Université L2 — licence de mathématiques

Groupes finis et permutations — 10 exercices corrigés L2

Ce chapitre propose une introduction structurée aux groupes, aux permutations et aux actions. L'algèbre abstraite n'occupe pas partout la même place en L2 ; les notions d'action, de quotient ou de groupe alterné peuvent relever de parcours différents selon l'université. Les permutations se composent de droite à gauche.

L'essentiel à retenir

  • L'ordre d'un élément est le plus petit entier strictement positif donnant l'identité, s'il existe. L'ordre d'une permutation est le PPCM des longueurs de ses cycles disjoints.
  • Un cycle de longueur rr a pour signature (−1)r−1(-1)^{r-1}. La signature est un morphisme de SnS_n vers {1,−1}\{1,-1\}.
  • Dans un groupe fini, l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe ; cela découle de la partition en classes à gauche.
  • Pour une action d'un groupe fini, la taille d'une orbite est l'indice du stabilisateur. Un quotient de groupes exige un sous-groupe normal.

Exercice 1 — Cycles, ordre et puissances

Dans S8S_8, soit σ=(1 4 2)(3 5)(6 7 8)\sigma=(1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8).
  1. Calculer son ordre et sa signature.
  2. Calculer σ2025\sigma^{2025} et son inverse.
Corrigé détaillé
  1. Les cycles sont disjoints, de longueurs 3,2,33,2,3. L'ordre est ppcm⁡(3,2,3)=6\operatorname{ppcm}(3,2,3)=6. Les deux cycles de longueur 33 sont pairs et la transposition est impaire, donc sgn⁡(σ)=−1\operatorname{sgn}(\sigma)=-1.
  2. Comme 20252025 est divisible par 33 et impair, σ2025=(3 5)\sigma^{2025}=(3\ 5). L'inverse de σ\sigma s'obtient en renversant chaque cycle : σ−1=(1 2 4)(3 5)(6 8 7)\sigma^{-1}=(1\ 2\ 4)(3\ 5)(6\ 8\ 7). L'inverse de σ2025\sigma^{2025} est la même transposition (3 5)(3\ 5).

Exercice 2 — Composition non commutative

Dans S4S_4, poser α=(1 2 3)\alpha=(1\ 2\ 3) et β=(2 4)\beta=(2\ 4).
  1. Calculer αβ\alpha\beta et βα\beta\alpha.
  2. Calculer le conjugué βαβ−1\beta\alpha\beta^{-1} et comparer les ordres.
Corrigé détaillé
  1. En appliquant d'abord le facteur de droite, αβ\alpha\beta envoie 1→2→4→3→11\to2\to4\to3\to1, donc αβ=(1 2 4 3)\alpha\beta=(1\ 2\ 4\ 3). De même, βα\beta\alpha envoie 1→4→2→3→11\to4\to2\to3\to1, donc βα=(1 4 2 3)\beta\alpha=(1\ 4\ 2\ 3). Les deux produits diffèrent.
  2. La conjugaison remplace chaque symbole par son image : βαβ−1=(β(1) β(2) β(3))=(1 4 3)\beta\alpha\beta^{-1}=(\beta(1)\ \beta(2)\ \beta(3))=(1\ 4\ 3). C'est un cycle de longueur 33, comme α\alpha ; la conjugaison conserve l'ordre.

Exercice 3 — Sous-groupes d'un groupe cyclique

Dans le groupe additif Z/18Z\mathbb Z/18\mathbb Z, 1) déterminer le sous-groupe engendré par 12‾\overline{12} et son ordre ;
  1. déterminer tous les sous-groupes et préciser lesquels contiennent ce sous-groupe.
Corrigé détaillé
  1. Les multiples de 1212 modulo 1818 sont 0,12,6,00,12,6,0, donc ⟨12‾⟩={0‾,6‾,12‾}\langle\overline{12}\rangle=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}, d'ordre 18/gcd⁡(18,12)=318/\gcd(18,12)=3.
  2. Pour chaque diviseur dd de 1818, il existe un unique sous-groupe d'ordre dd, engendré par 18/d‾\overline{18/d}. Les ordres possibles sont 1,2,3,6,9,181,2,3,6,9,18. Un tel sous-groupe contient celui d'ordre 33 exactement lorsque 33 divise son ordre. Les sous-groupes recherchés ont donc les ordres 3,6,9,183,6,9,18, engendrés respectivement par 6‾,3‾,2‾,1‾\overline6,\overline3,\overline2,\overline1.

Exercice 4 — Noyau d'un morphisme de réduction

Considérer φ:Z/12Z→Z/4Z\varphi:\mathbb Z/12\mathbb Z\to\mathbb Z/4\mathbb Z, φ(x‾)=x‾\varphi(\overline x)=\overline x.
  1. Vérifier que cette application est bien définie, puis déterminer noyau et image.
  2. Décrire le quotient par le noyau et l'isomorphisme obtenu.
Corrigé détaillé
  1. Si x−yx-y est multiple de 1212, il est multiple de 44, donc l'image ne dépend pas du représentant. L'addition est respectée. Le noyau est K={0‾,4‾,8‾}K=\{\overline0,\overline4,\overline8\} et l'image est tout Z/4Z\mathbb Z/4\mathbb Z, puisque les classes de 0,1,2,30,1,2,3 ont des antécédents.
  2. Le groupe source est abélien, donc KK est normal. Ses quatre classes sont KK, 1‾+K\overline1+K, 2‾+K\overline2+K, 3‾+K\overline3+K. L'application x‾+K↦x mod 4\overline x+K\mapsto x\bmod4 est bien définie, bijective et additive ; elle réalise (Z/12Z)/K≃Z/4Z(\mathbb Z/12\mathbb Z)/K\simeq\mathbb Z/4\mathbb Z.

Exercice 5 — Un sous-ensemble de permutations est-il un sous-groupe ?

Dans S3S_3, soit H={e,(1 2),(1 3)}H=\{e,(1\ 2),(1\ 3)\}.
  1. Montrer que HH n'est pas un sous-groupe de deux façons.
  2. Déterminer le sous-groupe engendré par ses éléments.
Corrigé détaillé
  1. Le produit (1 2)(1 3)=(1 3 2)(1\ 2)(1\ 3)=(1\ 3\ 2) n'appartient pas à HH : la stabilité manque. Une autre preuve utilise Lagrange : un éventuel sous-groupe de cardinal 33 serait cyclique d'ordre 33, et ne pourrait contenir une transposition d'ordre 22. Le seul fait que 33 divise 66 ne suffirait pas à conclure.
  2. Les deux transpositions donnent les deux cycles de longueur 33 par leurs produits dans les deux ordres. Leur conjugaison donne aussi (2 3)=(1 2)(1 3)(1 2)(2\ 3)=(1\ 2)(1\ 3)(1\ 2). On obtient les six éléments de S3S_3, donc le sous-groupe engendré est S3S_3.

Exercice 6 — Symétries du carré

Soit D4=⟨r,s∣r4=e,s2=e,srs=r−1⟩D_4=\langle r,s\mid r^4=e,s^2=e,srs=r^{-1}\rangle, groupe des huit symétries du carré.
  1. Calculer les ordres des éléments rkr^k et srksr^k.
  2. Déterminer le centre du groupe.
Corrigé détaillé
  1. Les rotations e,r,r2,r3e,r,r^2,r^3 ont pour ordres 1,4,2,41,4,2,4. La relation implique srks=r−ksr^ks=r^{-k}, donc (srk)2=srksrk=e(sr^k)^2=sr^ksr^k=e. Les quatre réflexions sont non triviales et d'ordre 22.
  2. Une rotation rkr^k commute avec ss exactement si rk=r−kr^k=r^{-k}, soit 2k≡0(mod4)2k\equiv0\pmod4, donc k=0k=0 ou 22. Une réflexion srksr^k ne commute pas avec rr : (srk)r=srk+1(sr^k)r=sr^{k+1}, tandis que r(srk)=srk−1r(sr^k)=sr^{k-1}. L’égalité imposerait r2=er^2=e, contrairement à l’ordre 44 de rr. Ainsi le centre est {e,r2}\{e,r^2\}.

Exercice 7 — Action sur les paires

Le groupe S4S_4 agit sur les parties à deux éléments de {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}.
  1. Déterminer l'orbite et le stabilisateur de {1,2}\{1,2\}.
  2. Vérifier la formule orbite-stabilisateur et préciser si l'action est fidèle.
Corrigé détaillé
  1. Toute paire peut être obtenue comme image de {1,2}\{1,2\}, donc l'orbite contient les (42)=6\binom42=6 paires. Le stabilisateur peut permuter 1,21,2 entre eux et 3,43,4 entre eux : il contient e,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)e,(1\ 2),(3\ 4),(1\ 2)(3\ 4), et seulement eux.
  2. Son cardinal est 44, donc ∣S4∣/4=24/4=6|S_4|/4=24/4=6, conforme à l'orbite. Si une permutation fixe toutes les paires, elle fixe aussi chaque intersection {i,j}∩{i,k}={i}\{i,j\}\cap\{i,k\}=\{i\} pour des indices distincts. Elle fixe donc tous les points : le noyau de l'action est trivial, et l'action est fidèle.

Exercice 8 — Comptage de colliers binaires

Colorier les quatre sommets d'un carré avec deux couleurs, en identifiant seulement les coloriages obtenus par rotation.
  1. Calculer le nombre de coloriages fixés par chacune des quatre rotations.
  2. Utiliser la formule de Burnside pour compter les classes.
Corrigé détaillé
  1. L'identité fixe les 24=162^4=16 coloriages. Une rotation d'un quart de tour, dans chaque sens, forme un cycle sur les quatre sommets ; les couleurs doivent donc toutes être identiques, soit 22 coloriages fixés pour chacune. Le demi-tour possède deux cycles de longueur 22, donnant 22=42^2=4 coloriages fixés.
  2. Burnside donne le nombre d'orbites égal à la moyenne des nombres de points fixes : (16+2+4+2)/4=6(16+2+4+2)/4=6. On n'a pas quotienté par les réflexions ; utiliser le groupe complet des huit symétries serait un autre problème, même si certains petits comptages peuvent coïncider.

Exercice 9 — Groupe alterné et trois-cycles

  1. Montrer que An=ker⁡(sgn⁡)A_n=\ker(\operatorname{sgn}) est un sous-groupe normal de SnS_n, de cardinal n!/2n!/2 pour n≥2n\geq2.
  2. Dans S4S_4, décomposer (1 2)(3 4)(1\ 2)(3\ 4) en produit de trois-cycles et expliquer pourquoi, pour tout n≥2n\geq2, tout élément de AnA_n est produit de trois-cycles.
Corrigé détaillé
  1. La signature est un morphisme surjectif vers {1,−1}\{1,-1\} pour n≥2n\geq2, car une transposition a signature −1-1. Son noyau est normal et d'indice 22, donc de cardinal n!/2n!/2.
  2. Avec la composition de droite à gauche, (1 2)(3 4)=(1 3 2)(1 3 4)(1\ 2)(3\ 4)=(1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4), ce qui se vérifie sur les quatre symboles. Une permutation paire s'écrit comme produit d'un nombre pair de transpositions. On les regroupe par deux : si elles sont égales, le produit est l'identité ; si elles partagent un symbole, c'est un trois-cycle ; si elles sont disjointes, l'identité précédente, après renommage, donne deux trois-cycles.

Exercice 10 — Conjugaison et centralisateur d'un cycle

Dans S4S_4, soit c=(1 2 3 4)c=(1\ 2\ 3\ 4).
  1. Déterminer toutes les permutations qui commutent avec cc.
  2. En déduire la taille de sa classe de conjugaison et vérifier par un comptage direct des quatre-cycles.
Corrigé détaillé
  1. Si τc=cτ\tau c=c\tau, l'image τ(1)\tau(1) détermine toutes les autres, car τ(ck(1))=ck(τ(1))\tau(c^k(1))=c^k(\tau(1)). Il existe donc au plus quatre possibilités. Les quatre puissances e,c,c2,c3e,c,c^2,c^3 commutent effectivement avec cc, donc le centralisateur est ⟨c⟩\langle c\rangle, de cardinal 44.
  2. Pour l'action par conjugaison, le stabilisateur est ce centralisateur. La classe a donc 24/4=624/4=6 éléments. Directement, un quatre-cycle s'écrit de façon unique (1 a b d)(1\ a\ b\ d), où (a,b,d)(a,b,d) parcourt les permutations de 2,3,42,3,4, soit 3!=63!=6. Les deux calculs concordent.

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