Université L2 — licence de mathématiques

Valeurs propres et polynômes annulateurs — 10 exercices corrigés L2

Le spectre est étudié sur un corps explicitement annoncé. On distingue multiplicité algébrique, dimension d'un espace propre et propriétés obtenues à partir d'un polynôme annulateur.

L'essentiel à retenir

Une valeur propre $\lambda$ vérifie $\ker(A-\lambda I)\ne\{0\}$ ; elle est racine de $\chi_A(t)=\det(tI-A)$ .
La dimension de l'espace propre est comprise entre $1$ et la multiplicité algébrique de la valeur propre.
Si $P(A)=0$ et si $\lambda$ est une valeur propre, alors $P(\lambda)=0$ .
Sur $\mathbb C$ , la somme et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité sont respectivement la trace et le déterminant.

Exercice 1 — Spectre d'une matrice symétrique à blocs

Soit

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Calculer le polynôme caractéristique et les espaces propres.
Vérifier les relations avec la trace et le déterminant.

Corrigé détaillé

$\chi_A(t)=(t-3)[(t-2)^2-1]=(t-3)^2(t-1)$ . Pour $\lambda=1$ , les équations donnent $y=-x$ et $z=0$ , donc $E_1=\mathbb R(1,-1,0)$ . Pour $\lambda=3$ , elles donnent $y=x$ et aucune condition sur $z$ , donc $E_3=\operatorname{Vect}((1,1,0),(0,0,1))$ .
La somme avec multiplicités vaut $1+3+3=7=\operatorname{tr}A$ . Le produit vaut $1\cdot3\cdot3=9$ ; le calcul direct du déterminant donne $(4-1)3=9$ .

Exercice 2 — Matrice compagnon

Soit

C=\begin{pmatrix}0&0&6\\1&0&-11\\0&1&6\end{pmatrix}

Calculer ses valeurs propres.
Pour chaque valeur propre $\lambda$ , construire un vecteur propre à partir des équations du système.

Corrigé détaillé

Le développement de $\det(tI-C)$ donne $t^3-6t^2+11t-6=(t-1)(t-2)(t-3)$ . Le spectre est donc $\{1,2,3\}$ .
En fixant $z=1$ , la troisième équation donne $y=\lambda-6$ et la seconde $x=\lambda y+11=\lambda^2-6\lambda+11$ . La première exige $\lambda x=6$ , ce qui est précisément l'équation caractéristique. On obtient les vecteurs $(6,-5,1)$ , $(3,-4,1)$ et $(2,-3,1)$ pour $\lambda=1,2,3$ respectivement.

Exercice 3 — Un endomorphisme vérifiant une équation quadratique

Soit

u

un endomorphisme réel tel que

u^2-3u+2I=0

Déterminer les valeurs propres possibles et construire deux projecteurs polynomiaux.
Montrer que l'espace est somme directe des noyaux de $u-I$ et $u-2I$ .

Corrigé détaillé

Une valeur propre vérifie $(\lambda-1)(\lambda-2)=0$ . Posons $P=2I-u$ et $Q=u-I$ . On a $P+Q=I$ , $PQ=-(u-I)(u-2I)=0$ , puis $P^2=P$ et $Q^2=Q$ .
Comme $(u-I)P=0$ , l'image de $P$ est dans $\ker(u-I)$ ; réciproquement, si $ux=x$ , alors $Px=x$ . Donc $\operatorname{Im}P=\ker(u-I)$ , et de même $\operatorname{Im}Q=\ker(u-2I)$ . L'identité $x=Px+Qx$ donne la somme ; l'intersection est nulle car $ux=x=2x$ y impose $x=0$ .

Exercice 4 — Spectre d'un projecteur

Soit

P\in M_n(\mathbb R)

vérifiant

P^2=P

Montrer que son spectre est contenu dans $\{0,1\}$ et que $\mathbb R^n=\ker P\oplus\operatorname{Im}P$ .
Prouver $\operatorname{tr}P=\operatorname{rg}P$ .

Corrigé détaillé

Si $Px=\lambda x$ avec $x\ne0$ , alors $\lambda^2x=\lambda x$ , donc $\lambda\in\{0,1\}$ . Pour tout $x$ , $x=(x-Px)+Px$ , avec $P(x-Px)=0$ . Si $z\in\ker P\cap\operatorname{Im}P$ , écrire $z=Py$ donne $z=P^2y=Pz=0$ .
Dans une base formée d'une base de l'image puis du noyau, la matrice est $\operatorname{diag}(I_r,0)$ , où $r=\operatorname{rg}P$ . Sa trace vaut $r$ , et la trace est invariante par changement de base.

Exercice 5 — Spectre réel ou complexe d'une rotation

Soit

R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

Déterminer ses valeurs propres complexes.
Préciser quand il existe des valeurs propres réelles et les espaces propres correspondants.

Corrigé détaillé

Le polynôme caractéristique est $t^2-2\cos\theta\,t+1$ , dont les racines sont $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$ . Lorsque $\sin\theta\ne0$ , un vecteur propre pour $e^{i\theta}$ est $(1,-i)$ , puisque la première composante de son image est $\cos\theta+i\sin\theta$ .
Les racines sont réelles exactement lorsque $\sin\theta=0$ . Si $\theta\in2\pi\mathbb Z$ , la matrice est $I$ et $E_1=\mathbb R^2$ . Si $\theta\in\pi+2\pi\mathbb Z$ , elle est $-I$ et $E_{-1}=\mathbb R^2$ . Sinon, aucun vecteur propre réel non nul n'existe.

Exercice 6 — Valeurs propres d'un endomorphisme de polynômes

Sur

\mathbb R_3[X]

, définir

T(P)=XP'

Déterminer le spectre et les espaces propres.
Étudier $S(P)=XP'+P'$ et comparer son spectre à celui de $T$ .

Corrigé détaillé

Dans la base $(1,X,X^2,X^3)$ , $T(X^k)=kX^k$ . Le spectre est $\{0,1,2,3\}$ et $E_k=\mathbb RX^k$ .
On a $S(P)=(X+1)P'$ . Sa matrice dans la même base est triangulaire, car $S(X^k)=kX^k+kX^{k-1}$ ; sa diagonale est encore $0,1,2,3$ . Plus précisément, $S((X+1)^k)=k(X+1)^k$ , donc $E_k(S)=\mathbb R(X+1)^k$ . Les spectres coïncident, mais les vecteurs propres ne sont pas les mêmes.

Exercice 7 — Bornes spectrales par un coefficient maximal

Soit

A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb C)

Montrer que toute valeur propre vérifie $|\lambda|\leq\max_i\sum_j|a_{ij}|$ .
Appliquer à $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ et améliorer la localisation par les disques de Gershgorin.

Corrigé détaillé

Choisir un vecteur propre $x$ et un indice $i$ où $|x_i|=\|x\|_\infty>0$ . Alors $|\lambda||x_i|=|\sum_ja_{ij}x_j|\leq(\sum_j|a_{ij}|)|x_i|$ , ce qui donne la borne.
Les sommes absolues des lignes sont $3,2,2$ , donc $|\lambda|\leq3$ . En isolant le terme diagonal, le même raisonnement donne $|\lambda-a_{ii}|\leq\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ . Ici le spectre est dans $D(1,2)\cup D(0,2)\cup D(1,1)$ , soit $D(1,2)\cup D(0,2)$ , localisation plus précise que le seul disque centré en zéro.

Exercice 8 — Spectres de deux produits

Soient

A,B\in M_n(\mathbb C)

Montrer que toute valeur propre non nulle de $AB$ est valeur propre de $BA$ .
Si $A$ est inversible, montrer que $AB$ et $BA$ sont semblables et préciser la conséquence sur toutes les multiplicités.

Corrigé détaillé

Si $ABx=\lambda x$ avec $\lambda\ne0$ , alors $Bx\ne0$ , sinon $ABx=0$ . De plus $BA(Bx)=B(ABx)=\lambda Bx$ . On obtient donc un vecteur propre de $BA$ . En échangeant $A,B$ , les ensembles de valeurs propres non nulles coïncident.
Si $A$ est inversible, $A^{-1}(AB)A=BA$ . Les matrices sont semblables, donc ont le même polynôme caractéristique, y compris pour la valeur propre zéro. Toutes les multiplicités algébriques et les dimensions des espaces propres correspondants coïncident.

Exercice 9 — Nilpotence et spectre

Soit

N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}

Calculer ses puissances, son spectre et les noyaux successifs.
Montrer qu'une matrice dont le seul spectre est $\{0\}$ est nilpotente sur $\mathbb C$ .

Corrigé détaillé

$N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $N^3=0$ . Son polynôme caractéristique est $t^3$ , donc son spectre est $\{0\}$ . On a $\ker N=\mathbb Re_1$ , $\ker N^2=\operatorname{Vect}(e_1,e_2)$ et $\ker N^3=\mathbb R^3$ .
Pour une matrice complexe d'ordre $n$ dont toutes les valeurs propres sont nulles, le polynôme caractéristique, scindé sur $\mathbb C$ , vaut $t^n$ . Le théorème de Cayley-Hamilton donne alors $A^n=0$ . L'exposant minimal peut être strictement inférieur à $n$ .

Exercice 10 — Spectre et quotient de Rayleigh

Soit

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

Déterminer les valeurs extrêmes de $q(x)=x^TAx$ sur $\|x\|_2=1$ .
Relier ces extrêmes aux valeurs propres et en déduire une inégalité valable pour tout $x$ .

Corrigé détaillé

Pour $x=(u,v)$ , $q=2u^2+2uv+2v^2=2+2uv$ sur le cercle unité. Comme $-1/2\leq uv\leq1/2$ , le minimum vaut $1$ , atteint pour $u=-v=\pm1/\sqrt2$ , et le maximum vaut $3$ , atteint pour $u=v=\pm1/\sqrt2$ .
Les directions extrémales sont propres : $A(1,-1)=(1,-1)$ et $A(1,1)=3(1,1)$ . Par homogénéité, $\|x\|_2^2\leq x^TAx\leq3\|x\|_2^2$ pour tout $x$ . Les constantes sont optimales puisque les deux égalités sont atteintes.

Valeurs propres et polynômes annulateurs — 10 exercices corrigés L2

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Spectre d'une matrice symétrique à blocs

Exercice 2 — Matrice compagnon

Exercice 3 — Un endomorphisme vérifiant une équation quadratique

Exercice 4 — Spectre d'un projecteur

Exercice 5 — Spectre réel ou complexe d'une rotation

Exercice 6 — Valeurs propres d'un endomorphisme de polynômes

Exercice 7 — Bornes spectrales par un coefficient maximal

Exercice 8 — Spectres de deux produits

Exercice 9 — Nilpotence et spectre

Exercice 10 — Spectre et quotient de Rayleigh

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