Université L2 — licence de mathématiques

Intégrales doubles et changements de variables — 10 exercices corrigés L2

Les domaines sont décrits par des inégalités avant le calcul. Les changements de variables utilisent la valeur absolue du jacobien et une paramétrisation injective à l'intérieur, éventuellement après retrait d'ensembles de mesure nulle.

L'essentiel à retenir

  • Fubini permet de calculer une intégrale double absolument intégrable par intégrales itérées ; Tonelli s'applique aux fonctions mesurables positives.
  • Sur un domaine a≤x≤ba\leq x\leq b, φ(x)≤y≤ψ(x)\varphi(x)\leq y\leq\psi(x), l'intégrale s'écrit ∫ab∫φ(x)ψ(x)f(x,y)dydx\int_a^b\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx.
  • Pour un changement C1C^1 inversible, l'élément d'aire est multiplié par la valeur absolue du déterminant jacobien.
  • En coordonnées polaires, dxdy=r drdθdxdy=r\,drd\theta ; l'angle et les bornes radiales doivent décrire le domaine sans multiplicité positive.

Exercice 1 — Moments d'un triangle

Soit T={x≥0,y≥0,x+y≤1}T=\{x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}.
  1. Calculer ∬Txy dxdy\iint_Txy\,dxdy.
  2. Calculer le centre de gravité de la plaque de densité uniforme sur TT.
Corrigé détaillé
  1. En intégrant d'abord en yy, ∬Txy=∫01x(1−x)2/2 dx=12(1/2−2/3+1/4)=1/24\iint_Txy=\int_0^1x(1-x)^2/2\,dx=\frac12(1/2-2/3+1/4)=1/24.
  2. L'aire est ∫01(1−x)dx=1/2\int_0^1(1-x)dx=1/2. Le moment en xx est ∫01x(1−x)dx=1/6\int_0^1x(1-x)dx=1/6. Par symétrie, le moment en yy vaut aussi 1/61/6. Les coordonnées du centre sont donc (1/6)/(1/2)=1/3(1/6)/(1/2)=1/3 dans chaque direction. Le centre de gravité est (1/3,1/3)(1/3,1/3).

Exercice 2 — Permutation de l'ordre d'intégration

Considérer I=∫01∫x1ey2 dydxI=\int_0^1\int_x^1e^{y^2}\,dydx.
  1. Décrire le domaine et inverser l'ordre.
  2. Calculer II et expliquer l'intérêt du changement.
Corrigé détaillé
  1. Le domaine est D={0≤x≤y≤1}D=\{0\leq x\leq y\leq1\}. À yy fixé entre 00 et 11, xx varie de 00 à yy. L'intégrande est continue sur ce triangle compact ; Fubini donne I=∫01∫0yey2 dxdyI=\int_0^1\int_0^ye^{y^2}\,dxdy.
  2. L'intégrale intérieure vaut yey2ye^{y^2}, donc I=∫01yey2dy=[ey2/2]01=(e−1)/2I=\int_0^1ye^{y^2}dy=[e^{y^2}/2]_0^1=(e-1)/2. L'ordre initial aurait demandé une primitive non élémentaire de ey2e^{y^2} ; l'ordre inversé fait apparaître son facteur dérivé.

Exercice 3 — Couronne circulaire

Sur D={1≤x2+y2≤4}D=\{1\leq x^2+y^2\leq4\}, 1) calculer ∬D(x2+y2) dxdy\iint_D(x^2+y^2)\,dxdy ;
  1. calculer ∬Dx2 dxdy\iint_Dx^2\,dxdy en justifiant une symétrie.
Corrigé détaillé
  1. En polaires, 1≤r≤21\leq r\leq2, 0≤θ<2π0\leq\theta<2\pi. L'intégrale vaut ∫02π∫12r3drdθ=2π(16−1)/4=15π/2\int_0^{2\pi}\int_1^2r^3drd\theta=2\pi(16-1)/4=15\pi/2.
  2. Le domaine est invariant par échange de x,yx,y, donc les intégrales de x2x^2 et y2y^2 sont égales. Leur somme est l'intégrale précédente, d'où ∬Dx2=15π/4\iint_Dx^2=15\pi/4. Directement, ∫02πcos⁡2θdθ=π\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\pi et ∫12r3dr=15/4\int_1^2r^3dr=15/4, ce qui confirme la valeur.

Exercice 4 — Ellipse et transformation linéaire

Soit E={x2/4+y2/9≤1}E=\{x^2/4+y^2/9\leq1\}.
  1. Calculer son aire par changement de variables.
  2. Calculer ∬E(x2/4+y2/9) dxdy\iint_E(x^2/4+y^2/9)\,dxdy.
Corrigé détaillé
  1. Posons x=2ux=2u, y=3vy=3v. Le jacobien absolu vaut 66 et le domaine devient le disque unité. L'aire est donc 6π6\pi.
  2. L'intégrande devient u2+v2=r2u^2+v^2=r^2. Après le changement linéaire puis polaire, l'intégrale est 6∫02π∫01r3drdθ=6⋅2π⋅1/4=3π6\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3drd\theta=6\cdot2\pi\cdot1/4=3\pi. Le jacobien 66 ne doit pas être confondu avec le facteur polaire rr : les deux apparaissent successivement.

Exercice 5 — Un parallélogramme oblique

Soit D={0≤x+y≤2, 0≤x−y≤1}D=\{0\leq x+y\leq2,\ 0\leq x-y\leq1\}.
  1. Calculer son aire.
  2. Calculer ∬D(x2−y2) dxdy\iint_D(x^2-y^2)\,dxdy.
Corrigé détaillé
  1. Posons u=x+yu=x+y, v=x−yv=x-y. L'inverse est x=(u+v)/2x=(u+v)/2, y=(u−v)/2y=(u-v)/2, de jacobien absolu 1/21/2. Le domaine devient [0,2]×[0,1][0,2]\times[0,1], donc son aire est 2⋅1⋅1/2=12\cdot1\cdot1/2=1.
  2. Comme x2−y2=(x+y)(x−y)=uvx^2-y^2=(x+y)(x-y)=uv, l'intégrale vaut 12∫02u du∫01v dv=12⋅2⋅12=1/2\frac12\int_0^2u\,du\int_0^1v\,dv=\frac12\cdot2\cdot\frac12=1/2. Le changement est linéaire inversible et décrit tout le parallélogramme une seule fois.

Exercice 6 — Domaine entre deux paraboles

Soit D={0≤x≤1, x2≤y≤x}D=\{0\leq x\leq1,\ x^2\leq y\leq x\}.
  1. Calculer son aire et ∬Dy dxdy\iint_Dy\,dxdy.
  2. Décrire les bornes dans l'ordre inverse et vérifier l'aire.
Corrigé détaillé
  1. L'aire est ∫01(x−x2)dx=1/6\int_0^1(x-x^2)dx=1/6. Le moment demandé vaut 12∫01(x2−x4)dx=12(1/3−1/5)=1/15\frac12\int_0^1(x^2-x^4)dx=\frac12(1/3-1/5)=1/15.
  2. Pour 0≤y≤10\leq y\leq1, les inégalités deviennent y≤x≤yy\leq x\leq\sqrt y. L'aire est donc ∫01(y−y)dy=2/3−1/2=1/6\int_0^1(\sqrt y-y)dy=2/3-1/2=1/6. Dans le même ordre, le moment est ∫01y(y−y)dy=2/5−1/3=1/15\int_0^1y(\sqrt y-y)dy=2/5-1/3=1/15, ce qui contrôle les bornes.

Exercice 7 — Intégrale singulière sur un disque

Pour α∈R\alpha\in\mathbb R, étudier ∬x2+y2<1(x2+y2)−α/2 dxdy\iint_{x^2+y^2<1}(x^2+y^2)^{-\alpha/2}\,dxdy.
  1. Déterminer la convergence et la valeur lorsqu'elle est finie.
  2. Comparer au seuil de l'intégrale unidimensionnelle ∫01r−αdr\int_0^1r^{-\alpha}dr.
Corrigé détaillé
  1. L'intégrande est positive ; on calcule d'abord sur ε<r<1\varepsilon<r<1, puis on fait tendre ε\varepsilon vers zéro. Les polaires donnent 2π∫01r1−αdr2\pi\int_0^1r^{1-\alpha}dr, finie exactement si 1−α>−11-\alpha>-1, soit α<2\alpha<2. Sa valeur est alors 2π/(2−α)2\pi/(2-\alpha). Pour α=2\alpha=2, la divergence est logarithmique ; pour α>2\alpha>2, elle est en puissance.
  2. En dimension un, le seuil est α<1\alpha<1. La différence vient du facteur d'aire rr en dimension deux, qui améliore l'intégrabilité près de l'origine.

Exercice 8 — Une densité de plaque non uniforme

Sur le carré [0,1]2[0,1]^2, une plaque a pour densité ρ(x,y)=x+y\rho(x,y)=x+y.
  1. Calculer sa masse.
  2. Déterminer son centre de masse.
Corrigé détaillé
  1. La masse est M=∫01∫01(x+y)dydx=1/2+1/2=1M=\int_0^1\int_0^1(x+y)dydx=1/2+1/2=1.
  2. Le moment pondéré en xx vaut ∬x(x+y)=∫01x2dx∫01dy+∫01xdx∫01ydy=1/3+1/4=7/12\iint x(x+y)=\int_0^1x^2dx\int_0^1dy+\int_0^1xdx\int_0^1ydy=1/3+1/4=7/12. Par symétrie, le moment pondéré en yy vaut aussi 7/127/12. Comme M=1M=1, le centre est (7/12,7/12)(7/12,7/12). Il est déplacé vers le coin (1,1)(1,1), où la densité est plus grande, plutôt qu'au centre géométrique (1/2,1/2)(1/2,1/2).

Exercice 9 — Secteur et intégrande non radial

Soit D={x≥0,y≥0,x2+y2≤4}D=\{x\geq0,y\geq0,x^2+y^2\leq4\}.
  1. Calculer ∬Dxy dxdy\iint_Dxy\,dxdy.
  2. Calculer ∬D(x+y) dxdy\iint_D(x+y)\,dxdy.
Corrigé détaillé
  1. Le domaine correspond à 0≤r≤20\leq r\leq2, 0≤θ≤π/20\leq\theta\leq\pi/2. Avec xy=r2cos⁡θsin⁡θxy=r^2\cos\theta\sin\theta, l'intégrale se sépare : ∫02r3dr∫0π/2cos⁡θsin⁡θdθ=4⋅1/2=2\int_0^2r^3dr\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta d\theta=4\cdot1/2=2.
  2. L'intégrande devient r(cos⁡θ+sin⁡θ)r(\cos\theta+\sin\theta), auquel s'ajoute le jacobien rr. La valeur est ∫02r2dr∫0π/2(cos⁡θ+sin⁡θ)dθ=(8/3)⋅2=16/3\int_0^2r^2dr\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)d\theta=(8/3)\cdot2=16/3. Les deux intégrales sont ordinaires sur un domaine borné.

Exercice 10 — Transformation adaptée à un domaine hyperbolique

Soit D={x>0,y>0, 1≤xy≤4, 1≤y/x≤9}D=\{x>0,y>0,\ 1\leq xy\leq4,\ 1\leq y/x\leq9\}.
  1. Utiliser u=xyu=xy, v=y/xv=y/x pour calculer l'aire.
  2. Calculer ∬Dxy dxdy\iint_Dxy\,dxdy.
Corrigé détaillé
  1. L'inverse positif est x=u/vx=\sqrt{u/v}, y=uvy=\sqrt{uv}. On calcule det⁡∂(u,v)/∂(x,y)=2y/x=2v\det\partial(u,v)/\partial(x,y)=2y/x=2v, donc le jacobien inverse absolu vaut 1/(2v)1/(2v). Le domaine devient 1≤u≤41\leq u\leq4, 1≤v≤91\leq v\leq9. Son aire est ∫14du∫19dv/(2v)=3log⁡9/2=3log⁡3\int_1^4du\int_1^9dv/(2v)=3\log9/2=3\log3.
  2. Puisque xy=uxy=u, l'intégrale vaut ∫14u du∫19dv/(2v)=(15/2)log⁡3\int_1^4u\,du\int_1^9dv/(2v)=(15/2)\log3. La positivité de x,yx,y assure l'unicité de l'inverse.

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