Université L2 — licence de mathématiques

Variables à densité et couples continus — 10 exercices corrigés L2

Ce chapitre présente densités, transformations, couples continus et moments. Selon les établissements, certains résultats sont enseignés dans un cadre de calcul intégral élémentaire ou dans un cadre plus formel d'intégration et de distributions de probabilité.

L'essentiel à retenir

  • Une densité est une fonction mesurable positive ou nulle d'intégrale 11. Les probabilités sont les intégrales de cette densité sur les ensembles considérés.
  • Pour une transformation monotone C1C^1 à dérivée non nulle, la densité transformée utilise la dérivée absolue de l'inverse ; plusieurs branches doivent être additionnées si nécessaire.
  • Pour un couple à densité, les marginales s'obtiennent par intégration et l'indépendance correspond à la factorisation de la densité presque partout.
  • Les densités conditionnelles se définissent par quotient de la densité jointe par la marginale, aux valeurs où cette dernière est strictement positive.

Exercice 1 — Densité polynomiale sur un segment

Soit f(x)=cx(1−x)f(x)=cx(1-x) sur [0,1][0,1], nulle ailleurs.
  1. Déterminer cc et la fonction de répartition.
  2. Calculer espérance et variance.
Corrigé détaillé
  1. ∫01x(1−x)dx=1/6\int_0^1x(1-x)dx=1/6, donc c=6c=6. Pour 0≤t≤10\leq t\leq1, F(t)=6(t2/2−t3/3)=3t2−2t3F(t)=6(t^2/2-t^3/3)=3t^2-2t^3 ; elle vaut 00 avant 00 et 11 après 11.
  2. E(X)=6∫01(x2−x3)dx=6(1/3−1/4)=1/2E(X)=6\int_0^1(x^2-x^3)dx=6(1/3-1/4)=1/2. De même, E(X2)=6(1/4−1/5)=3/10E(X^2)=6(1/4-1/5)=3/10. Donc Var⁡(X)=3/10−1/4=1/20\operatorname{Var}(X)=3/10-1/4=1/20. La symétrie f(1−x)=f(x)f(1-x)=f(x) confirme l'espérance 1/21/2.

Exercice 2 — Carré d'une variable uniforme symétrique

Soit XX uniforme sur [−1,1][-1,1] et Y=X2Y=X^2.
  1. Déterminer la répartition et la densité de YY.
  2. Calculer E(Y)E(Y) et vérifier le résultat à partir de XX.
Corrigé détaillé
  1. Pour 0≤y≤10\leq y\leq1, P(Y≤y)=P(−y≤X≤y)=yP(Y\leq y)=P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y)=\sqrt y. La répartition vaut 00 pour y<0y<0 et 11 pour y≥1y\geq1. Sa dérivée sur (0,1)(0,1) est fY(y)=1/(2y)f_Y(y)=1/(2\sqrt y), intégrable malgré sa singularité en zéro.
  2. E(Y)=∫01y/(2y)dy=12⋅2/3=1/3E(Y)=\int_0^1y/(2\sqrt y)dy=\frac12\cdot2/3=1/3. Directement, E(X2)=12∫−11x2dx=1/3E(X^2)=\frac12\int_{-1}^1x^2dx=1/3. Les deux branches x=±yx=\pm\sqrt y contribuent chacune pour moitié à la densité transformée.

Exercice 3 — Somme de deux exponentielles

Soient X,YX,Y indépendantes de densité λe−λx1x>0\lambda e^{-\lambda x}\mathbf1_{x>0}, avec λ>0\lambda>0.
  1. Déterminer la densité de S=X+YS=X+Y.
  2. Calculer ses deux premiers moments et sa variance.
Corrigé détaillé
  1. Pour s>0s>0, la convolution donne fS(s)=∫0sλe−λxλe−λ(s−x)dx=λ2se−λsf_S(s)=\int_0^s\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda(s-x)}dx=\lambda^2se^{-\lambda s} ; elle est nulle pour s≤0s\leq0. Son intégrale vaut 11 par changement u=λsu=\lambda s.
  2. Avec ∫0∞une−udu=n!\int_0^\infty u^ne^{-u}du=n!, E(S)=λ2⋅2!/λ3=2/λE(S)=\lambda^2\cdot2!/\lambda^3=2/\lambda et E(S2)=λ2⋅3!/λ4=6/λ2E(S^2)=\lambda^2\cdot3!/\lambda^4=6/\lambda^2. Ainsi Var⁡(S)=2/λ2\operatorname{Var}(S)=2/\lambda^2, également somme des variances indépendantes.

Exercice 4 — Densité uniforme sur un triangle

Le couple (X,Y)(X,Y) a une densité constante sur T={x>0,y>0,x+y<1}T=\{x>0,y>0,x+y<1\}, nulle ailleurs.
  1. Déterminer la constante, les marginales et l'indépendance.
  2. Calculer E(X)E(X) et Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X,Y).
Corrigé détaillé
  1. L'aire du triangle vaut 1/21/2, donc la constante est 22. Pour 0<x<10<x<1, fX(x)=2(1−x)f_X(x)=2(1-x) ; la marginale de YY est analogue. Le support triangulaire ne factorise pas : par exemple la densité jointe est nulle pour x+y>1x+y>1, alors que le produit des marginales y est positif.
  2. E(X)=2∫01x(1−x)dx=1/3E(X)=2\int_0^1x(1-x)dx=1/3, et de même E(Y)=1/3E(Y)=1/3. De plus E(XY)=2∬Txy=2/24=1/12E(XY)=2\iint_Txy=2/24=1/12. Donc Cov⁡(X,Y)=1/12−1/9=−1/36\operatorname{Cov}(X,Y)=1/12-1/9=-1/36.

Exercice 5 — Maximum et minimum de deux uniformes

Soient U,VU,V indépendantes uniformes sur [0,1][0,1], M=max⁡(U,V)M=\max(U,V) et m=min⁡(U,V)m=\min(U,V).
  1. Déterminer leurs densités et espérances.
  2. Calculer la covariance de mm et MM.
Corrigé détaillé
  1. Pour 0≤t≤10\leq t\leq1, P(M≤t)=t2P(M\leq t)=t^2, donc fM(t)=2tf_M(t)=2t et E(M)=2/3E(M)=2/3. De même P(m>t)=(1−t)2P(m>t)=(1-t)^2, donc fm(t)=2(1−t)f_m(t)=2(1-t) et E(m)=1/3E(m)=1/3.
  2. On a identiquement mM=UVmM=UV. Par indépendance, E(mM)=E(U)E(V)=1/4E(mM)=E(U)E(V)=1/4. Donc Cov⁡(m,M)=1/4−(1/3)(2/3)=1/36\operatorname{Cov}(m,M)=1/4-(1/3)(2/3)=1/36. Les deux variables ne sont pas indépendantes ; leur support joint impose toujours m≤Mm\leq M.

Exercice 6 — Rapport de deux exponentielles

Soient X,YX,Y indépendantes exponentielles de paramètre 11. Poser S=X+YS=X+Y et R=X/(X+Y)R=X/(X+Y).
  1. Déterminer leur densité jointe par changement de variables.
  2. Identifier leurs lois et leur indépendance.
Corrigé détaillé
  1. L'inverse est x=rsx=rs, y=(1−r)sy=(1-r)s, sur s>0s>0, 0<r<10<r<1. Le jacobien absolu vaut ss. La densité jointe devient donc fS,R(s,r)=se−s1s>010<r<1f_{S,R}(s,r)=se^{-s}\mathbf1_{s>0}\mathbf1_{0<r<1}.
  2. L'intégrale de se−sse^{-s} sur (0,∞)(0,\infty) vaut 11, tout comme celle de 11 sur (0,1)(0,1). La densité factorise donc en deux densités : SS a la densité se−sse^{-s} et RR est uniforme sur (0,1)(0,1). Les variables S,RS,R sont indépendantes. En particulier, E(R)=1/2E(R)=1/2 et E(S)=2E(S)=2.

Exercice 7 — Transformation exponentielle et loi de Pareto

Soit XX exponentielle de paramètre λ>0\lambda>0 et Y=eXY=e^X.
  1. Déterminer la loi de YY.
  2. Déterminer pour quels q∈Rq\in\mathbb R le moment E(Yq)E(Y^q) est fini et le calculer.
Corrigé détaillé
  1. Y≥1Y\geq1. Pour y≥1y\geq1, FY(y)=P(X≤log⁡y)=1−y−λF_Y(y)=P(X\leq\log y)=1-y^{-\lambda}. La densité est donc λy−λ−1\lambda y^{-\lambda-1} sur (1,∞)(1,\infty).
  2. E(Yq)=λ∫1∞yq−λ−1dyE(Y^q)=\lambda\int_1^\infty y^{q-\lambda-1}dy, finie exactement lorsque q<λq<\lambda. Elle vaut alors λ/(λ−q)\lambda/(\lambda-q). Pour q=λq=\lambda, la divergence est logarithmique ; pour q>λq>\lambda, elle est en puissance. Ainsi l'espérance n'est finie que si λ>1\lambda>1, et la variance seulement si λ>2\lambda>2.

Exercice 8 — Densité conditionnelle non constante

Sur (0,1)2(0,1)^2, le couple (X,Y)(X,Y) a pour densité f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y.
  1. Calculer la marginale de XX et E(Y∣X=x)E(Y\mid X=x).
  2. Calculer la covariance et tester l'indépendance.
Corrigé détaillé
  1. La densité est normalisée car son intégrale vaut 11. La marginale est fX(x)=x+1/2f_X(x)=x+1/2. Pour 0<x<10<x<1, fY∣X=x(y)=(x+y)/(x+1/2)f_{Y\mid X=x}(y)=(x+y)/(x+1/2) et E(Y∣X=x)=(x/2+1/3)/(x+1/2)E(Y\mid X=x)=(x/2+1/3)/(x+1/2).
  2. Par symétrie, E(X)=E(Y)=∫01x(x+1/2)dx=7/12E(X)=E(Y)=\int_0^1x(x+1/2)dx=7/12. De plus E(XY)=∬xy(x+y)=1/6+1/6=1/3E(XY)=\iint xy(x+y)=1/6+1/6=1/3. Donc la covariance vaut 1/3−49/144=−1/1441/3-49/144=-1/144. Elle est non nulle, donc les variables ne sont pas indépendantes.

Exercice 9 — Transformation affine d'une normale

Soit ZZ de densité φ(z)=(2π)−1/2e−z2/2\varphi(z)=(2\pi)^{-1/2}e^{-z^2/2} et X=2−3ZX=2-3Z.
  1. Donner la densité de XX et son espérance et sa variance.
  2. Exprimer P(−1≤X≤5)P(-1\leq X\leq5) en fonction de la répartition Φ\Phi de ZZ.
Corrigé détaillé
  1. L'inverse est z=(2−x)/3z=(2-x)/3, de dérivée absolue 1/31/3. Donc fX(x)=132πexp⁡[−(x−2)2/18]f_X(x)=\frac1{3\sqrt{2\pi}}\exp[-(x-2)^2/18]. La symétrie et les moments de la normale centrée réduite donnent E(X)=2E(X)=2 et Var⁡(X)=9\operatorname{Var}(X)=9.
  2. Les inégalités −1≤2−3Z≤5-1\leq2-3Z\leq5 équivalent à −1≤Z≤1-1\leq Z\leq1, en inversant correctement les signes lors de la division par −3-3. La probabilité vaut Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1, par symétrie.

Exercice 10 — Simulation inverse et quantiles

Soit UU uniforme sur (0,1)(0,1) et X=−log⁡(1−U)/λX=-\log(1-U)/\lambda, avec λ>0\lambda>0.
  1. Déterminer la loi de XX et sa médiane.
  2. Calculer P(X>s+t∣X>s)P(X>s+t\mid X>s) pour s,t≥0s,t\geq0.
Corrigé détaillé
  1. Pour x≥0x\geq0, P(X≤x)=P(U≤1−e−λx)=1−e−λxP(X\leq x)=P(U\leq1-e^{-\lambda x})=1-e^{-\lambda x} ; pour x<0x<0, cette probabilité est nulle. Ainsi XX est exponentielle de paramètre λ\lambda. La médiane mm vérifie 1−e−λm=1/21-e^{-\lambda m}=1/2, donc m=log⁡2/λm=\log2/\lambda.
  2. La queue est P(X>a)=e−λaP(X>a)=e^{-\lambda a}. Le quotient conditionnel vaut e−λ(s+t)/e−λs=e−λt=P(X>t)e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(X>t). Cette absence de mémoire est obtenue pour des événements de probabilité de conditionnement strictement positive.

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