité en zéro et calculer sa différentielle.
Étudier la continuité du gradient en zéro.

Corrigé détaillé

L'inégalité $x^2y^2\leq(x^2+y^2)^2/4$ donne $|f(x,y)|\leq\|(x,y)\|^2/4$ . Donc $f(h)=o(\|h\|)$ et $Df(0)=0$ .
Hors de zéro, $\partial_xf=2xy^4/(x^2+y^2)^2$ et $\partial_yf=2yx^4/(x^2+y^2)^2$ . Comme $y^4\leq(x^2+y^2)^2$ , on a $|\partial_xf|\leq2|x|$ et, de même, $|\partial_yf|\leq2|y|$ . Les deux dérivées tendent vers zéro, leurs valeurs en zéro. Le gradient est continu : $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$ .

Exercice 4 — Règle de chaîne sur une courbe

Soit

f(x,y)=e^{xy}

\gamma(t)=(t,t^2)

Calculer $(f\circ\gamma)'$ par la règle de chaîne.
Calculer $(f\circ\gamma)''(0)$ en utilisant la Hessienne et comparer au calcul direct.

Corrigé détaillé

$\nabla f=e^{xy}(y,x)$ et $\gamma'=(1,2t)$ , donc $(f\circ\gamma)'=e^{t^3}(t^2+2t^2)=3t^2e^{t^3}$ .
En général, $(f\circ\gamma)''=\gamma'^TH_f(\gamma)\gamma'+\nabla f(\gamma)\cdot\gamma''$ . En zéro, $\nabla f(0)=0$ , $H_f(0)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $\gamma'(0)=(1,0)$ ; les deux termes sont nuls. Donc la dérivée seconde vaut $0$ . Directement, $f\circ\gamma=e^{t^3}=1+t^3+O(t^6)$ , ce qui confirme ce résultat.

Exercice 5 — Développement de Taylor à deux variables

Pour

f(x,y)=\log(1+x+y)+xy

, définie lorsque

1+x+y>0

, 1) calculer le Taylor d'ordre

2

en zéro ;

déterminer la limite de $[f(t,t)-2t]/t^2$ .

Corrigé détaillé

Posons $u=x+y$ . Le développement $\log(1+u)=u-u^2/2+o(u^2)$ donne, puisque $u^2\leq2(x^2+y^2)$ , $f=x+y-(x+y)^2/2+xy+o(x^2+y^2)$ . Les termes croisés s'annulent : $f=x+y-x^2/2-y^2/2+o(x^2+y^2)$ .
Sur la diagonale, $f(t,t)=2t-t^2+o(t^2)$ . Le quotient demandé tend donc vers $-1$ . On retrouve ce résultat à partir de $\log(1+2t)+t^2=2t-2t^2+t^2+o(t^2)$ .

Exercice 6 — Fonction implicite et dérivées

Considérer

F(x,y)=y+y^3-x

Montrer qu'au voisinage de zéro, l'équation $F=0$ définit une fonction $y=\varphi(x)$ de classe $C^2$ .
Calculer $\varphi'(0)$ et $\varphi''(0)$ .

Corrigé détaillé

$F$ est polynomiale, $F(0,0)=0$ et $\partial_yF(0,0)=1\ne0$ . Le théorème des fonctions implicites donne une unique fonction locale, même de classe $C^\infty$ .
L'identité $\varphi+\varphi^3=x$ donne $(1+3\varphi^2)\varphi'=1$ , donc $\varphi'(0)=1$ . Une seconde dérivation donne $(1+3\varphi^2)\varphi''+6\varphi(\varphi')^2=0$ , donc $\varphi''(0)=0$ . Plus généralement, la première formule montre que la fonction implicite est strictement croissante sur son domaine local.

Exercice 7 — Inversion locale d'une application quadratique

Soit

F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)

Déterminer les points où le théorème d'inversion locale s'applique.
Calculer la différentielle de l'inverse local au point image de $(1,0)$ et expliquer pourquoi $F$ n'est pas globalement injective.

Corrigé détaillé

$DF(x,y)=\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}$ , de déterminant $4(x^2+y^2)$ . Le théorème s'applique exactement aux points non nuls.
$F(1,0)=(1,0)$ et $DF(1,0)=2I$ , donc la différentielle de l'inverse local y vaut $I/2$ . Globalement, $F(-x,-y)=F(x,y)$ , donnant deux antécédents distincts pour toute image non nulle. L'inversion locale n'implique donc pas l'injectivité globale. Au point zéro, la différentielle est nulle et ne permet aucune inversion différentiable.

Exercice 8 — Gradient et directions de variation

Soit

f(x,y,z)=x^2y+yz

a=(1,2,-1)

Calculer la dérivée dans la direction unitaire de $(1,1,1)$ .
Trouver les directions unitaires de croissance maximale et de variation nulle.

Corrigé détaillé

$\nabla f=(2xy,x^2+z,y)$ , donc $\nabla f(a)=(4,0,2)$ . Pour $u=(1,1,1)/\sqrt3$ , $D_uf(a)=\nabla f(a)\cdot u=6/\sqrt3=2\sqrt3$ .
Par Cauchy-Schwarz, le maximum sur les directions unitaires vaut $\|\nabla f(a)\|=\sqrt{20}=2\sqrt5$ , atteint uniquement pour $u=(2,0,1)/\sqrt5$ . La variation est nulle exactement pour les vecteurs unitaires du plan $4u_1+2u_3=0$ , soit $2u_1+u_3=0$ . Par exemple, $(0,1,0)$ est une telle direction.

Exercice 9 — Dérivées mixtes et hypothèses de Schwarz

Définir

f(0,0)=0

f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

ailleurs.

Calculer $\partial_y(\partial_xf)(0,0)$ et $\partial_x(\partial_yf)(0,0)$ .
Expliquer pourquoi le théorème de Schwarz ne s'applique pas.

Corrigé détaillé

Pour $y\ne0$ , $\partial_xf(0,y)=\lim_{h\to0}y(h^2-y^2)/(h^2+y^2)=-y$ ; en zéro, $\partial_xf(0,0)=0$ . Donc $\partial_y\partial_xf(0,0)=-1$ . De même, pour $x\ne0$ , $\partial_yf(x,0)=x$ , d'où $\partial_x\partial_yf(0,0)=1$ .
L'existence des deux dérivées mixtes en un point ne suffit pas à assurer leur égalité. Schwarz exige, dans sa version usuelle, que les dérivées secondes soient continues dans un voisinage du point. Ici les valeurs différentes démontrent que cette régularité manque.

Exercice 10 — Coordonnées polaires et différentielle

Soit

\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)

avec

r>0

Calculer sa jacobienne et préciser son inversibilité locale.
Pour une fonction $f\in C^1$ , exprimer les dérivées de $g=f\circ\Phi$ et retrouver le gradient cartésien.

Corrigé détaillé

$D\Phi=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$ , de déterminant $r>0$ . L'application est localement inversible ; elle n'est pas injective sur tout $\mathbb R$ en angle, à cause de la périodicité.
La chaîne donne $g_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta$ et $g_\theta=-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta$ . En inversant la rotation, $f_x=g_r\cos\theta-(g_\theta/r)\sin\theta$ et $f_y=g_r\sin\theta+(g_\theta/r)\cos\theta$ . Le facteur $1/r$ explique pourquoi ces formules ne s'utilisent pas directement à l'origine.

Fonctions de plusieurs variables et calcul différentiel — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Dérivées directionnelles sans continuité

Exercice 2 — Continuité sans différentiabilité

Exercice 3 — Une estimation qui prouve la différentiabilité

Exercice 4 — Règle de chaîne sur une courbe

Exercice 5 — Développement de Taylor à deux variables

Exercice 6 — Fonction implicite et dérivées

Exercice 7 — Inversion locale d'une application quadratique

Exercice 8 — Gradient et directions de variation

Exercice 9 — Dérivées mixtes et hypothèses de Schwarz

Exercice 10 — Coordonnées polaires et différentielle

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